Analiza konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modeli dyskretnych i modeli ciągłych.pdf

V Konferencja Naukowo-Techniczna

Programy MES w komputerowym wspomaganiu analizy, projektowania i wytwarzania

ANALIZA KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCYCH

BUDYNKI WYSOKIE PRZY WYKORZYSTANIU

MODELI DYSKRETNYCH I MODELI CIĄGŁYCH

Jacek Wdowicki, Elżbieta Wdowicka

Instytut Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Poznańska

e-mail: jacek.wdowicki@put.poznan.pl

1. Wstęp

W pracy analizuje się przestrzenne układy ścianowe z nadprożami, usztywniające budynki wysokie

(rys.1). Konstrukcje takie są złożone z dowolnie rozmieszczonych w planie, wspornikowo zamocowanych

u podstawy pionowych ścian. Ściany połączone są poziomymi tarczami stropowymi. Niektóre lub wszystkie

ściany mogą być połączone pionowymi złączami niepodatnymi oraz odkształcalnymi, pionowymi pasmami

łączącymi. Pasmami łączącymi mogą być na przykład pionowe rzędy nadproży, równomiernie rozłożonych

wzdłuż wysokości i utwierdzonych w ścianach, lub pionowe podatne złącza.

Rys.1. Schemat przestrzennego układu ścianowego z nadprożami usztywniającego budynek wysoki:

1 – element usztywniający, 2 – pasmo nadproży, 3 – ślad tarczy stropowej

– 223 –

Jacek Wdowicki, Elżbieta Wdowicka

Szczegółową klasyfikację oraz porównanie modeli obliczeniowych imetod analizy układów

usztywniających budynki wysokie znaleźć można w pracach o charakterze przeglądowym [Cou67, Cou73,

Cou83, Lis68, ACI71, Sta72, Sta91d]. Fragmenty obejmujące przegląd metod analizy zawierają również prace

[Paw75, Sie76, Win77, Win77b, Lis74, Ros75]. W pracach tych metody analizy ścianowych konstrukcji

konstrukcji usztywniających dzieli się na wykorzystujące dyskretne lub ciągłe modele konstrukcji. Do pierwszej

grupy należy metoda analogii ram o szerokich słupach oraz metoda elementów skończonych. Reprezentantami

drugiej grupy są metoda ciągłych połączeń i metoda pasm skończonych.

Podsumowanie wiedzy o projektowaniu budynków wysokich było celem przygotowania przez Council on

Tall Buildings and Urban Habitat pięciotomowej monografii [CTBUH]. Ten sam Instytut wydaje co kilka lat

opracowania będące uzupełnieniem monografii [CTB83, CTB86, CTB86b, CTB88, CTB90, CTB95, CTB96].

Ostatnio pod patronatem Council rozpoczęto wydawanie nowej serii wydawniczej [CTB92], której poszczególne

pozycje odpowiadają znacznie rozbudowanym rozdziałom monografii, i która ma w przyszłości zastąpić

monografię.

2. Opis konstrukcji

Układ usztywniający stanowi zespół pionowych ścian usztywniających, utwierdzonych we fundamencie

i swobodnych na szczycie budynku. Ściany usztywniające mogą być dowolnie rozmieszczone w planie

i połączone między sobą pionowymi złączami niepodatnymi.

W układzie mogą występować pionowe pasma nadproży utwierdzonych w ścianach usztywniających oraz

pionowe pasma złączy podatnych.

Zwykle stropy oraz nadproża są dostatecznie gęsto i równomiernie rozmieszczone wzdłuż wysokości, co

pozwala ich oddziaływanie na ściany usztywniające zastąpić obciążeniem rozłożonym w sposób ciągły.

Najczęściej można założyć, że ściany usztywniające posadowione są na tym samym poziomie, mają

jednakową wysokość i stały przekrój oraz stałe cechy materiałowe wzdłuż wysokości.

Rozpatruje się pracę konstrukcji usztywniającej budynku w zakresie odkształceń liniowo-sprężystych

i małych przemieszczeń.

Układ może być poddany działaniu: obciążeń poziomych skupionych, działających na szczycie budynku,

obciążeń poziomych, dowolnie rozłożonych wzdłuż wysokości budynku, obciążeń pionowych, dowolnie

rozłożonych w planie i wzdłuż wysokości budynku oraz pionowych osiadań fundamentów.

3. Obliczenia przy wykorzystaniu modeli dyskretnych

Niewiadomymi w metodach wykorzystujących modele dyskretne układów usztywniających są wartości

sił poprzecznych w poszczególnych nadprożach oraz przemieszczenia wybranych punktów konstrukcji. Wadami

modeli dyskretnych są wielkie i rosnące wraz z liczbą kondygnacji rozmiary układów algebraicznych równań

liniowych oraz pogarszanie się uwarunkowania macierzy sztywności przy wzroście smukłości konstrukcji.

W metodzie ram o szerokich słupach (ang. wide-column frame method) [Mac77b, Mac90, Cha96] każda

ściana jest zastępowana przez usytuowany wzdłuż osi ciężkości pionowy element o równoważnej sztywności na

zginanie i ścinanie. Szerokość ściany jest uwzględniana przez wprowadzenie sztywnych na zginanie odcinków

poziomych o długości równej szerokości ściany, sztywno połączonych ze słupami na poziomie każdego stropu.

Sztywne odcinki przyległych ścian są połączone przegubowo, w celu przeniesienia pionowego ścinania

i zachowania zgodności przemieszczeń ścian. Należy zauważyć, że metoda ta może nie odzwierciedlać

dokładnie zachowania się trzonów cienkościennych [Cou83c]. Ponadto przy analizie konstrukcji jako ramy

przestrzennej zadanie staje się zwykle bardzo duże i rozwiązanie jest często zbyt kosztowne [Che83, Vij95].

W metodzie elementów skończonych konstrukcja jest modelowana przy pomocy dużej liczby małych

elementów, tarczowych dla ścian, ramowych dla nadproży i płytowych dla stropów. Pomimo, że metoda

elementów skończonych jest najbardziej uniwersalnym dostępnym narzędziem analizy konstrukcji, inżynierowie

projektujący budynki wysokie uważają jej standardowe zastosowanie za kłopotliwe. Jednym z powodów jest to,

że układ usztywniający budynku musi być modelowany przy wykorzystaniu elementów tarczowych dla ścian

i elementów ramowych dla łączących je belek. W celu zmniejszenia związanych z tym trudności opracowano

specjalne elementy płaskie, przeznaczone do modelowania ścian usztywniających połączonych nadprożami

[Ha89, Kwa94b].

Metoda elementów skończonych generalnie wymaga znacznie większego nakładu pracy obliczeniowej

niż pozostałe metody. Wielkość zadań obliczeniowych powstających podczas obliczania budynków wysokich

obliczanych metodą elementów skończonych, charakteryzują parametry opisujące obliczenia budynku

dwudziestokondygnacyjnego zrealizowane w Paryżu przez firmę Computas przy wykorzystaniu systemu

SESAM-69 [Ses78]:

– 224 –

Analiza konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modeli dyskretnych i modeli ciągłych

- liczba punktów węzłowych: 28 686,

- liczba stopni swobody: ~140 000,

- liczba elementów bazowych: 10 626,

- liczba superelementów pierwszego poziomu: 48,

- liczba poziomów superelementów: 8,

- liczba superelementów wyższych poziomów: 12,

- liczba wierszy danych: 3400,

- czas przeprowadzenia analizy: 14 dni.

Uwzględniając, że rozpatrywany budynek nie należy do najwyższych, przytoczone liczby wskazują na

trudności na jakie napotyka projektant chcący przeprowadzić np. wariantowe obliczenia projektowanej

konstrukcji.

Zagadnienie złego uwarunkowania zadań rozważane było m. in. w pracy [Sha66], a w odniesieniu do

budynków wysokich np. w pracach [Pab78, Bau80].

4. Obliczenia przy wykorzystaniu modeli ciągłych

W dalszej części pracy analiza przestrzennych układów ścianowych z nadprożami, usztywniających

budynki wysokie, prowadzona będzie przy wykorzystaniu ciągłego modelu konstrukcji. Niewiadomymi

w metodach budowanych na podstawie tego modelu są ciągłe funkcje rozłożonych wzdłuż wysokości budynku

sił ścinających w pionowych pasmach łączących oraz ciągłe funkcje przemieszczeń poziomych i pionowych

ścian usztywniających. Przyjęcie tego modelu zmniejsza istotnie wymiar zadania obliczeniowego oraz pozwala

uniknąć w prosty sposób złego uwarunkowania zadania wynikającego z dużej smukłości konstrukcji,

występującego przy analizie budynków wysokich na podstawie modeli dyskretnych. Stosowanie metod

wykorzystujących ciągły model układu usztywniającego wymaga rozwiązywania układów równań

różniczkowych zwyczajnych.

Spośród wielu prac, w których wyprowadzano równania opisujące zachowanie się ścianowych

konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modelu ciągłego, na szczególną uwagę

zasługują publikacje Biswasa i Tso [Bis74], Rosmana [Ros70, Ros71], Glücka i Gellerta [Glü72], Glücka

i Kraussa [Glü73], Danay'a, Gellerta i Glücka [Dan74], Laredo [Lar73], Peterssona [Pet74], Jendele i Šejnohy

[Jen76], Lewickiego z zespołem [Lew79], Lisa [Lis76] oraz Rappa i Wrześniowskiego [Rap73].

Przykładowo w sformułowaniu, przyjętym za podstawę do budowy systemu BW [Wdo93d], grupy ścian

usztywniających połączonych złączami niepodatnymi modeluje się prętami cienkościennymi o przekroju

otwartym, z pominięciem odkształceń postaciowych od sił poprzecznych i sztywności na skręcanie swobodne.

W tym celu wykorzystuje się teorię Własowa. Według R. Rosmana (patrz np. dyskusja na temat pracy [Tso73] -

[Ros73]) pomijanie sztywności na skręcanie swobodne jest szczególnie uzasadnione wkonstrukcjach

żelbetowych, dla których przy powstaniu rys stosunek sztywności na skręcanie do sztywności na zginanie

znacznie się obniża. Podobne stanowisko wyraził A.W. Irwin [Irw75] podczas dyskusji na temat artykułu J.K.

Biswasa i W.K. Tso [Bis74]. Dla układów usztywniających, złożonych z większej liczby elementów, wpływ

pominięcia sztywności na skręcanie swobodne jest praktycznie nieistotny. Potwierdza to między innymi

porównanie wyników, uzyskanych przy uwzględnieniu [Dan74] i pominięciu tego czynnika, przedstawione dla

przykładu pierwszego w pracy [Wdo80].

Stropy budynku traktuje się jako nieskończenie sztywne w swej płaszczyźnie, a całkowicie wiotkie

z płaszczyzny. Gdy wymagane jest uwzględnienie w analizie sztywności stropów z ich płaszczyzny, modeluje się

je dodatkowymi pasmami nadproży.

Metody oparte na modelu ciągłym charakteryzują się małą liczbą niewiadomych. Wadą metod jest to, że

te niewiadome są funkcjami. W celu rozwiązania zadania niezbędnym jest więc rozwiązanie układu równań

różniczkowych, a nie, jak w metodach dyskretnych, rozwiązanie układu równań algebraicznych. Pomimo

konieczności oprogramowania rozwiązywania równań różniczkowych zalety metody przeważają nad jej

niedogodnościami.

Wariantem metod bazujących na modelu ciągłym jest metoda pasm skończonych (ang. finite strip

method) [Lis76, Che78]. Jest to metoda dyskretno-ciągła, przy wykorzystaniu której ściana usztywniająca

modelowana jest jako zespół elementów pasmowych, przy czym każdy element ma rozpiętość od podstawy do

szczytu budynku.

5. Przydatność poszczególnych metod w obliczeniach budynków wysokich

Przydatność poszczególnych metod do obliczania budynków wysokich dobrze charakteryzują proporcje

jakie poświęcono tym metodom w opublikowanej przez wydawnictwo Wiley książce "Tall Building Structures:

Analysis and Design" [Sta91d]. Autorami tej monografii są wybitni specjaliści, zajmujący się twórczo

– 225 –

Jacek Wdowicki, Elżbieta Wdowicka

obliczaniem budynków wysokich w ciągu 25 lat przed wydaniem pracy: Bryan Stafford Smith i Alex Coull.

Liczby stron, jakie poświęcono poszczególnym metodom są w niej następujące:

- metoda ciągłego połączenia strony od 216 do 246, tj. 30 stron,

- komputerowa analiza metodą analogii ramowej strony 246 do 252, tj. 6 stron,

- komputerowa analiza przy użyciu membranowych elementów skończonych strony od 252 do 253,

tj. 1 strona.

6. Przykład oprogramowania modelu ciągłego

Przygotowano system programów komputerowych BW przeznaczony do realizacji obliczeń budynków

wysokich usztywnionych konstrukcjami ścianowymi z nadprożami. Przy użyciu programu możliwe jest

analizowanie konstrukcji, których rzut zawiera dowolnie rozmieszczone ściany i nadproża (rys. 1).

Rozpatrywane konstrukcje mogą być poddane obciążeniom poziomym (dowolnie rozłożonym wzdłuż wysokości

budynku lub skupionym na jego szczycie), pionowym (dowolnie rozmieszczonym w rzucie i dowolnie

zmiennym wzdłuż wysokości) i nierównomiernym osiadaniom fundamentów.

Dane wejściowe do systemu obejmują informacje dotyczące układu ścian i nadproży, geometrii i cech

wytrzymałościowych konstrukcji, możliwe do bezpośredniego odczytania z rysunków budynku oraz dane

opisujące obciążenia, przy czym wymagane jest przeprowadzenie przez projektującego tylko prostego zebrania

obciążeń.

W metodach budowanych na podstawie ciągłego modelu konstrukcji, w wariancie odpowiadającym

metodzie sił, niewiadomymi są funkcje rozłożonych wzdłuż wysokości budynku sił ścinających w pionowych

pasmach łączących, zastępujących rzędy nadproży i złącza pionowe [Ros71, Bis74, Dan74, Wdo93a]. Przy

budowie przedstawionego systemu wykorzystano model ciągły, wyma gający dla zastosowanego wariantu

metody sił [Wdo93b] rozwiązania układu równań różniczkowych:

′′′ =

V t

−

V n

N N

−

V n

R R ,

(1)

′′ = +

An f

(2)

gdzie

v G - wektor nieznanych przemieszczeń poziomych układu usztywniającego,

n N - wektor nieznanych sił ścinających w nadprożach,

t K - znany wektor obciążeń poziomych układu usztywniającego,

n R - znany wektor obciążeń pionowych ścian,

B - macierz podatności pasm nadproży,

VLKL

−

T ,

VVLC

T ,

ASKS CLV

−

ESE N N

fFn Ft

RR TK

N R S Z E N T zależą od cech geometrycznych

i wytrzymałościowych konstrukcji w sposób sprecyzowany w [Wdo93a, Wdo93b] .

Warunki brzegowe dla równania (1) mają postać:

Macierze C, C, K , K ,L,S,V , V

(0)

′ =

(0)

′′ =

(h )

(3)

przy czym

h b - wysokość układu usztywniającego budynek.

Odpowiadające równaniu (2) warunki brzegowe są następujące:

(0)

w ,

′ =

(h )

(4)

gdzie

– 226 –

T K

( T 1 ,

VVLC

Analiza konstrukcji usztywniających budynki wysokie przy wykorzystaniu modeli dyskretnych i modeli ciągłych

w N - stała macierz kolumnowa, zależna od założonych osiadań.

Analizowaną konstrukcję, po jej opisaniu przy wykorzystaniu przestrzennego modelu ciągłego, oblicza

się bez wprowadzania dodatkowych założeń upraszczających.

Na podstawie opisanych powyżej danych system automatycznie generuje układy równań różniczkowych

opisujące pracę konstrukcji. Dokonuje się konsekwentnego rozdzielenia tych układów, dzięki czemu możliwe

jest analizowanie konstrukcji przy wykorzystaniu niewielkiego pola pamięci operacyjnej komputera. Dzięki

zastąpieniu całkowania numerycznego całkowaniem według wyprowadzonych analitycznie wzorów

i zoptymalizowanym wykorzystaniu pamięci na dyskach magnetycznych uzyskano krótkie czasy obliczeń.

Opracowanie makrokomendy systemu operacyjnego, której jedynym parametrem jest numer danych sprawia, że

obsługa operatorska systemu jest szczególnie prosta.

Wynikami obliczeń systemu są siły poprzeczne i momenty zginające w nadprożach, przemieszczenia

wybranych punktów budynku oraz wartości naprężeń normalnych, stycznych i głównych w charakterystycznych

punktach konstrukcji. Opcjonalnie mogą być drukowane siły przekrojowe w zespołach ścian usztywniających.

Wszystkie te grupy wyników obliczane są dla poszczególnych schematów obciążeń i dla opisanych zestawów

ekstremów. Wartości wyników drukowane są dla dowolnych, określonych w danych, rzędnych konstrukcji.

7. Przykład obliczeń

Jako przykład obliczeń systemem wykorzystującym metodę ciągłych połączeń podajemy budynek

zrealizowany w Koninie w systemie WK-70, którego rzut pokazany jest na rysunku 2 zawierającym kopię

ekranu preprocesora wbudowanego do systemu BW. Obliczenia wykonano na zlecenie biura projektów

“Inwestprojekt”. Głównym projektantem konstrukcji był Andrzej Schmidt, który przygotował dane przy

współpracy Jacka Wdowickiego. Dane sprawdziła Elżbieta Wdowicka. Na poziomie jednej kondygnacji

występowały: 44 ściany, 27 połączeń niepodatnych oraz 14 nadproży.

Przyjęto dla betonu konstrukcji moduły sprężystości o następujących wartościach: G = 11.57 GPa oraz

E = 27 GPa . Budynek był 11-kondygnacyjny i miał wysokość 30.8 m. Obliczenia wykonano dla 13 zestawów

obciążeń, które obejmowały:

- 4 zestawy obciążeń poziomych,

- 5 zestawów obciążeń pionowych,

- 4 zestawy założonych pionowych osiadań.

Dla potrzeb projektowania wyznaczono wartości ekstremalne przemieszczeń, naprężeń w ścianach oraz

sił w nadprożach dla dwóch stanów tj. dla fazy użytkowania wykończonego obiektu i dla fazy montażu. Zgodnie

z życzeniem projektanta wyprowadzono ze systemu wymagane wyniki co kondygnację.

Najważniejsze wyniki zawierają kolejne rysunki, będące kopiami ekranów wbudowanych do systemu

postprocesorów:

- przemieszczenia budynku od parcia wiatru w kierunku osi Y (rys. 3),

- rozkład naprężeń w poziomie utwierdzenia w całym budynku oraz najbardziej wytężonej ścianie

i zawierającym ją elemencie od parcia wiatru w kierunku osi Y (rys. 4),

- rozkłady wzdłuż wysokości budynku: przemieszczeń liniowych i kątów skręcenia oraz zastępczych

sił rozłożonych w najbardziej wytężonym paśmie nadproży od parcia wiatru w kierunku osi Y

(rys. 5).

Wykresy wykonywane przez postprocesory systemu wskazują projektantowi najbardziej krytyczne

punkty konstrukcji. Komplet wyników systemu w postaci tablic był zbiorem informacji wystarczającym do

zwymiarowania budynku.

8. Podsumowanie

Pomimo rozwoju narzędzi informatyki (sprzętu i oprogramowania), obliczenia budynków wysokich

usztywnianych trzonami lub konstrukcjami ścianowymi z nadprożami wykonywane są nadal, pomijając

nietypowe przypadki, przy wykorzystaniu metod ciągłych. Na taki stan rzeczy składają się przede wszystkim

wielkie wymiary zadań koniecznych do rozwiązywania w przypadku obliczania tych konstrukcji przy

wykorzystaniu modeli dyskretnych oraz chęć ominięcia problemu złego uwarunkowania zadania, często

trudnego do oszacowania bez dodatkowych, kosztownych obliczeń. Nie bez znaczenia jest również fakt

przyzwyczajeń projektantów oraz trudności w wyszukiwaniu istotnych dla projektanta wartości liczbowych w

dużej liczbie wyników generowanych przez systemy ogólnego przeznaczenia.

– 227 –

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: