Przyk.docx

Przykład:

Obliczymy następujący układ równań:

4x1-x2-0,2x3+2x4=30-1x1+5x2-2x4=00,2x1+x2+10x3-x4=-10-2x2-x3+4x4=5

Zapiszmy go teraz w postaci Ax=b:

4-1-0,22-150-20,2110-10-2-14x1x2x3x4=300-105
Podzielmy teraz macierz A na sumę macierzy L+D+U:

4-1-0,22-150-20,2110-10-2-14=0000-10000,21000-2-10+40000500001000004+0-1-0,22000-2000-10000

Obliczmy teraz macierz N=D-1:

40000500001000004=0,2500000,200000,100000,25-1
Do tego momentu obie metody się nie różnią.

a)     Metoda Gaussa-Seidela:

Wyznaczamy kolejno D-1b, D-1L, D-1U:

7,50-11,25  0000-0,20000,020,1000-0,5-0,250  0-0,25-0,050,5000-0,4000-0,10000

Rozpoczynamy od zerowego przybliżenia czyli:

x10=0, x20=0, x30=0, x40=0

Obliczmy pierwszą iterację metody, według przytoczonego na początku wzoru:

x11=7,5+0,25x20+0,05x30-0,5x40x11=7,5x21=0+0,2x11+0,4x40x21=1,5x31=-1-0,2x11-0,1x21+0,1x40x31=-1,3x41=1,25+0,5x21+0,05x31x41=1,675

Kolejna iteracja:

x12=7,5+0,25x21+0,05x31-0,5x41x12=6,9725x22=0+0,2x12+0,4x41x22=2,0645x32=-1-0,2x12-0,1x22+0,1x41x32=-1,1784x42=1,25+0,5x22+0,05x32x42=1,98765
Można teraz obliczyć kolejną iterację. Każda z nich przybliża nas do dokładnego wyniku.

b)     Metoda Jacobiego

Wyznaczamy kolejno M=-D-1L+U=-N(L+U):

00,250,05-0,50,2000,4-0,02-0,100,100,50,250
Rozpoczynamy od zerowego przybliżenia czyli:

x10=0, x20=0, x30=0, x40=0
Obliczmy pierwszą iterację metody, według przytoczonego na początku wzoru:

x11=7,5+0,25x20+0,05x30-0,5x40x11=7,5x21=0+0,2x10+0,4x40x21=0x31=-1-0,02...