modele_epidemii.pdf
(
141 KB
)
Pobierz
309447350 UNPDF
Modeleepidemii
1 ModeleSIR
Schemat modelu:
S
→
I
→
R
(1)
S
osobniki podatne
I
osobniki chorujące i roznoszące infekcję
R
osobniki ozdrowiałe
modyfikacjami tego modelu są
SI
bez uwzględniania osobników ozdro
wiałych oraz
SEIR
E
osobniki z chorobą w fazie utajonej.
Założenia dotyczące rozprzestrzeniania się i okresu inkubacji wchodzą w
parametry modelu.
Przyjmijmy następujące założenia:
1. przyrost w grupie osobników zainfekowanych jest proporcjonalny do
ilości osobników zainfekowanych i do ilości podatnych —
rIS
2. przyrost osobników ozdrowiałych jest wprost proporcjonalny do ilości
aktualnie chorych —
aI
, gdzie
a>
0.
3. okres inkubacji jest na tyle krótki, że można go zaniedbać— osobnik
podatny, który się zaraził zaczyna chorować natychmiast.
4. populacjajestdokładniewymieszana—każdytyposobnikamajedna
kowe prawdopodobieństwo spotaknia osobnika innego typu.
Przytychzałożeniachdostajemyrównania(KermackaMcKendricka(1972)):
S
=
−
rSI
I
=
rSI
−
aI
R
=
aI
(2)
1
Zauważmy, że model ten ma wbudowane założenie o stałej liczebności:
S
+
I
+
R
=0
Sensowne dane poczatkowe dla modelu epidemiologicznego to:
S
(0)=
S
0
>
0
,I
(0)=
I
0
>
0
,R
(0)=0
W przypadku gdy choroba nie trwa krótko, powinno się do modelu doło
żyćczynnikizwiązanezrozrodczościąinaturalnąśmiertelnością.Wukładach
takich mogą pojawić się oscylacje obserwowane jako fale czasowe epidemii.
Jeśliuwzględnićrozprzestrzenianiesięgeograficznetomogądojśćjeszczefale
przestrzenne.
W przypadku modelu infekcji najciekawsze jest to, jakie są warunki na
parametryabyinfekcjazgasła,aprzyjakichsięrozwinie,orazpojakimczasie
ewentualnie się zakończy.
dI
dt
=
I
0
(
rS
0
−
a
)=
>
0
<
0
jeśli
S
0
>
=
a/r
<
=
a/r
(3)
t
=0
Z (2)
S
0 to
S <S
0
. Mamy zatem dwie możliwości:
S
0
a/r
wtedy
I
0 i nie ma epidemii
S
0
>a/r
wtedy
I >
0 w początkowej fazie, czyli mamy epidemię
Parametr krytyczny
=
a/r
nazywamy względnym współczynnikiem
zdrowienia i jest on odwrotnością współczynnika kontaktów
=
r/a
. Zwią
zany z nim jest tzw.
bazowywspółczynnikreprodukcji
dla danej infekcji:
R
B
=
rS
0
a
Opisuje on ilość osobników nowo zarażonych przez jednego aktualnie zara
żonego. Jeśli
R
B
>
1 to choroba rozprzestrzenia się. Jednym ze sposobów
zmniejszenia
R
B
jest zmniejszenie
S
0
czyli ilości osobników podatnych. Ba
zowy współczynnik reprodukcji jest kluczowym parametrem kontrolowanym
np. przez szczepienia.
1.1 Maksymalnailośćzachorowań
Dzieląc równania (2) mamy:
dI
dS
=
−
(
rS
−
a
)
I
=
−
1+
S
(4)
rSI
Równania te można scałkować i uwzględnić warunek początkowy:
I
+
S
−
ln
S
=
const
=
I
0
+
S
0
−
ln
S
0
(5)
2
Polecenie:
Obejrzeć wykres
I
(
S
)
Co więcej
S
0
+
I
0
=
N
. Maksymalna liczba zarażonych jest dla
I
= 0
czyli:
S
=
a
r
=
Zatem maksymalna liczba zarażonych wynosi:
I
max
=
N
−
ln
S
0
−
+
ln
=
N
−
+
ln
S
0
(6)
1.2 Dlaczegoepidemiawygasa?
Z wykresu
I
(
S
) widzimy, że
I
→
0 dla
t
→ ∞
(innymi słowy epidemia
wygasa). Z równania (2) wynika, że
S
maleje bo
d
dt
<
0 dla
S
=0
, I
=0.
Natomiast dzieląc stronami (2) mamy:
dR
=
−
S
⇒
S
=
S
0
e
−
R/
S
0
e
−
N/
>
0
⇒
0
<S
(
∞
)
N
(7)
Znowu przyjrzyjmy się wykresowi
I
(
S
). Widzimy, że 0
< S
(
∞
)
<
.
Ponieważ
I
(
∞
)=0 to
R
(
∞
)=
N
−
S
(
∞
) . Podstawiając do (7):
S
(
∞
)=
s
0
e
−
−
R
(
1
)
=
S
0
e
−
N
−
S
(
1
)
czyli
S
0
jest dodatnim pierwiastkiem równania:
S
0
e
−
N
−
z
=
z
Ponieważ
I
(
∞
)
→
0 zaś
S
(
∞
)
→
S
(
∞
)
>
0 więc w modelu
SIR
epidemia
wygasa z braku osobników zainfekowanych a nie z braku osób podatnych.
1.3 Dopasowanie modelu do danych epidemiologicz
nych
Najczęściejznanąwielkościąjeststatystykawyzdrowień.Przekształcamyrów
nanie (2):
dR
dt
=
aI
=
a
(
N
−
R
−
S
)=
a
N
−
R
−
S
0
e
−
R/
(8)
Dla niedużych
R/
<
1 epidemii stosowane jest rozwiązanie przybliżonego
równania (8):
dR
dt
=
a
N
−
S
0
+
S
0
−
1
R
−
S
0
R
2
2
2
(9)
3
dS
co po scałkowaniu daje zależność
R
(
t
):
t
=
−
2
tanh
−
1
−
aS
0
2
R
+
S
0
−
1
(10)
gdzie
S
0
(
N
−
S
0
)
2
S
0
−
1
2
=
a
+
a ta z kolei po zróżniczkowaniu względem
t
datje:
dt
=
a
2
2
2
S
0
sech
2
at
2
−
(11)
gdzie
=
(
S
0
/
−
1)
2
+
2
S
0
(
N
−
S
0
)
2
=
1
tanh
−
1
S
0
−
1
1.4 PrzykładydopasowaniamodeluSIRdodanch
1.4.1 Bombajskaepidemiadżumy19051906
Kermack i McKendrick (1027):
|
DDRt
=890sech
2
(0
.
2
t
−
3
.
4)
RYS. .10.2
1.4.2 Epidemiagrypywinternacie1978
512
/
763chorychWtymprzypadkuniemożnazastosowaćprzybliżeniamałej
epidemii. Natomiast znane są liczby zachorowań
I
(
t
).
RYS. 10.3
1.5 Opóźnienia
WmodeluSIRmożnauwzględnićfazęutajonąchorobyalbozapomocąopóź
nienia albo za pomocą dodatkowej grupy osobników
E
(
t
) pomędzy grupą
podatnąazainfekowaną.Obecnośćopóźnieńprowadzidopowstawaniaoscy
alcji.
4
dR
2 Modelowanie chorób wenerycznych mo
delekrzyżowe
Co odróżnia te choroby od innych?
1. są ograniczone do społeczności aktywnej seksualnie nie sprawdza się
założenie o jednostajnym rozkładzie w całej populacji
2. nosiciel zwykle nie wykazuje objawów aż do późnego stadium choroby
3. choroby te zwykle nie prowadzą do nabycia odporności
4. wprzypadkudopasowywaniamodelidodanychtrzebauważaćnaefekt
wzrostu wykrywalności niektórych nowych chorób
2.1 Wyprowadzenieprostegomodelurzeżączki
Zakłożenia:
1. rozważana populacja jest jednostajnie wymieszana
2. rozważamy tylko kontakty hetero
3. populacja składa się z dwóch odziałujących na siebie grup: mężczyzn i
kobiet
4. z dwóch powyższych wynika, że infekcja przekazywana jest z członków
jednej grupy do drugiej
ZastosujemykoncepcjęmodelitypuSIR.Wydzielamywkażdejzgrupfrakcję
podatna
S
, zainfekowaną
I
oraz ozdrowiałą
R
(dla rozróżnienia grup kobie
tom dodamy
). Schemat interakcji:
S
~~
|
|
|
|
|
|
|
|
//
I
R
S
//
I
R
uwzględniając to, że ozdrowieńcy nie uzyskują odporności:
a
S
~~
|
|
|
|
|
|
|
|
//
I
R
S
//
I
R
a
5
``
B
B
B
B
B
B
B
B
``
B
B
B
B
B
B
B
B
Plik z chomika:
g_rom
Inne pliki z tego folderu:
11014908_946127688782017_4759297937134303802_n[1].jpg
(117 KB)
12109127_964879163573536_7007255221591522462_n[1].jpg
(62 KB)
12339076_1630548550540805_4324433120547790445_o[1].jpg
(78 KB)
12308352_1481482235491778_3664935346238752418_n[1].jpg
(49 KB)
12239922_195318270801377_7632065862785083078_n[1].jpg
(55 KB)
Inne foldery tego chomika:
-- 320 filmów --DISCOVERY-- CHOMIKUJ
2010 - Video Collection (DVD)
anatomia pc [ PL ]
Architektura komputerów
Delicate Sound of Thunder (1988)
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin