rownania_rozniczkowe_rzedu_drugiego wyklad 6.pdf

R ó wnaniar ó »niczkowerzƒdudrugiego

osta“ychwsp ó “czynnikach

Wyk“ad(In»ynieria–rodowiska)

•R ó wnanialiniowejednorodne

•R ó wnanialinioweniejednorodne

De nicja1.(r ó wnaniedrugiegorzƒduowsp ó “czynnikachsta“ych)

R ó wnanier ó »niczkoweliniowerzƒdudrugiegoowsp ó “czynnikachsta“ychma

posta¢

dx 2 +b dy

dx +cy=f(x), (a6=0).

R ó wnanietojestliniowewzglƒdemyijejpochodnych,natomiastfunkcjaf

zmiennejxmo»eby¢dowolnejpostaci,aliterya,b,coznaczaj¡dowolnesta“e

rzeczywiste.

Uwaga1.Je»elif(x)0,tor ó wnanietonazywamyr ó wnaniemjednorod-

nym(lubuproszczonym),wprzeciwnymprzypadkunazywamyjer ó wnaniem

niejednorodnym(lubwpostaciog ó lnej).

Twierdzenie1.(opostacirozwi¡zaniar ó wnanialiniowegorzƒdudrugiego

osta“ychwsp ó “czynnikach)

Je»eliznamyrozwi¡zanieog ó lney 1 (x,C 1 ,C 2 )r ó wnaniajednorodnegooraz

jakie–rozwi¡zanieszczeg ó lney 2 (x)r ó wnanianiejednorodnego,torozwi¡zanie

og ó lner ó wnanianiejednorodnegowyra»asiƒwzorem

y=y 1 (x,C 1 ,C 2 )+y 2 (x).

De nicja2.(r ó wnaniecharakterystyczne)

R ó wnaniemcharakterystycznym,jednorodnegor ó wnanialiniowegorzƒdudrugiego

osta“ychwsp ó “czynnikach,nazywamyr ó wnaniepostaci

ar 2 +br+c=0 (a6=0),

otrzymanezr ó wnania

a d 2 y

dx 2 +b dy

dx +cy=0, (a6=0),

przezpodstawienie

y=e rx .

Algorytmrozwi¡zaniajednorodnegor ó wnaniarzƒdudrugiegoo

sta“ychwsp ó “czynnikach

Tworzymyr ó wnaniecharakterystyczne:

ar 2 +br+c=0 (a6=0).

R ó wnanietomo»emie¢dwar ó »nepierwiastkirzeczywiste,jedenpierwiastek

podw ó jnylubdwar ó »nepierwiastkizespolone.

a d 2 y

1.Je»eli=b 2 −4ac>0,tor ó wnaniecharakterystycznemadwar ó »ne

pierwiastkirzeczywister 1 ir 2 ,w ó wczasr ó wnanier ó »niczkowejednorodnema

rozwi¡zanieog ó lnepostaci

y=C 1 e r 1 x +C 2 e r 2 x .

2.Je»eli=b 2 −4ac=0,tor ó wnaniecharakterystycznemaje-

denpierwiastekpodw ó jnyr,w ó wczasr ó wnanier ó »niczkowejednorodnema

rozwi¡zanieog ó lnepostaci

y=(C 1 x+C 2 )e rx .

3.Je»eli=b 2 −4ac<0,tor ó wnaniecharakterystycznemadwar ó »ne

pierwiastkizespoloner 1 =+i,r 1 =−i,w ó wczasr ó wnanier ó »niczkowe

jednorodnemarozwi¡zanieog ó lnepostaci

y=e x (C 1 cosx+C 2 sinx).

‚ wiczenie1.Rozwi¡za¢r ó wnaniar ó »niczkowe:

a)2y 00 −5y 0 −3y=0,

b)4y 00 +12y 0 +9y=0,

c)y 00 +4y 0 +13y=0.

Uwaga2.(wyznaczanierozwi¡za«szczeg ó lnychr ó wna«liniowychniejednorod-

nychdrugiegorzƒdu)

Zgodnieztwierdzeniem1rozwi¡zanieog ó lner ó wnanialiniowegoniejednorod-

negostopniadrugiegoosta“ychwsp ó “czynnikachjestpostaci:

CORN=CORJ+CSzRN.

AlgorytmwyznaczaniaCORJzosta“om ó wionypowy»ej.Rozwi¡zanieszczeg ó lne

r ó wnanianiejednorodnego(CSzRN)znajdujemymetod¡przewidywa«lub

metod¡uzmiennianiasta“ej.

‚ wiczenie2.Rozwi¡za¢r ó wnania:

a)y 00 −4y+4y=8x 3 −36x,

b)y 00 +4y=sin3x,

c)y 00 −y=2xcosx+e x przywarunkachpocz¡tkowychx=0,y= 1

2 ,y 0 =1.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: