rownanie_bryla_sztywna.pdf

(438 KB) Pobierz
79496162 UNPDF
7.5.1. Ruch bryły swobodnej
Swobodna bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody i do określenia
jej ruchu potrzeba sześciu równań ruchu. Ruch bryły możemy rozbić na ruch
środka masy, wywołany przez działanie wektora głównego sił zewnętrznych, i
obrót bryły względem środka masy, wywołany przez moment główny sił
zewnętrznych zredukowany do środka masy.
Do ułożenia równań ruchu bryły wykorzystamy wyprowadzone poprzednio
zasady pędu i krętu. W punkcie 7.2.3 wykazano, że pochodna pędu względem
czasu równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych opisuje ruch środka masy, a w
punkcie 7.3.5, że pochodna krętu zredukowanego do środka masy względem czasu
równa momentowi głównemu sił zewnętrznych opisuje obrót bryły względem
środka masy. Mamy więc dwa równania wektorowe opisujące ruch bryły
swobodnej:
d
p
=
W
,
d
k
C
=
M
. (7.90)
dt
dt
C
Te dwa równania wektorowe są równoważne sześciu równaniom skalarnym.
Otrzymamy je po zrzutowaniu wektorów występujących w powyższych
równaniach na osie prostokątnego
układu współrzędnych. Podobnie jak
przy obliczaniu krętu bryły
przyjmiemy dwa układy
współrzędnych: jeden nieruchomy x,
y, z o początku w dowolnym punkcie
O i drugi ruchomy ′ ′ ′
z
z′
M C
y′
C
r C
W
x,y, z sztywno
związany z bryłą o początku w
środku masy C (rys. 7.24). Ponadto
dla uproszczenia obliczeń założymy,
że osie
O
x′
y
x
′′ układu ruchomego są
głównymi centralnymi osiami
bezwładności. Przy takim założeniu
zgodnie ze wzorem (7.66) kręt bryły
,x ′
y
,
z
Rys. 7.24. Ruch swobodny bryły sztywnej
k
C
=
ω
x
′
I
x
′
i
′
+
ω
y
I
y
′
j
′
+
ω
z
′
I
z
′
k
′
, )
gdzie
′
ωωω
′ ′
I
x
,
y
′
,
z
′
ą głównymi centralnymi momentami bezwładności,
a
x ,
y
,
z′
współrzędnymi wektora prędkości kątowej ω w układzie
ruchomym.
′
79496162.002.png
W pierwszej kolejności obliczymy pochodną krętu k C względem czasu z
wykorzystaniem podanych w kinematyce bryły wzorów na pochodne względem
czasu wersorów układu ruchomego (5.31).
d
i
′
=
ω
×
i
′
,
d
j
′
=
ω
×
j
′
,
d
k
′
=
ω
×
k
′
.
d
t
d
t
d
t
d
k
C
=
I
d
ω
x
′
i
′
+
I
d
ω
y
′
j
′
+
I
d
ω
z
′
k
′
+
′
′
′
dt
x
dt
y
dt
z
dt
+
I
ω
d
i
′
+
I
ω
d
j
′
+
I
ω
d
k
′
=
x
′
x
′
dt
y
′
y
′
dt
z
′
z
′
dt
=
I
d
ω
x
′
i
′
+
I
d
ω
y
′
j
′
+
I
d
ω
z
′
k
′
+
x
′
dt
y
′
dt
z
′
dt
+ (
ω
×
I
x
′
ω
x
′
i
′
+
I
y
′
ω
y
′
j
′
+
I
z
′
ω
z
′
k
′
)
.
Wyrażenie w nawiasie w powyższym wzorze jest krętem bryły względem
środka masy. Zatem pochodna krętu k C względem czasu
d
k
C
=
I
d
ω
x
′
i
′
+
I
d
ω
y
′
j
′
+
I
d
ω
z
′
k
′
+
ω
×
k
. (7.91)
dt
x
′
dt
y
′
dt
z
′
dt
C
Po obliczeniu iloczynu wektorowego występującego w tym wzorze oraz
odpowiednim pogrupowaniu wyrazów otrzymamy ostatecznie:
d
k
C
=
⎡
I
d
ω
x
′
+
( )
I
−
I
ω
ω
⎤
i
′
+
⎣
⎦
dt
x
′
dt
z
′
y
′
y
′
z
′
+
⎡
I
d
ω
y
′
+
( )
I
−
I
ω
ω
⎤
j
′
+
.)
⎣
⎦
y
′
dt
x
′
z
′
x
′
z
′
+
⎣
I
d
ω
z
′
+
( ) .
I
−
I
ω
ω
⎦
k
′
z
′
dt
y
′
x
′
x
′
y
′
Po zapisaniu występującego w równaniach (7.90) wektora głównego W i
momentu głównego M O w ruchomym układzie współrzędnych:
W
=
W
x
′
i
′
+
W
y
′
j
′
+
W
z
′
k
′
,
M
C
=
M
C
x
′
i
′
+
M
C
y
′
j
′
+
M
C
z
′
k
′
oraz podstawieniu do drugiego równania (7.90) wzoru (7.92) i porównaniu
wyrażeń przy wersorach otrzymamy sześć skalarnych równań ruchu bryły:
⎡
⎤
79496162.003.png
ma
C
y
′
=
W
y
′
,
⎫
⎪
ma
C
x
′
=
W
x
′
,
⎪
ma
=
W
,
⎪
C
z
′
( )
( )
( )
z
′
⎬
. )
I
ε
+
I
−
I
ω
ω
=
M
,
x
′
x
′
z
′
y
′
y
′
z
′
C
x
′
⎪
⎪
I
ε
+
I
−
I
ω
ω
=
M
,
y
′
y
′
x
′
z
′
x
′
z
′
C
y
′
⎪
I
z
′
ε
z
′
+
I
y
′
−
I
x
′
ω
x
′
ω
y
′
=
M
C
z
′
,
⎭
w których zamiast pochodnych względem czasu współrzędnych prędkości kątowej
ω wprowadzono odpowiednie współrzędne przyśpieszenia kątowego ε:
ε
=
d
ω
x
′
,
ε
=
d
ω
y
′
,
ε
=
d
ω
z
′
,
x
′
dt
y
′
dt
z
′
dt
, , ′ C środka masy C.
Powyższe równania różniczkowe wraz z warunkami początkowymi
jednoznacznie opisują ruch bryły pod wpływem przyłożonego do niej układu sił.
Przy wyprowadzaniu równań ruchu bryły (7.93) za biegun redukcji przyjęto
środek masy C bryły. Początek ruchomego układu współrzędnych można przyjąć
poza środkiem masy, pod warunkiem że punkt ten jest nieruchomy. Jeżeli w
poruszającej się bryle istnieje nieruchomy punkt, np. O, to obierając go za biegun
redukcji, otrzymamy równania o postaci (7.93), ale wtedy zamiast współrzędnych
momentu głównego M
aaa
Cx
′ ′
Cy
Cz
są współrzędnymi przyśpieszenia a
M
C
x
M
C
y
′
,
M
C
′
C zredukowanego do środka masy C
′′ O zredukowanego do
tego nieruchomego punktu. Występujące w tych równaniach momenty
bezwładności muszą być głównymi momentami bezwładności.
M
O
M
O
,
M
O
′
momentu M
a
′
z
należy podstawić współrzędne
79496162.004.png
7.5.2. Obrót bryły wokół stałej osi obrotu
Obrót dowolny bryły wokół głównej osi bezwładności
Ważnym zagadnieniem w dynamice maszyn jest ruch obrotowy bryły wokół
stałej osi obrotu. Z tym zagadnieniem mamy do czynienia we wszystkich
maszynach wirnikowych. Aby taki ruch można było zrealizować, bryła (wirnik)
musi być ograniczona więzami. Są nimi najczęściej łożyska, w których w czasie
ruchu bryły powstają odpowiednie reakcje.
Z kinematyki wiadomo, że obracająca się bryła wokół stałej osi obrotu ma jeden
stopień swobody. Taki ruch bryły można jednoznacznie opisać jednym równaniem
ruchu w postaci kąta obrotu w funkcji czasu ϕ = ϕ(t).
l
z = z′
ε
ω
W
y′
M o
ϕ
O
y
r c
ϕ
C
x
x ′
Rys. 7.25. Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół głównej osi bezwładności
Dla wyprowadzenia dynamicznego równania ruchu bryły założymy, że bryła
obraca się ruchem dowolnym, czyli że prędkość kątowa bryły nie jest stała, wokół
osi będącej główną osią bezwładności (rys. 7.25). Ponadto przyjmujemy, że
początki nieruchomego układu współrzędnych x, y, z i ruchomego znajdują się w
nieruchomym punkcie O znajdującym się na osi obrotu l. Poza tym dla
uproszczenia wzorów założymy, że środek masy C bryły leży na osi .
x
Ponieważ dla takiego ruchu prędkość kątowa ω i przyśpieszenie kątowe ε leżą
na osi obrotu, zatem
′
z= ′
79496162.005.png
ω
x
′
=
ω
y
′
=
0
i
ε
x
′
=
ε
y
′
=
0
, )
a wektory ω i ε można zapisać wzorami:
ω
=
ω
k
=
ω
k
′
=
ω
k
′
=
d
ϕ
k
′
,
z
z
′
dt
d
ω
d
2
ϕ
ε
=
ε
k
=
ε
k
′
=
ε
k
′
=
k
′
=
k
′
.
z
z
′
dt
dt
2
Przyśpieszenie a C środka masy C obliczymy ze wzoru (5.37) podanego w p.
5.3.4 dotyczącym kinematyki ruchu obrotowego:
a
C
=
ε
×
r
C
+
ω
×
( ) .
ω
×
r
C
Po podstawieniu do tego wzoru zależności
r ′
C r , wynikającej wprost z
= C
i
rys. 7.25, otrzymamy:
( )
a
=
ε
k
′
r
i
′
+
ω
k
′
ω
k
′
r
i
′
=
ε
r
j
′
−
ω
2
r
i
′
,
C
C
C
C
C
czyli współrzędne przyśpieszenia środka masy wynoszą:
a
=
−
ω
2
r
,
a
=
ε
r
,
a
=
0
. )
C
′
C
C
y
′
C
C
z
′
Wyprowadzone w poprzednim punkcie równania (7.93) po podstawieniu
zależności (b) oraz wzorów (c) redukują się do postaci (7.94):
−
m
ω
2
r
=
W
,
C
x
′
m
r
C
=
W
y
′
,
.)
I
z
ε
z
′
=
M
O
′
.
Stąd
M
Ox
′
=
0
,
M
Oy
′
=
0
oraz
W
z
′
=
0 . (d)
x y i prostopadłego do tej osi.
Trzecie z równań (7.94) jest dynamicznym równaniem ruchu obrotowego bryły
i przy znanych warunkach początkowych pozwala na wyznaczenie równania jej
ruchu ϕ = ϕ(t). Z dwóch pierwszych równań możemy wyznaczyć siły wywołane
tym, że środek masy leży poza osią obrotu, czyli oś obrotu nie jest główną
centralną osią bezwładności, albo − używając terminologii z dynamiki maszyn −
x
′
Z zależności (d) oraz z równań (7.94) wynika, że w przypadku obrotu bryły
wokół głównej osi bezwładności układ sił zewnętrznych redukuje się do momentu
głównego M O leżącego na osi obrotu l i wektora głównego W leżącego w
płaszczyźnie ′ ′
79496162.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin