zagadnienia_ogolne.pdf

(526 KB) Pobierz
79498001 UNPDF
7.1.1. Przedmiot dynamiki
Dynamika jest działem mechaniki, który zajmuje się badaniem zależności
między ruchem ciał materialnych i siłami wywołującymi ten ruch. Podstawą
dynamiki są prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te były
słuszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do układów inercjalnych.
Z tych praw wynika, że dotyczą one punktu materialnego. W dynamice prawa
te będziemy stosować nie tylko do punktu materialnego, ale także − po ich
odpowiednim przekształceniu − do układu punktów materialnych, ciała sztywnego
i bryły sztywnej.
Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przyśpieszeniu a , na który
działa siła F , sprowadza się do analizy drugiego prawa Newtona:
m
a =
F
. . )
Powyższe równanie jest dynamicznym
równaniem ruchu punktu materialnego.
Jeżeli wektor wodzący
rozpatrywanego punktu materialnego
poprowadzony z początku O
nieruchomego układu współrzędnych x,
y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r , to,
jak wiadomo z kinematyki,
przyśpieszenie a jest drugą pochodną
względem czasu wektora wodzącego.
Zatem równanie (7.1) przyjmie postać:
z
m
r
F
O
y
x
d
2
r =
2
m
F
. (7.2)
Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod
działaniem siły
d
t
Jest to wektorowe równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego. W
prostokątnym układzie współrzędnych, przedstawionym na rys. 7.1, równaniu temu
odpowiadają trzy skalarne dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.
d
2
x
d
2
y
d
2
z
m
=
F
,
m
=
F
,
m
=
F
. (7.3)
d
t
2
x
d
t
2
y
d
t
2
z
W równaniach tych x, y, z są współrzędnymi wektora wodzącego r , czyli
współrzędnymi punktu materialnego, a F x , F y , F z współrzędnymi siły F w
przyjętym układzie współrzędnych.
79498001.001.png
Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) są w ogólnym
przypadku układem trzech równań różniczkowych i stanowią podstawę analizy
dynamiki punktu materialnego. Rozróżniamy tutaj dwie grupy zagadnień, które
omówimy w następnych punktach.
7.1.2. Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki
Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu siły
działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również
znane jako zagadnienie proste dynamiki . Jego rozwiązanie wynika bezpośrednio
z drugiego prawa Newtona i nie nastręcza większych trudności. Jeżeli znamy
równanie ruchu punktu materialnego w postaci:
r =
r
( ) ,
t
to w wyniku dwukrotnego różniczkowania względem czasu otrzymujemy
przyśpieszenie tego punktu:
d 2 r
a =
d
t
i po podstawieniu tej zależności do równania (7.1) otrzymujemy siłę, a właściwie
wypadkową wszystkich sił działających na dany punkt:
d
2
r
F = . . )
m
d
t
2
= , gdzie t jest czasem.
Wyznaczyć współrzędne siły działającej na ten punkt w funkcji współrzędnych
punktu x, y.
x
3
cos2
π
t,
y
=
4sin
π
t
Rozwiązanie . Po zrzutowaniu wektorów występujących w równaniu (7.4) na
osie x i y otrzymujemy współrzędne siły działającej na nasz punkt materialny,
które wyrażają wzory:
d
2
x
d
2
y
F
= ,
m
F
=
m
.
(a)
x
d
t
2
y
d
t
2
Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem czasu równań ruchu otrzymujemy:
d
2
x
=
−
12
π
2
cos2
π
t
=
−
4
π
2
x
,
dt
2
d
2
y
=
−
4
π
2
sin
π
t
=
−
π
2
y
.
dt
2
Przykład 7.1. Punkt materialny o masie m porusza się w płaszczyźnie xy
zgodnie z równaniami ruchu:
79498001.002.png
Po podstawieniu otrzymanych wyników do wzorów (a) otrzymujemy ostatecznie:
F
=
−
m
π
2
x
,
F
=
−
m
π
2
y
x
y
4
7.1.3. Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki
Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu
materialnego poddanego działaniu znanej siły. Widzimy, że zagadnienie to jest
odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i stąd jest ono również znane pod
nazwą − zagadnienie odwrotne dynamiki .
Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze niż pierwsze, ponieważ aby wyznaczyć
równanie ruchu punktu ( )
r
t
r
()
=
r
,
d
r
( )
t
0
=
v
. .)
0
0
d
t
0
Znacznie większe trudności przy poszukiwaniu równania ruchu punktu
materialnego mogą wynikać z faktu, że w przypadku ogólnym siła F działająca na
punkt może być jednocześnie funkcją czasu t, położenia punktu r i prędkości v
punktu. Wtedy dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) należy zapisać w postaci:
d
2
r
= ) . .)
( v
m
F
t
,
r
,
d
t
2
Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego lub równoważnego mu
układu równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych jest bardzo trudne
i tylko w nielicznych przypadkach udaje się otrzymać rozwiązanie ścisłe. Jeżeli nie
znamy rozwiązania równań różniczkowych, stosujemy metody przybliżone lub
numeryczne. W dalszym ciągu ograniczymy się do rozpatrzenia prostych
przykładów, w których siła F będzie stała oraz będzie funkcją tylko jednej
zmiennej − czasu, położenia lub prędkości.
Przykład 7.2. Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem stałej siły
F = const. Wyznaczyć jego prędkość v = v (t) oraz równanie ruchu r = r (t); jeżeli
czas t = 0, to r (0) = r 0 i v (0) = v 0 .
r = przy znanej sile F , należy scałkować równanie
różniczkowe (7.2) lub równoważny temu równaniu układ trzech skalarnych równań
różniczkowych (7.3). Z kursu matematyki wiadomo, że operacja taka nie jest
jednoznaczna i aby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, należy wyznaczyć stałe
całkowania. W tym celu musimy znać wartości funkcji i jej pochodnej (zwane
warunkami początkowymi ) w pewnej chwili t 0 (w chwili początkowej):
t
79498001.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin