lab_1_i_2.doc

Metody probabilistyczne i statystyka

Laboratorium 1 i 2

EF DI sem.3

rok akademicki 2011/12

Obliczanie prawdopodobieństwa i statystyk z rozkładów zmiennych losowych

skokowych (dyskretnych) – LABORATORIUM 1 i zmiennych losowych ciągłych – LABORATORIUM 2

Celem ćwiczenia jest zapoznanie:

·         z zastosowaniem arkusza kalkulacyjnego Excel do obliczania prawdopodobieństwa i statystyk z rozkładów dla zmiennych losowych dyskretnych (skokowych) i zmiennych losowych ciągłych, 

·         z wybranymi rozkładami prawdopodobieństwa (kształt, właściwości, zastosowanie) dla zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych,

·         interpretacji wyników.

Materiały opracowane z wykorzystaniem między innymi następujących źródeł:

[1] Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U.: Statystyka. Elementy teorii
i zadania. Wydawn. Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 2006.

[2] M. Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa, 2007.

[3] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w  zadaniach, cz. I, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 2002.

[4] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w  zadaniach, cz. II, Statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 2002.

Pojęcia podstawowe

Przez zmienna losową można rozumieć zmienną, która w wyniku doświadczenia przyjąć może jedną z wartości zbioru liczb rzeczywistych i to z określonym prawdopodobieństwem.

Przykłady: ilość energii elektrycznej zużywanej dziennie przez wydział produkcyjny; rzeczywista rezystancja wybranego losowo rezystora spośród produkowanych seryjnie rezystorów; liczba uszkodzonych podzespołów w wyniku awarii.

Zmienna losowa skokowa (dyskretna) – jest to zmienna, która posiada skończony lub policzalny zbiór wartości, najczęściej są to liczby naturalne (np. liczba oczek wyrzucona za pomocą kostki do gry). Każda zmienna losowa dyskretna jest jednoznacznie charakteryzowana za pomocą dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej.

Zmienna losowa ciągła – jest to zmienna, która może przybierać dowolne wartości liczbowe (rzeczywiste) z pewnego przedziału, nieskończonego i niepoliczalnego (np. mierzone natężenie prądu). Każda zmienna losowa ciągła jest jednoznacznie charakteryzowana za pomocą dystrybuanty i funkcji  rozkładu gęstości zmiennej losowej ciągłej.

Dystrybuanta zmiennej losowej X to funkcja F(x) zmiennej rzeczywistej x, która wyznacza prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie w uporządkowanym zbiorze:

x1 ≤ x2 ... ≤ xi ≤ ...xn-1 ≤ xn wartość mniejszą od x:

F(x) = P(X < x)    dla każdego

Własności dystrybuanty:

·         przyjmuje wartości z przedziału 0 ≤ F(x) ≤ 1 dla ;

·         jest funkcją niemalejącą, tzn. dla x1 < x2 zawsze F(x1) ≤ F(x2);

·         jest funkcją lewostronnie ciągłą;

·           oraz 

Parametry zmiennej losowej są to liczby charakteryzujące wartości, jakie może przybierać zmienna losowa. Najważniejszymi parametrami zmiennej losowej są wartość oczekiwana i wariancja.

Wartość oczekiwana (przeciętna) E(x) – jest to wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnego powtarzania eksperymentu.

Właściwości wartości oczekiwanej:

·         wartość oczekiwana stałej równa się tej stałej: 

      E(C) = C;

·         wartość oczekiwana sumy dwóch zmiennych losowych X i Y równa się sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych:  

            E(X + Y) = E(X) + E(Y);

·         jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to wartość oczekiwana iloczynu zmiennych jest równa iloczynowi wartości oczekiwanych tych zmiennych:
E(X·Y) = E(X) · E(Y);

·         wynika stąd również zależność:
E(C·X) = E(C) · E(X) = C·E(X)

Wariancja zmienne losowej V(X) – miara rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół wartości średniej, jest określona wzorem:

V(X) = [X – E(X)]2

V(X) = E(X 2) – E(X)2

Własności wariancji:

·         wariancja stałej równa się zeru:
V(C) = 0;

·         wariancja iloczynu stałej i zmiennej losowej:
V(CX) = C 2V(X);

·         jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to wariancja sumy (różnicy) tych zmiennych jest równa:
.

Odchylenie standardowe σ zmiennej losowej X jest to pierwiastek z jej wariancji:

Charakterystyka zmiennej losowej dyskretnej

Dla zmiennej losowej skokowej dystrybuanta jest równa:

Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej skokowej (dyskretnej) X, która przybiera wartości: x1, x2, ..., xn i odpowiadające im prawdopodobieństwa p1, p2, ..., pn, definiuje się jako:

P(X = xi) = pi       i = 1, ..., n

Parametry rozkładu zmiennej losowej dyskretnej:

Wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej:

– gdy zmienna X przyjmuje n wartości,

– gdy zmienna X przyjmuje przeliczalnie wiele wartości.

Wariancja zmiennej losowej skokowej:

   lub 

Odchylenie standardowe σ zmiennej losowej:

Współczynnik zmienności :                 

Współczynnik skośności As:             

Medianą Me zmiennej losowej X – nazywamy wartość x, która spełnia układ równań:

  i 

Modalną Mo zmiennej losowej X – nazywamy wartość x, której odpowiada największe prawdopodobieństwo realizacji.

Wybrane rozkłady zmiennej losowej dyskretnej - laboratorium 1

1.Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego, binominalny) służy do wyznaczenia prawdopodobieństwa, tego, że podczas realizacji n doświadczeń osiągniemy k sukcesów (k ≤ n):

gdzie   jest kombinacją: .

Dystrybuanta:

Wartość oczekiwana:                     E(X) = np

Wariancja:                                V(X) = npq

Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym opisuje eksperyment noszący nazwę prób Bernoulliego – dlatego rozkład ten nazywany jest także rozkładem Bernoulliego.

Eksperyment polega na przeprowadzeniu n (n ≥ 2) niezależnych doświadczeń, wynikiem może być tylko jedno z dwóch możliwych stanów: sukces lub porażka:

·         prawdopodobieństwo stanu, który został uznany za sukces jest takie samo w kolejnych doświadczeniach (p), prawdopodobieństwo niepowodzenia q łączy się z p zależnością: p + q = 1;

·         doświadczenia są niezależne, tzn. wynik poprzedniego nie wpływa na...