Obliczanie drgań własnych ram.pdf

(264 KB) Pobierz
60626881 UNPDF
Część 2 15. DRGANIA WŁASNE RAM – OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 1
15. 
15. DRGANIA WŁASNE RAM – OBLICZANIE CZĘSTOŚCI
KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
15.1. Wprowadzenie
Rozwiązywanie zadań z zakresu dynamiki budowli sprowadza się aż do dwóch zagadnień. Należy
określić częstość drgań własnych układu w przypadku drgań swobodnych oraz wartość amplitudy
przemieszczenia w przypadku drgań wymuszonych obciążeniem zewnętrznym.
Znajomość częstości drgań własnych konstrukcji pozwala uniknąć zjawiska rezonansu. Nie wolno
obciążać konstrukcji urządzeniami, których częstość kołowa pokrywa się z częstością drgań własnych, gdyż
wtedy amplitudy przemieszczeń układu wzrastają w sposób niekontrolowany. W drugim typie zadań układ
obciążony jest urządzeniem o znanej sile wymuszania i częstości drgań. Trzeba wtedy wyliczyć amplitudy
przemieszczeń i porównać je z dopuszczalnymi.
Analizę układu należy rozpocząć od ustalenia stopnia swobody dynamicznej (niezależne, możliwe
kierunki ruchu masy). Dalej należy zapisać równania ruchu po kierunkach swobody dynamicznej, określić
wartości przemieszczeń powstałych od sił dynamicznych.
W układach statycznie wyznaczalnych przemieszczenia liczymy w prosty sposób korzystając z
równania pracy wirtualnej. W układach statycznie niewyznaczalnych obliczenia komplikują się, gdyż
potrzebne są wykresy momentów od sił jednostkowych w układach niewyznaczalnych.
Przemieszczenia od sił jednostkowych (wyznaczony w ten sam sposób jak w metodzie sił) dają układ
zwany macierzą podatności [ D ] . Ten sposób rozwiązywania zadania nazywa się często rozwiązaniem “przez
podatność”.
Istnieją jednak układy, które prościej rozwiązuje się metodą przemieszczeń aniżeli metodą sił (nakład
pracy jest mniejszy). Tego typu ramy łatwiej rozwiązać “przez sztywność”, klasyczną metodą przemieszczeń
przyjmując układ podstawowy (muszą być zablokowane kierunki swobody dynamicznej) obciążony siłami
dynamicznymi. W tym przypadku trzeba stworzyć macierz sztywności układu [ K ], czyli określić reakcje od
jednostkowych przemieszczeń.
Ramy statycznie wyznaczalne rozwiązujemy zazwyczaj korzystając z koncepcji metody sił
(wyznaczamy macierz podatności), natomiast układy statycznie niewyznaczalne rozwiązujemy korzystając z
metody przemieszczeń (wyznaczając macierz sztywności) lub metody sił. Podział ten wynika z nakładu pracy,
jaką trzeba wykonać przy rozwiązywaniu układu poszczególnymi metodami.
W układach statycznie wyznaczalnych obliczenie współczynników δ ik nie jest skomplikowane. Ten sam
układ, rozwiązywany metodą przemieszczeń wymagałby zapewne blokowania obrotów i przesuwów, co
zwiększyłoby liczbę współczynników r ik .
Obie macierze charakterystyczne: podatności [ D ]=[ ik ] i sztywności [ K ]=[ r ik ] są symetryczne:
ik = ki
r ik = r ki
oraz zachodzi między nimi zależność:
[ D ] − 1 =[ K ]
[ D ]⋅[ K ]=[ K ]⋅[ D ]=[ I ]
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626881.020.png
Część 2 15. DRGANIA WŁASNE RAM – OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 2
15.2. Rozwiązywanie przez sztywność (metoda przemieszczeń)
Dla dowolnego układu o zadanej geometrii, sposobie podparcia i rozkładzie masy
J 2 , A 2
1
2
J 1 , A 1
0
J 3 , A 3
ρ, μ
3
znamy wzory transformacyjne na przywęzłowe momenty przęsłowe, siły tnące i normalne.
1
M 12
N 12
N 21
M 21
2
M 10
T 12
T 21
M 23
T 10
N 10
N 23
T 23
Niewiadome przemieszczenia z węzła 1 ( φ 1 , u 1 , v 1 ) i 2 ( φ 2 , u 2 , v 2 ) wyznaczymy zapisując dla każdego z tych
węzłów równania równowagi:
∑ X = 0
∑ Y = 0
∑ M = 0
Otrzymany w ten sposób układ równań jednorodnych, ma rozwiązanie nieosobliwe wówczas, gdy wyznacznik
tego układu będzie równy zero. Otrzymywane w ten sposób równanie charakterystyczne umożliwia wyliczenie
częstości drgań własnych. Metodę tę przybliżymy rozwiązując zadanie.
Zadanie 1
Obliczyć częstości kołowe i postacie drgań własnych dla układu z rysunku 15.1.
m, I m
1
2
4
0
6
[m]
Rys. 15.1. Rama obciążona masą skupioną
Parametry geometryczne i fizyczne układu są następujące:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626881.021.png 60626881.022.png 60626881.023.png 60626881.001.png
Część 2 15. DRGANIA WŁASNE RAM – OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 3
EJ = 6000 kN m 2
m = 300kg
I m = 25 kgm 2
Masa ma możliwość ruchu tylko w jednym kierunku ( SSD = 1 ). Kierunek ten ( w 1 = φ ) i siłę dynamiczną B 1
będącą wynikiem działania bezwładności masy opisuje rys. 15.2.
R 1 , φ
w 1 , B 1
1
2
4
0
6
[m]
Rys. 15.2. Kierunki stopni swobody dynamicznej i układ podstawowy metody przemieszczeń
Funkcja rozwiązująca różniczkowe równanie ruchu dla drgań harmonicznych ma postać:
w 1 t = a 1 sin t
¨ w 1 t =− a 1 2 sin t
(15.1)
Zapiszmy zatem równanie kanoniczne metody przemieszczeń:
R 1 = r 11 w 1 t  r 1P = 0
(15.2)
Aby wyznaczyć wartości współczynników r 11 i r 1P musimy zapisać sumy momentów w węźle 1 , kolejno w
stanie φ = 1 oraz P :
a)
r 11
3 EJ
6
b)
B 1 = -I m w 1 (t)
r 1P
4 EJ
4
2 EJ
4
Rys. 15.3. Wartości momentów: a) w stanie φ = 1, b) w stanie P
Z sumy momentów w węźle 1 otrzymamy:
r 11 = 0,5 EJ EJ = 1,5 EJ
r 1P = I m ¨ w 1 t
Podstawiając te wartości do równania kanonicznego (15.2) dostajemy różniczkowe równanie ruchu:
1,5 EJ ⋅ w 1 t  I m ¨ w 1 t = 0
(15.3)
Wykorzystując funkcję (15.1) otrzymujemy rozwiązanie:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626881.002.png 60626881.003.png 60626881.004.png 60626881.005.png 60626881.006.png 60626881.007.png 60626881.008.png
Część 2 15. DRGANIA WŁASNE RAM – OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 4
1,5 EJ a 1 sin t − I m a 1 2 sin t = 0
(15.4)
Wyeliminowanie zmiennej czasu t prowadzi do równania jednorodnego:
1,5 EJ − I m 2 a 1 = 0
(15.5)
Równanie to ma nietrywialne rozwiązanie ( a 1 ≠ 0 ), gdy:
1,5 EJ − I m 2 = 0
(15.6)
zatem:
=
1,5 EJ
(15.7)
Po podstawieniu danych liczbowych do rozwiązania (15.7) otrzymujemy:
=
1,5 ⋅ 6000 ⋅ 10 3
[ ra s ]
Postać drgań własnych w przypadku SSD = 1 ogranicza się do jednej amplitudy przemieszczenia a 1 , która
może przyjmować dowolną, różną od zera wartość.
Przemieszczeniem (kierunkiem swobody dynamicznej) w tym zadaniu jest kąt obrotu (rys. 15.4).
a 1
Rys. 15.4. Postać drgań własnych
15.3. Rozwiązanie przez podatność (metoda sił)
Zastosowanie koncepcji metody sił w obliczeniach częstości kołowych drgań własnych pokażemy na
przykładach układów statycznie wyznaczalnych.
Zadanie 2
Znaleźć częstości kołowe drgań własnych i narysować ich postacie, dla układu z rys. 15.5.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
I m
25 = 600
60626881.009.png 60626881.010.png 60626881.011.png
Część 2 15. DRGANIA WŁASNE RAM – OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5
k
3
m
3
k
[m]
3
Rys. 15.5. Rama obciążona masą skupioną
Parametry geometryczne i fizyczne układu są następujące:
EJ = 31000 kN m 2
k = EJ
4
m = 200kg
Masa ma możliwość ruchu w dwóch kierunkach ( SSD = 2 ), ich kierunki i siły dynamiczne będące wynikiem
działania bezwładności masy przedstawiono na rys. 15.6.
k
3
w 1 , B 1
B 1 = -mw 1 (t)
m
B 2 = -mw 2 (t)
3
w 2 , B 2
k
[m]
3
Rys. 15.6. Układ obciążony dynamicznie
Funkcja rozwiązująca różniczkowe równanie ruchu dla drgań harmonicznych ma postać:
w i t = a i sin t
¨ w i t =− a i 2 sin t
(15.8)
Wiemy, że na przemieszczenie w danym kierunku wpływ mają obie siły:
{ w 1 t = 11 B 1  12 B 2
(15.9)
Po podstawieniu wyrażeń na siły bezwładności otrzymujemy układ równań różniczkowych:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
w 2 t = 21 B 1  22 B 2
60626881.012.png 60626881.013.png 60626881.014.png 60626881.015.png 60626881.016.png 60626881.017.png 60626881.018.png 60626881.019.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin