OGÓLNE SFORMUŁOWANIE MES DLA ZAGADNIEŃ MECHANIKI CIAŁA STAŁEGO.doc

OGÓLNE SFORMUŁOWANIE MES DLA ZAGADNIEŃ MECHANIKI CIAŁA STAŁEGO

              W mechanice ciała stałego metoda elementów skończonych może być formułowana:

·       w ujęciu przemieszczeniowym,

·       naprężeniowym

·       mieszanym (hybrydowym).

Powszechnie stosowana jest MES w ujęciu przemieszczeniowym i można ją uznać za podstawę w zagadnieniach mechaniki konstrukcji.

W wersji przemieszczeniowej aproksymacji w obszarze elementu podlega pole przemieszczeń.

Niewiadome w węzłach (parametry węzłowe) : uogólnione przemieszczenia.

Pole naprężeń określane jest na podstawie obliczonego pola przemieszczeń. Równania równowagi i warunki brzegowe w naprężeniach spełnione są tylko w przybliżeniu (dla całego układu).

              Dla wersji przemieszczeniowej , równania MES można uzyskać w sposób następujący:

·       w podejściu bezpośrednim, wykorzystując definicję macierzy sztywności w metodzie przemieszczeń

·         w oparciu o zasadę prac wirtualnych,

·       w oparciu o energię potencjalną układu i sformułowanie problemu minimalizacji funkcjonału na bazie twierdzenia Lagrange’a o minimum energii potencjalnej układu.

SFORMUŁOWANIE MES W OPARCIU O ENERGIĘ POTENCJALNĄ UKŁADU

              W celu sformułowania równań rozważa się w kartezjańskim układzie współrzędnych ciało o objętości i brzegu , ograniczone więzami i poddane działaniu sił masowych i powierzchniowych

Ciało trójwymiarowe poddane działaniu sił masowych i powierzchniowych

              Odkształcając się pod wpływem powoli wzrastających obciążeń ciało gromadzi pewien zasób energii zwanej energią potencjalną:

gdzie: - wektor stanu naprężenia,

- wektor stanu odkształcenia,

- wektor stanu przemieszczenia,

- wektor stanu przemieszczenia powierzchni,

- wektor sił masowych,

- wektor sił powierzchniowych.

              W warunkach równowagi statycznej obszaru dla kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszczeń funkcjonał energii potencjalnej osiąga minimum.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału jest zerowanie się wariacji funkcjonału  zgodnie z zależnością:

W celu wykorzystania funkcjonału energii potencjalnej do wyprowadzenia równań MES dyskretyzuje się obszar , dzieląc go na nie pokrywających się elementów:

Funkcjonał energii potencjalnej jako skalar może być wówczas przedstawiony w postaci sumy odpowiednich składników:

Analogicznie można przedstawić warunek stacjonarności :

.

              Odnosząc wektory występujące w funkcjonale do elementu „e”, przyjmuje się standardową aproksymację MES pola przemieszczenia w obszarze elementu:

gdzie: oraz:

- macierz funkcji kształtu o wymiarze , - wektor parametrów węzłowych elementu.

              Związki geometryczne i fizyczne liniowej teorii sprężystości odniesione do elementu mają postać:

gdzie i są macierzami odpowiednio operatorów różniczkowych i modułów sprężystości.

              Uwzględniając że   otrzymuje się:

gdzie jest macierzą odkształceń (opisuje odkształcenia w każdym punkcie elementu, spowodowane jednostkowym przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów).

Podstawiając do funkcjonału odniesionego do elementu związki na i otrzymuje się:

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału prowadzi do równań:

Gdy na dyskretyzowany układ działają siły przyłożone w węzłach wyrażenie (3.69) można zapisać w postaci:

gdzie - wektor przemieszczeń węzłowych układu.

Warunek (3.68) można obecnie zapisać w następującej postaci:

Równość powyższa zachodząca dla dowolnych wariacji prowadzi do układu równań:

Ponieważ jest funkcjonałem formy kwadratowej można zapisać pochodne dla elementu „e” w następującej postaci:

Minimalizujący układ równań (3.76) można zatem zapisać w postaci:

gdzie:

Na podstawie zależności (3.73) otrzymuje się więc:

gdzie: