09 - Ruch Ziemi.pdf - Astronomia sferyczna dla drugiego roku - PDF - metryk

Rozdział 9

Ruch Ziemi

Streszczenie

Ziemia porusza sie, miedzy innymi ruchem orbitalnym i obrotowym. Ruch orbitalny niekiedy traktuje sie

jako złozenie ruchu pary Ziemia- Ksiezyc wokół ich barycentrum oraz ruchu barycentrum Ziemi i Ksiezyca

wokół Słonca. Płaszczyzne przechodz ac a przez srodek Słonca i obracaj ac a sie z w tempie wiekowej skład-

owej szybkosci rotacji orbity barycentrum Ziemi i Ksiezyca nazywamy ekliptyk a.

Kształt Ziemi przyblizony jest trójosiow a elipsoid a zwan a elipsoid a gury Ziemi. Własnosci dynam-

iczne bryły charakteryzowane s a jej elipsoid a bezwładnosci, która ujmuje zarówno kształt jak i mase

bryły. Odpowiednikiem równan Newtona w ruchu postepowym, s a w ruchu wirowym równania Eulera.

Rozwi azaniem równan Eulera jest wektor predkosci k atowej , jego kierunek nazywamy chwilow a osi a

obrotu Ziemi, punkty przebicia tej osi z powierzchni a elipsoidy gury Ziemi to chwilowe bieguny Ziemi,

punkty przebicia ze sfer a niebiesk a to prawdziwe bieguny swiata.

Ruch obrotowy Ziemi rozkładany jest na ruch regularny (precesja) i okresowy (nutacja).

Os ruchu regu-

larnego słuzy do denicji srednich biegunów swiata.

Tzw. ruch biegunów ziemskich dotyczy zmian w połozeniu osi obrotu w ciele Ziemi. Obejmuje on kilka

drobnych niezaleznych ruchów, jednym z nich jest tzw. Chandlerowski ruch biegunów o okresie około 14 -tu

miesiecy. Poszczególnych przyczynków w ruchu biegunów Ziemi nie da sie opisac teoretycznie tak dokładnie

jak precesje i nutacje osi obrotu bryły ziemskiej.

Słowa kluczowe: ekliptyka (ruchoma, nieruchoma), elipsoida gury, elipsoida bezwładnosci, równania Eu-

lera, precesja, nutacja, ruch biegunów, biegun sredni (prawdziwy, równik sredni (prawdziwy), punkt równo-

nocy sredni (prawdziwy).

108

Ruch Ziemi

N’

U’

Plaszczyzna

orbity barycentrum

ukladu Ziemia Ksiezyc.

Rysunek 9.1: a) Po lewej naszkicowano barycentryczne orbity Ziemi i Ksiezyca, po prawej orbite

Ksiezyca w ruchu geocentrycznym, b) przeciecie płaszczyzny orbity ruchu Ziemi i Ksiezyca z

plaszczyzn a rysunku, odcinek BS jest sladem przeciecia płaszczyzny rysunku przez płaszczyzne

orbity barycentrum B tych ciał wzgledem Sło nca. c) orbita barycentrum B przecina płaszczyzne

odniesienia wzdłuz linii wezłów NN 0 , oddalon a o k at od pewnego pocz atku. Poniewaz płasz-

czyzna ruchu barycentrum B obraca sie, linia wezłów przemieszcza sie, zmiany w czasie k ata

pokazano na rysunku obok.

9.1

Ruch obiegowy Ziemi i Ksiezyca

Ziemia i Ksiezyc poruszaj a sie w grawitacyjnym polu Słonca i pozostałych masywnych ciał Układu Słonecz-

nego. Wpływ Słonca jest dominuj acy, wpływ pozostałych planet ma charekter niewielkich zaburzen.

W teorii ruchu Ziemi i Ksiezyca ich liniowe rozmiary najczesciej s a pomijane, bywa nawet tak, ze ruch

tych ciał utozsamiany jest z ruchem ich srodka masy, barycentrum. Jesli zaniedbamy odziaływania planet to

ruch wzgledem Słonca barycentrum , Ziemi i Ksiezyca podlega prawom Keplera, czyli trajektoria ruchu

jest elips a opisan a piecioma parametrami . Gdy uwzglednimy oddziaływania planet okaze sie, ze

planety ´’spychaj a´’ barycentrum z orbity keplerowskiej.

Ruch obiegowy Ziemi i Ksiezyca wokół ich barycentrum odbywa sie z pewnym okresem w płaszczyznie

identycznej z płaszczyzn a orbity Ksiezyca wokół Ziemi. Ruch ten wnosi w obserwowany z Ziemi ruch

Słonca okresow a składow a zwan a nierównosci a ksiezycow a . Płaszczyzna orbity Ksiezyca nie pokrywa

sie z płaszczyzn a ruchu barycentrum wokół Słonca (patrz rysunek 9.1a ). Dlatego i Ziemia poruszaj ac

sie wokół barycentrun , okresowo wychodzi z płaszczyzny jego orbity okołosłonecznej, co łatwo daje sie

zauwazyc gdy obserwujemy z Ziemi widomy ruch Słonca.

Grawitacyjne zaburzenia od planet ujawniaj a sie przede wszystkim w ci agłym obrocie płaszyzny orbity

barycentrum Wielkosc tego obrotu mozna opisac z pomoc a k ata , liczonego od jakiegos nieruchomego

ustalonego pocz atku. Wówczas, przykładowo, zmiany k ata w czasie wygl adałyby tak jak to pokazano na

rysunku 9.1c. Linia przerywana opisuje ci agły obrót płaszczyzny orbity barycentrum . Linia ta moze byc

niewielkim fragmentem sinusoidy o bardzo duzym okresie. Linia ci agła wskazuje na okresowe wahania w

tempie zmian k ata .

Jezeli wykluczymy z rozwazan zmiany okresowe, wówczas opisywany ruch płaszczyzny barycentrum

(tylko zmiany liniowe) bedzie dotyczył pewnej płaszczyzny rotuj acej z szybkosci a tak a jak srednia pred-

9.2 Ruch wirowy Ziemi

109

kosc rotacji płaszczyzny orbity barycentrum . Taka konceptualna płaszczyzna nosi nazwe płaszczyzny

ekliptyki , a ekliptyk a nazywamy koło wielkie powstałe jako rezultat przeciecia tej płaszczyzny ze sfer a

niebiesk a.

Zdeniowana w ten sposób ekliptyka porusza sie, dlatego mozna natkn ac sie na okreslenia ekliptyka

ruchoma . Inne okreslenie to ekpliptyka chwilowa , którym okresla sie ekliptyke ruchom a, której połozenie

odpowiada jakiemus szczególnemu momentowi czasu (epoce). Ci ag ekliptyk chwilowych odpowiadaj acych

pewnym epokom, niekiedy nazywany jest mianem ekliptyk nieruchomych na te epoki. Np. mówimy —

ekliptyka nieruchoma 1900.0, ekliptyka nieruchoma epoki 2000.0, ekliptyka daty, czyli ekliptyka na biez acy

moment czasu.

Zaburzenia planetarne w ruchu barycentrum Ziemi i Ksiezyca, nie tylko zmieniaj a orientacje orbity

barycentrum. Zmianom ulegaj a takze parametry okreslaj ace rozmiar i kształt orbity. Najczesciej, okresowe

zaburzenia w ruchu Ziemu, przedstawiane s a w formie sinusoidalnych poprawek do niezaburzonego ruchu

sredniego. Poprawek moze byc bardzo duzo, kazda z indywidualnym okresem i amplitud a. W koncu XIX

wieku, amerykanski astronom Simon Newcomb zestawił tablice takich poprawek, uwzgledniaj ace nieregu-

larnosci w ruchu Ziemi wokół Słonca. Newcomb nadał im nazwe "Tablice ruchu Ziemi wokół Słonca". W

zargonie astronomów tablice te czesto nazywane s a "Tablicami Słonca".

9.2

Ruch wirowy Ziemi

Kolejnym ruchem Ziemi istotnym z punktu widzenia astronomii sferycznej to ruch obrotowy Ziemi. W teorii

tego ruchu zakłada sie, ze bryła Ziemi jest ciałem doskonale sztywnym. W rzeczywistosci bryła ziemska nie

jest doskonale sztywna, ale mimo tego upraszczaj acego załozenia, uzyskany opis ruchu wirowego Ziemi jest

zupełnie dobry.

Teoria ruchu wirowego Ziemi nie uwzglednia: sprezystosci bryły ziemskiej, sezonowych zmian w rozkładzie

mas bryły ziemskiej, strumieni konwekcyjnych we wnetrzu Ziemi, etc. St ad porównuj ac teorie z obserwac-

jami zauwazamy pewne odstepstwa przewidywan teorii od rezultatów obserwacji, np. zauwazalne s a niewielkie

wahania w predkosci obrotowej. Z drugiej strony odstepstwa te stanowi a informacje wykorzystywan a do

badan szeregu zjawisk geozycznych.

Elipsoida bezwładnosci, elipsoida gury

Moment bezwładnosci k ciała rozci agłego (b adz układu N cz astek materialnych) wzgledem osi prze-

chodz acej przez srodek masy ciała (srodek masy układu N cz astek) deniowany jest nastepuj aco (patrz ry-

sunek 9.2)

gdzie jest gestosci a ciała, oznacza odległosc od osi danego fragmentu masy, jest objetosci a ciała.

Przez srodek masy bryły przechodzi nieskonczenie wiele osi, wzgledem kazdej z nich mozna obliczyc

moment bezwładnosci oraz jego odwrotnosc. Odwrotnosci momentów bezwładnosci mozna w formie wek-

torów, w identycznej skali, odłozyc wzdłuz osi wzgledem których zostały obliczone. Przeprowadzaj ac po-

wierzchnie bed ac a obwiedni a konców wektorów uzyskamy bryłe bed ac a trójosiow a elipsoid a, tzw. elip-

soid a bezwładnosci . Jak kazda elipsoida trójosiowa, elipsoida bezwładnosci posiada trzy osie główne ,

wzgledem których mementy bezwładnosci nazywane s a głównymi momentami bezwładnosci . Mo-

ment bezwładnosci o najwiekszej wartosci jest to moment obliczony wzgledem najkrótszej osi elipsoidy

bezwładnosci.

Powierzchnia zyczna bryły ziemskiej jest bardzo skomplikowana. Pomimo to istnieje zupełnie dobre jej

przyblizenie geometryczne — trójosiowa elipsoida — zwana elipsoid a gury Ziemi. Jej os biegunowa nosi

miano osi gury , a prostopadła do niej płaszczyzna, przechodz aca przez srodek masy Ziemi, okresla równik

gury .

1 Wykorzystywane dosc szeroko pojecie równika geogracznego nie ma scisłego okreslenia.

Wydaje sie, ze tak

naprawde jego uzytkownicy maj a na mysli równik gury.

110

Ruch Ziemi

m i

Rysunek 9.2: Rysunek podpórka do równa n deniuj acych wzgledem osi k , moment bezwładnosci

bryły o objetosci V oraz moment bezwładnosci układu N cz astek materialnych.

W teorii ruchu wirowego Ziemi, jako ciała doskonale sztywnego zakłada sie, ze osie elipsoidy gury

Ziemi pokrywaj a sie z osiami elipsoidy bezwładnosci bryły Ziemi, wiecej, ze pokrywaj a sie najkrótsze osie

obu elipsoid. W rzeczywistosci, ruch mas wewn atrz bryły ziemskiej, powoduje niewielkie skrecenie osi

elipsoidy bezwładnosci Ziemi wzgledem elipsoidy gury, dlatego mozna jedynie twierdzic, ze osie elipsoidy

gury pokrywaj a sie z pewnym srednim połozeniem osi elipsoidy bezwładnosci.

Warto jeszcze wspomniec, ze równikowe osie ziemskiej elipsoidy bezwładnosci s a niemal identyczne,

podobnie jest w przypadku elipsoidy gury Ziemi.

St ad bryła ziemska zwykle opisywana jest z pomoc a

dwuosiowych elipsoid obrotowych.

Równania ruchu wirowego

Ruch wirowy bryły uwazamy za opisany w pełni jezeli na dowolny moment czasu mozemy obliczyc skład-

owe wektora k atowej predkosci wirowania bryły.

Niech wektorem predkosci k atowej Ziemi bedzie wektor =

, jego składowe to rzuty pros-

tok atne wektora na osie ziemskiej elipsoidy bezwładnosci. Wektor ~ spełnia równania rózniczkowe

zwane równaniami Eulera

(9.1)

gdzie A B C — s a to składowe wetora M momentu sił zewnetrznych, wyznaczonego wzgledem

srodka masy Ziemi. Moment M ma przyczyne głównie w efekcie grawitacyjnego przyci agania równiko-

wych wybrzuszen elipsoidy gury Ziemi przez Słonce i Ksiezyc. Ze wzgledu na wirowanie Ziemi oraz na

zmiany wzajemnej konguracji przestrzennej Ziemi, Słonca i Ksiezyca — długosc wektora M , jego skład-

owe wzgledem osi szybko zmieniaj a sie w bardzo złozony sposób. Mimo to, korzystaj ac z teorii

ruchu orbitalnego Ziemi i Ksiezyca mozna te składowe wystarczaj aco dokładnie policzyc na dowolny mo-

ment czasu. A zatem, na dowolny moment czasu mozemy podac rozwi azanie układu równan Eulera.

Wiadomo, ze rozwi azanie równania rózniczkowego składa sie z rozwi azania ogólnego (tzn. rozwi aza-

nia równania Eulera z prawymi stronami równymi zeru, tzw. równania jednorodne) oraz z rozwi azania

szczególnego (równania niejednorodne). W przypadku równan Eulera, rozwi azanie ogólne opisuje swobodny

ruch bieguna z amplitud a wystepuj ac a w rozwi azaniu jako parametr, który trzeba wyznaczyc z obserwacji.

Rozwi azania szczególne daj a składowe A B C wymuszonego ruchu wirowego Ziemi wynikaj acego z

niezerowych składowych wektora mementu zewnetrznych sił.

Os i składowe ruchu obrotowego Ziemi

Oznaczmy przez szczególne rozwi azanie równan Eulera, wektor ten przechodzi przez srodek masy Ziemi,

jego kierunek nazywa sie osi a ruchu obrotowego, a scislej chwilow a osi a obrotu Ziemi. Punkty przeciecia osi

wirowania z powierzchni a Ziemi (powierzchni a elipsoidy gury) nazywaj a sie chwilowymi biegunami Ziemi,

a w przypadku sfery geocentrycznej — biegunami swiata lub prawdziwymi biegunami swiata. Przeciecie z

9.2 Ruch wirowy Ziemi

111

Biegun

ekliptyki

rownik

figury

Rysunek 9.3: Wektor ! chwilowej predkosci wirowania bryły Ziemi rozłozony na składowe:

wzdłuz kierunku na bieguny ekliptyki, ' w kierunku bieguna gury C oraz

wzdłuz lini wezłów

ekliptyki i równika gury.

powierzchni a Ziemi płaszczyzny przechodz acej przez srodek masy Ziemi i prostopadłej do chwilowej osi

obrotu — nazywamy równikiem chwilowym . Analogicznie, przeciecie tej płaszczyzny ze sfer a niebiesk a

nazywamy prawdziwym równikiem niebieskim lub równikiem swiata.

Gdyby os obrotu Ziemi była prostopadła do równika gury Ziemi, czyli gdyby pokrywała sie z osi a

gury, wówczas składowe A

. Niestety, rzeczywistosc jest bardziej złozona, chwilowa os

wirowania Ziemi nie pokrywa sie z osi a sigury Ziemi, w rezultacie składowe A B choc niewiele, ale jed-

nak rózni a sie od zera. Z równan Eulera mozemy wyznaczyc wektor , a jego składowe wyrazic wzgledem

dowolnych osi np. na osi zwi azanych z ekliptyk a. Postuluj ac, ze znane jest połozenie osi wzgle-

dem osi zwi azanych z ekliptyk a, wówczas z pomoc a składowych A B C i odpowiednich transformacji

obrotu, mozna wyliczyc składowe wektora wzgledem trzech osi ekliptycznych. Osie te mog a byc okres-

lone dowolnie w szczególnosci mog a to byc osie nieortogonalne a ich wzajemne połozenie moze zmieniac

sie w czasie. Moze to dziwne, ale dogodn a triad a osi okazała sie byc:

normalna do płaszczyzny ekliptyki,

linia przeciecia płaszczyzny ekliptyki z płaszczyzn a równika gury Ziemi (linia wezłów równika g-

ury),

os C gury Ziemi.

Prostok atne rzuty wektora predkosci obrotowej Ziemi na tak wybrane osie oznaczane s a przez

(patrz rysunek 9.3). Fizyczna interpretacja tych składowych jest nastepuj aca:

to szybkosc precesji osi gury ziemskiej wzgledem normalnej do płaszczyzny ekliptyki,

powoduje zmiane k ata nachylenia równika gury do ekliptyki,

jest po prostu szybkosci a wirowania Ziemi wokół jej osi gury.

W mechanice teoretycznej, składowa

nazywana jest szybkosci a własciwego obrotu, dlatego mozemy

napotkac takie pojecia jak os własciwego obrotu, równik własciwego obrotu.

Tempo własciwego obrotu

. Tak własnie powinno byc, bowiem w mysl pod-

stawowej zasady mechaniki bryły, jej ruch wirowy odbywa sie wokół osi bliskiej osi najwiekszego momentu

bezwładnosci, czyli najkrótszej osi elipsoidy bezwładnosci bryły.

W wyrazeniach na kazd a ze składowych

Ziemi _ jest niewspółmiernie wieksze od szybkosci

tkwi a: składnik stały (prawie stały) oraz suma duzej

liczby niewielkich wyrazów okresowych. Te ostatnie wyrazy nosz a nazwe nutacji , chwilowo zostawimy je

na boku a zajmiemy sie regularnym ruchem wirowym Ziemi.

09 - Ruch Ziemi.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: