wyklad4_2008_tekst.pdf

Wykład4

Rozkładyiichdystrybuanty

Dwatypyzmiennychlosowych

• Je±liwszystkiewarto±ci,jakiemo»eprzyjmowa¢zmiennamo»nawypisa¢wpostacici¡gu { x 1 ,x 2 ,... } ,

tomówimy,»ejesttozmiennadyskretna.

• Je±liwszystkichwarto±cizmiennejNIEMONAwypisa¢wpostacici¡gu,tomówimy,»ejestto

zmiennaci¡gła.

• Takjestzawsze,gdyzbiórwarto±cizawierajaki±przedział( a,b ).

Rozkładzmiennejlosowejdyskretnej

Rozkładtakiejzmiennejtoopisjejmo»liwychwarto±ciiprawdopodobie«stw,zjakimitewarto±cizmienna

przyjmuje.

• X =wynikrzutusymetryczn¡kostk¡

• Warto±ci,jakiemo»eprzyj¡¢ X to1,2,3,4,5i6.

• Prawdopodobie«stwoka»dejztychwarto±cijestrówne 1 6 .

• Wygodniejestpoda¢tenrozkładwtabelce:

x k 123456

p k 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

•

Warto±¢±redniazmiennejlosowej

• Je»eli P ( X = x k )= p k , k =0 , 1 , 2 , 3 ,... ,to

• warto±¢±rednia(warto±¢oczekiwana)zmiennej X

E ( X )= X

x k · p k .

• Intuicja:naprostejrozmieszczamymasy p i wpunktach x i , i =0 , 1 , 2 ... .

• Warto±¢±redniato±rodekci¦»ko±citegoukładu(mo»enieistnie¢!)

• Jakajestwarto±¢±rednia(warto±¢oczekiwana)liczbyoczekwjednymrzuciekostk¡?

Wariancjazmiennejlosowej

• Je»eli P ( X = x k )= p k , k =0 , 1 , 2 , 3 ,... ,to

• wariancjazmiennej X

Var ( X )= X

( x k − E ( X )) 2 · p k .

• Wariancj¦oznaczasi¦te»symbolem D 2 ( X ).

• Wariancjamierzy rozrzut wyników—±rednieodchylenieodwarto±ci±redniej.

• Wariancj¦mo»nate»obliczy¢zewzoru

Var ( X )= X

x 2 k · p k − ( E ( X )) 2 .

Rozkładyci¡głe(zg¦sto±ci¡)

• Je±lidanajesttakafunkcja f : R ! [0 , 1 ),»e R 1 −1 f ( x ) dx =1,to

• f nazywamyg¦sto±ci¡rozkładuzmiennej X iobliczamy

• prawdopodobie«stwa

Z b

P ( a<X<b )=

f ( x ) dx.

Przykładyg¦sto±ci

• Rozkładjednostajnynaodcinku[ a,b ]

•

> <

b − a , gdy x 2 [ a,b ] ,

f ( x )=

> :

0 , gdy x/ 2 [ a,b ] .

Przykładyg¦sto±ci

• Rozkładnormalnyzparametrami m 2 R i > 0

•

f ( x )= 1

p 2 e − ( x − m ) 2

2 2 , x 2 R

Przykładyg¦sto±ci

• Rozkładwykładniczyzparametrem > 0

•

> <

0 , gdy x< 0 ,

f ( x )=

> :

e − x , gdy x 0 .

Warto±¢±rednia

• Gdyrozkładmag¦sto±¢ f ( x ),to

•

Z 1

−1 xf ( x ) dx, gdycałkajestzbie»na .

E ( X )=

• Gdycałkaniejestzbie»na,to E ( X )nieistnieje.

Wariancja

• Gdyrozkładmag¦sto±¢ f ( x ),to

•

Z 1

−1 ( x − E ( X )) 2 f ( x ) dx, gdycałkazbie»na.

D 2 ( X )=

• Gdycałkaniejestzbie»na,to D 2 ( X )nieistnieje.

• Wariancj¦mo»nate»liczy¢zewzoru

D 2 ( X )=

Z 1

−1 x 2 f ( x ) dx − ( E ( X )) 2 .

Jakopisa¢całyrozkładjedn¡funkcj¡?

• Przypu±¢my,»enaprostejrozło»yli±mymas¦jednostkow¡.

• Abyzna¢mas¦ka»degoodcinka,wystarczyzna¢mas¦ka»dejpółprostej( −1 ,t )dlawszystkich t 2 R ,

bowtedy

• m ( a,b )= m ( −1 ,b ) − m ( −1 ,a ].

• Analogicznie:abyzna¢rozkładzmiennej X ,musimyumie¢obliczy¢ P ( a<X<b )dladowolnych

a<b .

• Wtymceluwystarczyzna¢ P ( −1 <X<t )dlawszystkich t 2 R ,bowtedy

• P ( a<X<b )= P ( −1 <X<b ) − P ( −1 <X ¬ a ).

Dystrybuantarozkładu

Niech X b¦dziezmienn¡losow¡.Funkcj¦zmiennej t 2 R okre±lon¡wzorem

F X ( t )= P ( X<t )

nazywamy dystrybuant¡ rozkładuzmiennej X .

Przykładydystrybuant

• Je»eli X jeststała,toznaczy X c ,wtedy

•

(

0 , gdy t ¬ c,

1 , gdy t>c,

F X ( t )=

Przykładydystrybuant

• Je»eli X marozkładdwupunktowy,toznaczydlapewnych x 1 <x 2

(

x 1 zprawdopodobie«stwem p,

x 2 zprawdopodobie«stwem1 − p,

X =

• wtedydystrybuant¡jestfunkcja

•

> <

> :

0 , gdy t ¬ x 1 ,

p, gdy x 1 <t ¬ x 2 ,

1 , gdy t>x 2 ,

F X ( t )=

Przykładydystrybuant

• Je»eli S n marozkładBernoulliegozparametrami n oraz p ,to

•

> > > > > <

0 , gdy t ¬ 0 ,

..., gdy0 <t ¬ 1 ,

..., gdy1 <t ¬ 2 ,

.... ...

1 , gdy t>n.

F X ( t )=

> > > > > :

Przykładydystrybuant

• Je»eli X marozkładjednostajnynaodcinku[ a,b ],to

•

> <

0 , gdy t ¬ a,

t − a

F X ( t )=

b − a , gdy a<t ¬ b,

1 , gdy t>b.

> :

Przykładydystrybuant

• Je»eli X mastandardowyrozkładnormalny,toznaczyzparametrami m =0i =1,wówczas

•

Z t

1 p

2 e − x 2 / 2 dx.

F X ( t )=

−1

• Tapierwotnaniejestfunkcj¡elementarn¡,wi¦ctrzebabyło:

• nada¢jejnazw¦(oznaczenie)oraz

• stablicowa¢warto±ci.

• Nazwanoj¡( t ),

• tablicejejwarto±cidla t 2 [0 , 3]mo»naznale¹¢wwi¦kszo±cipodr¦cznikówdostatystykilubw

internecie,np.http://neyman.im.pwr.wroc.pl/˜szajow/sas/node40.html

Własno±cidystrybuanty

Ka»dadystybuanta F : R −! R manast¦puj¡cetrzywłasno±ci:

• F jestfunkcj¡niemalej¡c¡.

• F jestfunkcj¡lewostronnieci¡gł¡(bowdeﬁnicjiprzyj¦li±my P ( X<t )).

• lim t !−1 F ( t )=0 , lim t !1 F ( t )=1.

Jakrozpozna¢dystrybuant¦?

Je±lidanajestfunkcja F : R −! R ,którajest

• niemalej¡ca,

• lewostronnieci¡głai

• magranice:0w −1 oraz1w 1 ,

• tojestonadystrybuant¡rozkładupewnejzmiennejlosowej.

Zadanie Dlajakichstałych a oraz b funkcja

> <

0 , dla t ¬ 0 ,

at + b, dla0 <t ¬ 1 ,

1 , dla t> 1 ,

F ( t )=

> :

jestdystrybuant¡?

Rozwi¡zanie:

• Granices¡ju»takie,jaktrzeba.

• Takokre±lonafunkcjajestlewostronnieciagła.

• Dlajakich a,b jestniemalej¡ca?

• Oczywi±cie a 0.

• Niemo»emale¢wotoczeniuzera,wi¦c b 0.

• Niemo»emale¢wotoczeniujedynki,wi¦c a + b ¬ 1.

Kiedyrozkładjestci¡głytzn.mag¦sto±¢?

• Danajestdystrybuanta F ( t ).Jakpozna¢,czytenrozkładmag¦sto±¢?

• Dystrybuantarozkładuzg¦sto±ci¡tocałkaztejg¦sto±ci,wi¦c

• g¦sto±¢topochodnadystrybuanty.

• Gdynaprzykład F ( t )= 1 arctg x + 1 2 ,to

• g¦sto±¢jestrówna F 0 ( t )= 1 1

1+ t 2 .

Kiedyrozkładjestci¡gły?

• Gdydystrybuanta F X ( t )mapochodn¡(pozaconajwy»ejsko«czon¡liczb¡punktów),

• tapochodnajestnieujemnai

• całkapocałejprostejztejpochodnejjestrówna1,

• totapochodnajestg¦sto±ci¡rozkładu.

• Wówczas

Z b

a F 0 X ( t ) dt.

P ( a<X<b )=

Kiedyrozkładjestdyskretny?

• Gdydystrybuantajestfunkcj¡stał¡naprzedziałach,aro±nietylkowpunktachskoków,

• tojestdystrybuant¡zmiennej X orozkładziedyskretnym.

• Je±li x i jestpunktemskokudystrybuanty,to

• P ( X = x i )=wysoko±¢skokudystrybuantywtympunkcie.

Parametryrozkładunormalnego

Przypu±¢my,»ezmiennalosowa X marozkładnormalnyzparametrami m 2 R oraz > 0,tzn.

• rozkładog¦sto±ci

f ( x )= 1

− ( x − m ) 2

2 2 .

2 e

• E ( X )=?

• Var ( X )=?

• E ( X )= m

• Var ( X )= 2

Mediana

Przypu±¢my,»edanajestzmiennalosowa X .

• Median¡ zmiennej X nazywamyka»d¡tak¡liczb¦ m ,dlaktórejzachodz¡nierówno±ci:

•

P ( −1 <X ¬ m ) 1

2 , P ( m ¬ X< 1 ) 1

2 .

• Mediana m dzielirozkład„napołowy”tzn.

• nalewood m jestconajmniejpołowaprawdopodobie«stwai

• naprawood m jestconajmniejpołowaprawdopodobie«stwa.

• Jakoblicza¢median¦zapomocadystrybuanty?

• Dlaczegodeﬁnicjaformalnajesttakskomplikowana?

Kwantyleikwartyle

Przypu±¢my,»edanajestzmiennalosowa X .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: