wyklad_14.pdf

(414 KB) Pobierz
12838733 UNPDF
14. ANIZOTROPIA
1
14. 
14. Anizotropia
14.1. Uogólnione prawo Hooke'a
Najogólniejszą postać związków fizycznych (13.1) i (13.2) dla ciał sprężystych (obciążonych poniżej
granicy sprężystości) stanowi wyrażenie
ij = A ijkm ⋅ km
(14.1)
lub
ij = B ijkm ⋅ km
'
(14.2)
w których A ijkm oraz B ijkm są tensorami czwartego rzędu. Pierwszy z nich nazywany jest tensorem sztywności
natomiast drugi nazywany jest tensorem podatności sprężystej . Tensory te posiadają 81 współrzędnych,
które charakteryzują ciało anizotropowe. Tensory (14.1) i (14.2) podlegają prawu transformacji tensora
A i' j' k ' m' = a i' p ⋅ a j' q ⋅ a k ' r ⋅ a m' s ⋅ A pqrs
(14.3)
oraz
B i' j' k ' m' = a i' p ⋅ a j' q ⋅ a k ' r ⋅ a m' s ⋅ B pqrs
.
(14.4)
Równanie (14.1) można rozpisać po wskaźnikach k oraz m. Będzie ono miało postać
ij = A ij11 ⋅ 11 A ij12 ⋅ 12 A ij13 ⋅ 13
A ij21 ⋅ 21 A ij22 ⋅ 22 A ij23 ⋅ 23
A ij31 ⋅ 31 A ij32 ⋅ 32 A ij33 ⋅ 33
.
(14.5)
Tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym czyli można zapisać
ji = A ji11 ⋅ 11 A ji12 ⋅ 12 A ji13 ⋅ 13
A ji21 ⋅ 21 A ji22 ⋅ 22 A ji23 ⋅ 23
A ji31 ⋅ 31 A ji32 ⋅ 32 A ji33 ⋅ 33
.
(14.6)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838733.002.png
14. ANIZOTROPIA
2
Porównując wzory (14.5) oraz (14.6) można stwierdzić, że
A ij12 = A ji12 A ij21 = A ji21
A ij23 = A ji23 A ij32 = A ji32
A ij13 = A ji13 A ij31 = A ji31
(14.7)
oraz
A ij11 = A ji11
A ij22 = A ji22
A ij33 = A ji33
.
(14.8)
We wzorze (14.7) każde z wyrażeń zapisanych wskaźnikowo daje po 6 współczynników (dla i=j=1, i=j=2,
i=j=3, i=1 oraz j=2, i=2 oraz j=3, i=1 oraz j=3). Natomiast we wzorze (14.8) każde z wyrażeń zapisanych
wskaźnikowo daje po 3 współczynniki (i=1 oraz j=2, i=2 oraz j=3, i=1 oraz j=3). Przyjęcie we wzorze (14.8)
jednakowych wskaźników daje trywialną równość (na przykład A 1111 =A 1111 ). Redukuje to liczbę współrzędnych
o 6 ⋅ 6 3 ⋅ 3 = 45 . Liczba niezależnych wskaźników tensora A ijkm spadła teraz do 36.
Wykorzystując pewne zależności energetyczne można wykazać, że tensor A ijkm jest symetryczny czyli
spełniona jest zależność
A ijkm = A ijmk
.
(14.9)
Wzór (14.5) można więc zapisać jako
ij = A ij11 ⋅ 11 A ij22 ⋅ 22 A ij33 ⋅ 33 2 ⋅ A ij12 ⋅ 12 2 ⋅ A ij23 ⋅ 23 2 ⋅ A ij31 ⋅ 31
(14.10)
Rozpisując wzór (14.10) po wskaźnikach i oraz j otrzymano
11 = A 1111 ⋅ 11 A 1122 ⋅ 22 A 1133 ⋅ 33 2 ⋅ A 1112 ⋅ 12 2 ⋅ A 1123 ⋅ 23 2 ⋅ A 1131 ⋅ 31
22 = A 2211 ⋅ 11 A 2222 ⋅ 22 A 2233 ⋅ 33 2 ⋅ A 2212 ⋅ 12 2 ⋅ A 2223 ⋅ 23 2 ⋅ A 2231 ⋅ 31
33 = A 3311 ⋅ 11 A 3322 ⋅ 22 A 3333 ⋅ 33 2 ⋅ A 3312 ⋅ 12 2 ⋅ A 3323 ⋅ 23 2 ⋅ A 3331 ⋅ 31
12 = A 1211 ⋅ 11 A 1222 ⋅ 22 A 1233 ⋅ 33 2 ⋅ A 1212 ⋅ 12 2 ⋅ A 1223 ⋅ 23 2 ⋅ A 1231 ⋅ 31
23 = A 2311 ⋅ 11 A 2322 ⋅ 22 A 2333 ⋅ 33 2 ⋅ A 2312 ⋅ 12 2 ⋅ A 2323 ⋅ 23 2 ⋅ A 2331 ⋅ 31
31 = A 3111 ⋅ 11 A 3122 ⋅ 22 A 3133 ⋅ 33 2 ⋅ A 3112 ⋅ 12 2 ⋅ A 3123 ⋅ 23 2 ⋅ A 3131 ⋅ 31
.
(14.11)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838733.003.png
14. ANIZOTROPIA
3
Łącząc po dwa wskaźniki według reguły
1 = 11
2 = 22
3 = 33
4 = 12
5 = 23
6 = 31
(14.12)
można uzyskać macierz 36 współczynników
[
A 11 A 12 A 13 A 14 A 14 A 16
A 21 A 22 A 23 A 24 A 25 A 26
A 31 A 32 A 33 A 34 A 35 A 36
A 41 A 42 A 43 A 44 A 45 A 46
A 51 A 52 A 53 A 54 A 55 A 56
A 61 A 62 A 63 A 64 A 65 A 66
] ,
(14.13)
która odpowiada macierzy
[
A 1111 A 1122 A 1133 2 ⋅ A 1112 2 ⋅ A 1123 2 ⋅ A 1131
A 2211 A 2222 A 2233 2 ⋅ A 2212 2 ⋅ A 2223 2 ⋅ A 2231
A 3311 A 3322 A 3333 2 ⋅ A 3312 2 ⋅ A 3323 2 ⋅ A 3331
A 1211 A 1222 A 1233 2 ⋅ A 1212 2 ⋅ A 1223 2 ⋅ A 1231
A 2311 A 2322 A 2333 2 ⋅ A 2312 2 ⋅ A 2323 2 ⋅ A 2331
A 3111 A 3122 A 3133 2 ⋅ A 3112 2 ⋅ A 3123 2 ⋅ A 3131
] .
(14.14)
Macierz (14.13) jest macierzą symetryczną czyli
A ab = A ba
.
(14.15)
Zależność (14.15) redukuje liczbę 36 niezależnych stałych materiałowych (14.13) do 21. Ogólnie można
powiedzieć, że dla ciała anizotropowego liczba stałych materiałowych wynosi dwadzieścia jeden (21) .
Podobne działania można przeprowadzić dla tensora podatności sprężystej. W wyniku można otrzymać
macierz
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838733.004.png
14. ANIZOTROPIA
4
[
B 11 B 12 B 13 B 14 B 14 B 16
B 21 B 22 B 23 B 24 B 25 B 26
B 31 B 32 B 33 B 34 B 35 B 36
B 41 B 42 B 43 B 44 B 45 B 46
B 51 B 52 B 53 B 54 B 55 B 56
B 61 B 62 B 63 B 64 B 65 B 66
] ,
(14.16)
która odpowiada macierzy
[
B 1111 B 1122 B 1133 2 ⋅ B 1112 2 ⋅ B 1123 2 ⋅ B 1131
B 2211 B 2222 B 2233 2 ⋅ B 2212 2 ⋅ B 2223 2 ⋅ B 2231
B 3311 B 3322 B 3333 2 ⋅ B 3312 2 ⋅ B 3323 2 ⋅ B 3331
B 1211 B 1222 B 1233 2 ⋅ B 1212 2 ⋅ B 1223 2 ⋅ B 1231
B 2311 B 2322 B 2333 2 ⋅ B 2312 2 ⋅ B 2323 2 ⋅ B 2331
B 3111 B 3122 B 3133 2 ⋅ B 3112 2 ⋅ B 3123 2 ⋅ B 3131
] .
(14.17)
Równanie (14.2) będzie miało postać
11 = B 1111 ⋅ 11 B 1122 ⋅ 22 B 1133 ⋅ 33 2 ⋅ B 1112 ⋅ 12 2 ⋅ B 1123 ⋅ 23 2 ⋅ B 1131 ⋅ 31
22 = B 2211 ⋅ 11 B 2222 ⋅ 22 B 2233 ⋅ 33 2 ⋅ B 2212 ⋅ 12 2 ⋅ B 2223 ⋅ 23 2 ⋅ B 2231 ⋅ 31
33 = B 3311 ⋅ 11 B 3322 ⋅ 22 B 3333 ⋅ 33 2 ⋅ B 3312 ⋅ 12 2 ⋅ B 3323 ⋅ 23 2 ⋅ B 3331 ⋅ 31
12 = B 1211 ⋅ 11 B 1222 ⋅ 22 B 1233 ⋅ 33 2 ⋅ B 1212 ⋅ 12 2 ⋅ B 1223 ⋅ 23 2 ⋅ B 1231 ⋅ 31
23 = B 2311 ⋅ 11 B 2322 ⋅ 22 B 2333 ⋅ 33 2 ⋅ B 2312 ⋅ 12 2 ⋅ B 2323 ⋅ 23 2 ⋅ B 2331 ⋅ 31
31 = B 3111 ⋅ 11 B 3122 ⋅ 22 B 3133 ⋅ 33 2 ⋅ B 3112 ⋅ 12 2 ⋅ B 3123 ⋅ 23 2 ⋅ B 3131 ⋅ 31
.
(14.18)
14.2 Ciało ortotropowe
Ciało ortotropowe to takie ciało, w którym można poprowadzić trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny
jego symetrii wewnętrznej. Jednoimienne płaszczyzny symetrii są zawsze do siebie równoległe. Przykładem
takiego ciała są: kompozyty wzmocnione włóknami w kształcie siatki ortogonalnej. Schemat takiego
kompozytu przedstawiono na rysunku 14.1. Ortotropię obserwuje się także w blachach metalowych
walcowanych na zimno.
Trzy wzajemnie prostopadłe osie 1, 2 i 3, które są normalne do płaszczyzn symetrii noszą nazwę głównych
osi ortotropii . Kartezjański układ współrzędnych X 1 X 2 X 3 przedstawiony na rysunku 14.1 pokrywa się z tymi
osiami. W przypadku materiału ortotropowego macierz (14.16) będzie miała postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838733.005.png
14. ANIZOTROPIA
5
3=X 3
2=X 2
Włókna wzmacniające
1=X 1
Rys. 14.1. Ciało ortotropowe.
[
B 11 B 12 B 13 0 0 0
B 21 B 22 B 23 0 0 0
B 31 B 32 B 33 0 0 0
0 0 0 B 44 0 0
0 0 0 0 B 55 0
0 0 0 0 0 B 66
] .
(14.19)
Daje to w rezultacie następującą postać równań fizycznych
11 = B 11 ⋅ 11 B 12 ⋅ 22 B 13 ⋅ 33
22 = B 21 ⋅ 11 B 22 ⋅ 22 B 23 ⋅ 33
33 = B 31 ⋅ 11 B 32 ⋅ 22 B 33 ⋅ 33
12 = B 44 ⋅ 12
23 = B 55 ⋅ 23
31 = B 66 ⋅ 31
,
(14.20)
który można zapisać w postaci
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838733.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin