modele_epidemii.pdf

Modeleepidemii

1 ModeleSIR

Schemat modelu:

S → I → R

(1)

S osobniki podatne

I osobniki chorujące i roznoszące infekcję

R osobniki ozdrowiałe

modyﬁkacjami tego modelu są SI bez uwzględniania osobników ozdro

wiałych oraz SEIR E osobniki z chorobą w fazie utajonej.

Założenia dotyczące rozprzestrzeniania się i okresu inkubacji wchodzą w

parametry modelu.

Przyjmijmy następujące założenia:

1. przyrost w grupie osobników zainfekowanych jest proporcjonalny do

ilości osobników zainfekowanych i do ilości podatnych — rIS

2. przyrost osobników ozdrowiałych jest wprost proporcjonalny do ilości

aktualnie chorych — aI , gdzie a> 0.

3. okres inkubacji jest na tyle krótki, że można go zaniedbać— osobnik

podatny, który się zaraził zaczyna chorować natychmiast.

4. populacjajestdokładniewymieszana—każdytyposobnikamajedna

kowe prawdopodobieństwo spotaknia osobnika innego typu.

Przytychzałożeniachdostajemyrównania(KermackaMcKendricka(1972)):

S = − rSI

I = rSI − aI

R = aI

(2)

Zauważmy, że model ten ma wbudowane założenie o stałej liczebności:

S + I + R =0

Sensowne dane poczatkowe dla modelu epidemiologicznego to:

S (0)= S 0 > 0 ,I (0)= I 0 > 0 ,R (0)=0

W przypadku gdy choroba nie trwa krótko, powinno się do modelu doło

żyćczynnikizwiązanezrozrodczościąinaturalnąśmiertelnością.Wukładach

takich mogą pojawić się oscylacje obserwowane jako fale czasowe epidemii.

Jeśliuwzględnićrozprzestrzenianiesięgeograﬁcznetomogądojśćjeszczefale

przestrzenne.

W przypadku modelu infekcji najciekawsze jest to, jakie są warunki na

parametryabyinfekcjazgasła,aprzyjakichsięrozwinie,orazpojakimczasie

ewentualnie się zakończy.

= I 0 ( rS 0 − a )=

> 0

< 0 jeśli S 0

> = a/r

< = a/r

(3)

t =0

Z (2) S 0 to S <S 0 . Mamy zatem dwie możliwości:

S 0 a/r wtedy I 0 i nie ma epidemii

S 0 >a/r wtedy I > 0 w początkowej fazie, czyli mamy epidemię

Parametr krytyczny = a/r nazywamy względnym współczynnikiem

zdrowienia i jest on odwrotnością współczynnika kontaktów = r/a . Zwią

zany z nim jest tzw. bazowywspółczynnikreprodukcji dla danej infekcji:

R B = rS 0

Opisuje on ilość osobników nowo zarażonych przez jednego aktualnie zara

żonego. Jeśli R B > 1 to choroba rozprzestrzenia się. Jednym ze sposobów

zmniejszenia R B jest zmniejszenie S 0 czyli ilości osobników podatnych. Ba

zowy współczynnik reprodukcji jest kluczowym parametrem kontrolowanym

np. przez szczepienia.

1.1 Maksymalnailośćzachorowań

Dzieląc równania (2) mamy:

dS = − ( rS − a ) I

= − 1+

(4)

rSI

Równania te można scałkować i uwzględnić warunek początkowy:

I + S − ln S = const = I 0 + S 0 − ln S 0

(5)

Polecenie: Obejrzeć wykres I ( S )

Co więcej S 0 + I 0 = N . Maksymalna liczba zarażonych jest dla I = 0

czyli:

S = a

r =

Zatem maksymalna liczba zarażonych wynosi:

I max = N − ln S 0 − + ln = N − + ln

S 0

(6)

1.2 Dlaczegoepidemiawygasa?

Z wykresu I ( S ) widzimy, że I → 0 dla t → ∞ (innymi słowy epidemia

wygasa). Z równania (2) wynika, że S maleje bo d dt < 0 dla S =0 , I =0.

Natomiast dzieląc stronami (2) mamy:

dR = − S

⇒ S = S 0 e − R/ S 0 e − N/ > 0 ⇒ 0 <S ( ∞ ) N (7)

Znowu przyjrzyjmy się wykresowi I ( S ). Widzimy, że 0 < S ( ∞ ) < .

Ponieważ I ( ∞ )=0 to R ( ∞ )= N − S ( ∞ ) . Podstawiając do (7):

S ( ∞ )= s 0 e − − R ( 1 )

= S 0 e − N − S ( 1 )

czyli S 0 jest dodatnim pierwiastkiem równania:

S 0 e − N − z

= z

Ponieważ I ( ∞ ) → 0 zaś S ( ∞ ) → S ( ∞ ) > 0 więc w modelu SIR epidemia

wygasa z braku osobników zainfekowanych a nie z braku osób podatnych.

1.3 Dopasowanie modelu do danych epidemiologicz

nych

Najczęściejznanąwielkościąjeststatystykawyzdrowień.Przekształcamyrów

nanie (2):

dt = aI = a ( N − R − S )= a

N − R − S 0 e − R/

(8)

Dla niedużych R/ < 1 epidemii stosowane jest rozwiązanie przybliżonego

równania (8):

dt = a

N − S 0 +

S 0

− 1

R − S 0 R 2

2 2

(9)

co po scałkowaniu daje zależność R ( t ):

t = − 2

tanh − 1 − aS 0

2 R + S 0 − 1

(10)

gdzie

S 0 ( N − S 0 )

S 0

− 1

= a

a ta z kolei po zróżniczkowaniu względem t datje:

dt = a 2 2

2 S 0 sech 2

2 −

(11)

gdzie

( S 0 / − 1) 2 + 2 S 0 ( N − S 0 )

= 1

tanh − 1

S 0

− 1

1.4 PrzykładydopasowaniamodeluSIRdodanch

1.4.1 Bombajskaepidemiadżumy19051906

Kermack i McKendrick (1027):

| DDRt =890sech 2 (0 . 2 t − 3 . 4)

RYS. .10.2

1.4.2 Epidemiagrypywinternacie1978

512 / 763chorychWtymprzypadkuniemożnazastosowaćprzybliżeniamałej

epidemii. Natomiast znane są liczby zachorowań I ( t ).

RYS. 10.3

1.5 Opóźnienia

WmodeluSIRmożnauwzględnićfazęutajonąchorobyalbozapomocąopóź

nienia albo za pomocą dodatkowej grupy osobników E ( t ) pomędzy grupą

podatnąazainfekowaną.Obecnośćopóźnieńprowadzidopowstawaniaoscy

alcji.

2 Modelowanie chorób wenerycznych mo

delekrzyżowe

Co odróżnia te choroby od innych?

1. są ograniczone do społeczności aktywnej seksualnie nie sprawdza się

założenie o jednostajnym rozkładzie w całej populacji

2. nosiciel zwykle nie wykazuje objawów aż do późnego stadium choroby

3. choroby te zwykle nie prowadzą do nabycia odporności

4. wprzypadkudopasowywaniamodelidodanychtrzebauważaćnaefekt

wzrostu wykrywalności niektórych nowych chorób

2.1 Wyprowadzenieprostegomodelurzeżączki

Zakłożenia:

1. rozważana populacja jest jednostajnie wymieszana

2. rozważamy tylko kontakty hetero

3. populacja składa się z dwóch odziałujących na siebie grup: mężczyzn i

kobiet

4. z dwóch powyższych wynika, że infekcja przekazywana jest z członków

jednej grupy do drugiej

ZastosujemykoncepcjęmodelitypuSIR.Wydzielamywkażdejzgrupfrakcję

podatna S , zainfekowaną I oraz ozdrowiałą R (dla rozróżnienia grup kobie

tom dodamy ). Schemat interakcji:

~~ | | | | | | | |

// I

uwzględniając to, że ozdrowieńcy nie uzyskują odporności:

~~ | | | | | | | |

// I

`` B B B B B B B B

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: