Zadanie 2.pdf

(167 KB) Pobierz
Przykład 2
Przykład 2.2. Figura złożona
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury.
y
x
2 r
O 2 r
2 r
3 r
3 r
3 r
3 r
3 r
3 r
2 r
3 r
3 r
2 r
3 r
W celu wyznaczenia środka ciężkości oraz obliczenia wartości momentów
bezwładności i momentu dewiacyjnego przyjmujemy układ współrzędnych Oxy oraz
dzielimy rozpatrywaną figurę na cztery figury podstawowe.
y
y
y
y
y
x
c
3
c
4
x
c
2
y
c
1
O
2 r
O
2 r
C
C
x
3
c
3
4
x
III
IV
c
4
C
3 r
8 r
3 r
2
x
C
c
2
x
c
1
3 r
3 r
I
II
3 r
5 r
2 r
3 r
A
I
=
1
Obliczamy pola figur składowych i określamy współrzędne ich środków ciężkości.
()
⋅
π
⋅
3
r
2
=
9
πr
2
,
~ c
=
−
4
⋅
3
r
=
−
4
r
,
~ c
=
−
5
r
2
2
1
3
⋅
π
π
1
1
5
1
A
II
=
5
r
⋅
8
r
=
40
r
2
,
~ c
=
⋅
5
r
=
r
,
~ c
=
−
⋅
8
r
=
−
4
r
2
2
2
2
2
A
III
=
1
⋅
π
⋅
()
2
r
2
=
πr
2
,
~ c
=
4
⋅
2
r
=
8
r
,
~ c
=
−
4
⋅
2
r
=
−
8
r
4
3
3
⋅
π
3
π
3
3
⋅
π
3
π
1
15
2
⋅
3
r
1
5
A
IV
=
⋅
3
r
⋅
5
r
=
r
2
,
~ c
=
2
r
+
=
4
r
,
~ c
=
−
⋅
5
r
=
−
r
2
2
4
3
4
3
3
Całkowite pole figury wynosi:
186656184.010.png 186656184.011.png 186656184.012.png 186656184.013.png 186656184.001.png 186656184.002.png
A
=
A
I
+
A
II
−
A
III
−
A
IV
=
9
πr
2
+
40
r
2
−
πr
2
−
15
r
2
=
43
.
496
r
2
2
2
Moment statyczny względem osi y wynosi:
S
=
A
I
⋅
~
+
A
II
⋅
~
−
A
III
⋅
~
−
A
IV
⋅
~
=
y
c
1
c
2
c
3
c
4
=
9
π
r
2
⋅
⎛ −
4
r
⎠
+
40
r
2
⋅
5
r
−
πr
2
⋅
8
r
−
15
r
2
⋅
4
r
=
49
.
333
r
3
2
π
2
3
π
2
Moment statyczny względem osi x wynosi:
S
=
A
I
⋅
~
+
A
II
⋅
~
−
A
III
⋅
~
−
A
IV
⋅
~
=
x
c
1
c
2
c
3
c
4
=
9
π
r
2
⋅
( ) ( )
−
5
r
+
40
r
2
⋅
−
4
r
−
πr
2
⋅
⎛ −
8
r
⎠
−
15
r
2
⋅
⎛ −
5
r
⎠
=
−
215
.
519
r
3
2
3
π
2
3
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury wynoszą odpowiednio:
~
S
49
.
333
r
3
~
S
−
215
.
519
r
3
=
y
=
=
1
.
1342
r
oraz
y
=
x
=
=
−
4
.
9549
r
.
c
A
43
.
496
r
2
c
A
43
.
496
r
2
y
y
c
x
O
C
x
c
Wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie Oxy .
I
=
I
I
+
I
II
−
I
III
−
I
IV
=
x
x
x
x
x
=
1
π
⋅
() ( ) () () ()
3
r
4
+
9
πr
2
⋅
−
5
r
2
+
1
⋅
5
r
⋅
8
r
3
−
1
π
⋅
2
r
4
−
1
⋅
3
r
⋅
5
r
3
=
1204
.
18
r
4
8
2
3
16
12
I
=
I
I
+
I
II
−
I
III
−
I
IV
=
y
y
y
y
y
=
1
π
⋅
() () () () ()
3
r
4
+
1
⋅
8
r
⋅
5
r
3
−
1
π
⋅
2
r
4
−
⎡
1
⋅
5
r
⋅
3
r
3
+
15
r
2
⋅
4
r
2
⎤
=
238
.
25
r
4
⎣
⎦
8
3
16
36
2
I
=
I
I
+
I
II
−
I
III
−
I
IV
=
xy
xy
xy
xy
xy
=
0
+
9
πr
2
⋅
( )
−
5
r
⋅
⎝
−
4
r
⎠
−
1
⋅
()() ()
8
r
2
⋅
5
r
2
−
⎝
−
1
⋅
2
r
4
⎠
+
2
π
4
8
−
⎡
−
1
⋅
()() ()
5
r
2
⋅
3
r
2
+
15
r
2
⋅
4
r
⋅
⎛ −
5
r
⎠
⎤
=
−
254
.
88
r
4
⎣
⎦
72
2
3
Następnie wyznaczymy momenty bezwładności i moment dewiacyjny w układzie osi
centralnych x i y korzystając z przekształconych wzorów Steinera:
c
c
I
=
I
−
A
⋅
~
2
=
1204
.
18
r
4
−
43
.
496
r
2
⋅
( )
−
4
.
9549
r
2
=
136
.
31
r
4
x c
x
c
I
=
I
−
A
⋅
~
2
=
238
.
25
r
4
−
43
.
496
r
2
⋅
( )
1
.
1342
r
2
=
182
.
30
r
4
y c
y
c
2
⎝
⎞
⎝
⎞
⎝
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝
⎞
186656184.003.png 186656184.004.png 186656184.005.png 186656184.006.png 186656184.007.png
= .
Momenty bezwładności względem głównych centralnych osi bezwładności osiągają
wartości:
I
I
−
A
⋅
~
⋅
~
=
−
254
.
88
r
4
−
43
.
496
r
2
⋅
1
.
1342
r
⋅
( )
−
4
.
9549
r
=
−
10
.
44
r
4
x c
c
xy
c
c
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
c
y
c
+
⎜
⎝
x
c
y
c
⎟
⎠
+
I
2
=
1
max
2
2
x
c
y
c
136
.
31
r
4
+
182
.
30
r
4
⎛
136
.
31
r
4
−
182
.
30
r
4
⎞
2
( )
2
=
+
⎜
⎝
⎟
⎠
+
−
10
.
44
r
4
=
184
.
56
r
4
2
2
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
c
y
c
−
⎜
⎝
x
c
y
c
⎟
⎠
+
I
2
=
2
min
2
2
x
c
y
c
136
.
31
r
4
+
182
.
30
r
4
⎛
136
.
31
r
4
−
182
.
30
r
4
⎞
2
( )
2
=
−
⎜
⎝
⎟
⎠
+
−
10
.
44
r
4
=
134
.
05
r
4
2
2
Kąt φ o między osiami centralnymi x y i głównymi centralnymi osiami bezwładności
spełnia równanie:
c c
( )
−
2
⋅
I
−
2
⋅
−
10
.
44
r
4
tg
2
ϕ
=
x
c
y
c
=
=
−
0
.
4540
o
I
−
I
136
.
31
r
4
−
182
.
30
r
4
x
y
c
c
ϕ
Główna oś bezwładności, względem której moment bezwładności ma wartość
tworzy z osią kąt , natomiast główna oś bezwładności, względem której
moment bezwładności ma wartość
2 o
ϕ
=
−
0
.
4262
rad
,
o
=
−
0
.
2131
rad
.
I =
1
I
max
x
c
ϕ
I =
2
I
min
tworzy z osią kąt
c
x
ϕ .
W związku z tym, że < to:
c
I
x
I
y
c
ϕ
=
ϕ
+
π
=
⎝
−
0
.
2131
+
π
⎠
rad
=
1
.
3577
rad
, zaś
ϕ
=
ϕ
=
−
0
.
2131
rad
.
1
o
2
2
2
o
Kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
y
y
c
x
O
ϕ
C
x
c
ϕ
Kierunek minimalnego
momentu bezwładności
2
3
stąd
⎛
⎞
186656184.008.png 186656184.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin