Warto spróbkować, część 1.pdf

K U R S

Warto spróbkować,

część 1

Powszechne implementowanie przetworników analogowo–cyfrowych

i cyfrowo–analogowych w popularnych mikrokontrolerach przyczyniło

się do coraz częstszego podejmowania prób sprawdzania własnych

umiejętności w dziedzinie cyfrowego przetwarzania sygnałów przez

zwykłych składaczy kitów (z całym szacunkiem dla składaczy). Nie

dysponując często odpowiednimi podstawami teoretycznych, robią to

na wyczucie lub „na słuch”. Tymczasem wiedza na ten temat jest

nie mała, zawiera sporą dawkę elementów matematyki wyższej.

Można wyróżnić dwa podstawowe

jej etapy: próbkowanie i kwantyza-

cję. Próbkowanie (ang. sampling ),

to „wyłapywanie” w ustalonych

(najczęściej równych) odstępach

czasu wartości chwilowych sygnału

analogowego. Następnie są one na

etapie kwantyzacji przydzielane do

odpowiednich przedziałów wartości

dyskretnych (rys. 1) . Liczba takich

przedziałów zależy od rozdzielczo-

ści przetwornika A/C realizującego

tę operację. Przykładowo: jeśli dys-

ponujemy przetwornikiem 8–bito-

wym, to możemy utworzyć 256 po-

ziomów kwantyzacji (0, 1, 2,...255).

Załóżmy, że 8–bitowy przetwornik

może pracować z napięciami o war-

tościach od 0 do 1 V. Oznacza to,

że najmniejsza, rozpoznawalna róż-

nica napięcia wejściowego będzie

równa 1/256 V, czyli ok. 3,9 mV.

Zwiększając rozdzielczość próbko-

wania, zwiększamy dokładność od-

wzorowania próbkowanego sygnału.

Bezkrytyczne działania w tym kie-

runku nie zawsze jednak znajdują

uzasadnienie, gdyż w pewnym mo-

mencie poziomy kwantyzacji stają

się porównywalne, a nawet mniej-

sze od poziomu szumów własnych.

Niekiedy godzimy się na to, by

część najmniejszych próbek „uto-

nęła” w szumie, zyskując w zamian

na dokładności odwzorowania war-

tości większych. Istotnym czynni-

kiem praktycznym może być przy

tym koszt przetwornika A/C. Naj-

Rozwinięcie masowej produkcji

układów logicznych na początku

lat 70. XX wieku spowodowało

lawinowy wręcz rozwój techniki

cyfrowej. Pojawienie się mikro-

procesorów przechyliło ostatecznie

szalę zainteresowań elektroników

w stronę „cyfrówki”. Dzisiaj chy-

ba łatwiej jest znaleźć specjalistę

od układów cyfrowych niż dobre-

go znawcę układów analogowych.

Technika cyfrowa coraz częściej

była wykorzystywana nie tylko

w zero–jedynkowych układach ste-

rowania, ale zajęła również stałe

miejsce nawet w aplikacjach analo-

gowych. Wielkości ﬁzyczne wystę-

pujące w otaczającym nas świecie

(dźwięki, temperatura, ciśnienie,

prędkość, itp.) mają charakter ana-

logowy i tego nie zmienimy, taka

jest ich natura. Na potrzeby reali-

zacji projektów cyfrowych można

jedynie odpowiednio je przetwo-

rzyć. Zagadnienie to stało się jed-

nym z podstawowych, już u progu

istnienia techniki cyfrowej.

Aby sygnał analogowy mógł być

wykorzystany w urządzeniach cyfro-

wych musi być poddany procesowi

przetwarzania analogowo–cyfrowe-

go. Podobnej, tylko odwrotnej ope-

racji przetwarzania cyfrowo–analo-

gowego musi najczęściej być pod-

dany sygnał po obróbce. Na tym

etapie nadajemy mu ponownie po-

stać zbliżoną do naturalnej, a więc

analogową.

Akwizycja danych

Akwizycją danych nazwiemy

wszystkie czynności i operacje nie-

zbędne do pozyskania danych prze-

znaczonych do obróbki cyfrowej.

Rys. 1. Proces analogowo–cyfrowej obróbki sygnału (próbkowanie i kwanty-

zacja)

Rys. 2. Obserwacja wpływu częstotli-

wości próbkowania na wynik końco-

wy przetwarzania

Elektronika Praktyczna 9/2006

K U R S

częściej rośnie on wraz ze zwięk-

szaniem rozdzielczości.

Odstęp czasu pomiędzy kolej-

nymi próbkami nazywamy okre-

sem próbkowania T p . W praktyce

wygodniej posługiwać się pojęciem

częstotliwości próbkowania, która

jest zdeﬁniowana jako: f p =1/T p .

W typowym systemie cyfrowej

obróbki sygnału analogowego, pra-

wie zawsze będzie konieczne wy-

konanie minimum trzech operacji.

Będą to: zamiana sygnału analogo-

wego na postać cyfrową, programo-

wa lub sprzętowa obróbka danych

cyfrowych, przekazanie tak uzy-

skanych danych do bloku wyjścio-

wego, np. wyświetlenie parame-

trów na wyświetlaczu (amplituda,

częstotliwość, itp.), albo ponowna

zamiana przetworzonych cyfrowo

danych na postać analogową. Przy-

kładem takiego zastosowania może

być eliminacja szumów i wszelkich

zakłóceń, dodawanie lub elimina-

cja pogłosu, konwersja widma sy-

gnału, cyfrowa regulacja poziomu,

itp. Skuteczność metod cyfrowych

można pokazać na przykładzie

wyimaginowanego eksperymentu,

w którym osoba stojąca na peronie

kolejowym z powodzeniem może

podsłuchać rozmowę prowadzoną

w środku przejeżdżającego pociągu.

Po ogólnym wstępie najwyższy

już czas na rozpatrzenie konkret-

nych zagadnień. Popatrzmy, jak

dobór częstotliwości próbkowania

może wpłynąć na rezultaty proce-

su próbkowania. Wyobraźmy sobie

eksperyment, w którym wykorzy-

stamy generator idealnego sygnału

sinusoidalnego o częstotliwości f s .

Przebieg ten zostanie spróbkowa-

ny z częstotliwością f p . Z założenia

wynika, że sygnał z generatora nie

posiada żadnych harmonicznych

(generator idealny) – w widmie

generowanego sygnału występuje

tylko jeden prążek o częstotliwości

podstawowej f s . Spróbkowany sy-

gnał zostanie następnie poddany

procesowi odwrotnemu, tzn. prze-

tworzeniu cyfrowo–analogowemu,

a otrzymany w ten sposób przebieg

zostanie porównany z oryginałem.

Doświadczenie zostanie powtórzone

dla kilku częstotliwości próbkowa-

nia. W pierwszym przypadku zasto-

sujemy częstotliwość próbkowania

wielokrotnie (8 razy) większą od

częstotliwości sygnału (rys. 2a) .

Na razie nie będziemy sięgać po

rzeczywiste przyrządy, wszystkie

eksperymenty przepro-

wadzimy metodą kart-

ki papieru i ołówka.

Z papierową realizacją

próbkowania chyba nie

będzie żadnych pro-

blemów, gdyż jest to

proces dość oczywisty

(pominiemy przy tym

proces kwantyzacji),

natomiast odtwarzanie

przebiegu będzie po-

legało na łączeniu ko-

lejnych próbek krzywą

łamaną. W ten sposób

można mniej więcej

zamodelować działanie

przetwornika cyfrowo–

–analogowego. Chociaż

model taki nie jest

dokładnym odzwiercie-

dleniem rzeczywistego

procesu, to do dalszych rozważań

będzie wystarczający.

W przypadku, gdy f p >>f s wier-

ność odtworzenia sygnału jest bar-

dzo duża ( rys. 2a ), ale zauważmy,

że wraz ze wzrostem częstotliwości

próbkowania rośnie strumień da-

nych z przetwornika A/C. Koniecz-

ne staje się wówczas zapewnienie

odpowiednio wydajnego systemu

(interfejsy o dużej przepływności,

duże pojemności dysków twardych

gromadzących dane, wydajne sys-

temy mikroprocesorowe, itp.). Nie

zawsze działania w tym kierunku

znajdują uzasadnienie ekonomiczne.

Popatrzmy zatem, jak daleko można

obniżyć częstotliwość próbkowania.

Z rys. 2b i 2c wynika, że obniżając

f p do wartości f p =2f s można jeszcze

„od biedy” zorientować się o kształ-

cie przebiegu analogowego podda-

nego procesowi próbkowania. Jest

to jednak minimalna częstotliwość

próbkowania, która się do tego na-

daje (nazywamy ją częstotliwością

Nyquista). Zauważmy, że stosowa-

nie takiego wariantu próbkowania

mogłoby się zakończyć całkowitym

ﬁaskiem, gdyby próbki były pobie-

rane w momentach, w których war-

tość chwilowa sygnału

byłaby równa zero.

Odtworzony przebieg

miałby wtedy rów-

nież wartość zerową.

No dobrze, popatrzmy

jednak choćby z samej

ciekawości, co się bę-

dzie działo, gdy zasto-

sujemy częstotliwość

próbkowania mniejszą

niż 2f s ? Ustawiamy zatem na na-

szym generatorze częstotliwość np.

100 Hz. Sygnał ten spróbkujemy

z częstotliwością 160 Hz. Mamy

spełniony warunek, że f p <2f s . Sytu-

ację dokładnie przedstawia rys. 3 .

Przebieg I, to nasz oryginalny sy-

gnał z generatora. Punkty A, B,

C reprezentują próbki uzyskane

z bloku akwizycji danych. Na razie

eksperyment prowadzimy tylko na

papierze, więc modelowanie nasze-

go przetwornika C/A będzie polega-

ło na łączeniu kolejnych punktów

A, B, C, ... Gdybyśmy tak zrobili

wprost, uzyskalibyśmy jakąś krzy-

wą łamaną, która w układzie rze-

czywistym byłaby jednak wygła-

dzona przez ﬁltr dolnoprzepustowy

występujący zawsze za przetworni-

kiem A/C. Możemy zatem przyjąć,

że na wyjściu układu będziemy

mieli jakiś przebieg odkształcony

i skorzystamy z faktu, że można go

potraktować jako sumę składowych

sinusoidalnych o różnych często-

tliwościach i amplitudach. Mode-

lując działanie przetwornika C/A,

pomiędzy punkty wyznaczające

próbki będziemy więc starali się

wrysować sinusoidy. Przykładowo

Rys. 4. Niebezpieczeństwa związane z pozornie pra-

widłowo dobranymi warunkami próbkowania sygnału

Elektronika Praktyczna 9/2006

Rys. 3. Graficzna prezentacja wyników eksperymen-

tu polegającego na odtworzeniu kształtu sygnału

analogowego o częstotliwości 100 Hz na podstawie

próbek pobieranych z szybkością 160 próbek na

sekundę

K U R S

Rys. 5. Typowy system obróbki cyfrowej sygnału analogowego

są nimi krzywe II i III na rys. 3,

ale nie stanowią one jedynego roz-

wiązania. Jako ćwiczenie proponuję

samodzielnie spróbować wrysować

inne jeszcze sinusoidy przechodzą-

ce przez punkty A, B, C, ... Jeśli

zadbamy o staranne zachowanie

skali czasu na rysunku, to możli-

we będzie oszacowanie częstotliwo-

ści otrzymanych przebiegów. Oka-

zuje się, że w przedstawionym na

rys. 3 przypadku są one równe 60

i 260 Hz. No tak, ale wejściowy

sygnał był przecież monochroma-

tyczny, a więc takich składowych

w nim nie było! Jak widać, mu-

siały powstać w wyniku procesu

próbkowania. Istotnie, takich „no-

wych” częstotliwości jest znacznie

więcej. Można je wyznaczyć z za-

leżności: f a =|n*f p ±f s |. Z powyż-

szego przykładu wynika wniosek,

że w układach w których następu-

je próbkowanie sygnału konieczne

jest stosowanie ﬁltrów dolnoprze-

pustowych obcinających niepożą-

dane, wysokoczęstotliwościowe pro-

dukty przetwarzania cyfrowo–ana-

logowego. Opisane wyżej zjawisko

powstawania częstotliwości różnych

od częstotliwości sygnału próbko-

wanego nazywane jest aliasingiem.

Nieświadomość jego istnienia może

prowadzić do popełniania istotnych

błędów w projektowaniu aplika-

cji wykorzystujących przetwarzanie

analogowo–cyfrowe.

Popatrzmy teraz na układ, który

pozornie wygląda poprawnie. Załóż-

my, że pasmo sygnału użytkowego

mieści się w zakresie częstotliwo-

ści Nyquista (tzn. jest mniejsze od

f p /2) ( rys. 4 ). Można więc wniosko-

wać, że częstotliwość próbkowania

została dobrana odpowiednio i tak

jest faktycznie, ale... Niech się zda-

rzy, że w sygnale wejściowym po-

jawi się jakaś składowa o częstotli-

wości f s1 wychodzącej poza pasmo

Nyquista, a której istnienia nie za-

kładaliśmy pierwotnie. Niestety, po

spróbkowaniu sygnału wejściowego

w pasmie Nyquista pojawi się skła-

dowa aliasingowa f as1– , która w wy-

raźny sposób zniekształci spróbko-

wany sygnał (dla zaznaczenia, że

nie jest to składowa występująca

w sygnale oryginalnym, na rys. 4

została umieszczona jako strzał-

ka skierowana w dół). Eliminacja

takich przypadków jest możliwa

poprzez stosowanie we wszystkich

aplikacjach, w których następuje

próbkowanie sygnału odpowiednich

ﬁltrów antyaliasingowych. Filtr

taki powinien być umieszczony

po wzmacniaczu wstępnym, bez-

pośrednio przed układem próbkują-

cym przetwornika A/C ( rys. 5 ). Za-

gwarantuje on, że do próbkowania

nie będą brane składowe sygnału

o częstotliwościach spoza pasma

Nyquista. Prawdopodobieństwo wy-

stąpienia takiej „niezaplanowanej”

częstotliwości jest wbrew pozorom

dosyć wysokie. Wystarczy, że w sy-

gnale użytkowym pojawi się fala

prostokątna lub choćby jakiś im-

puls napięciowy o stromym zboczu.

Jak wiadomo, widmo częstotliwo-

ściowe takich sygnałów jest bardzo

szerokie i może się okazać, że wy-

kroczy poza pasmo Nyquista. Filtr

antyaliasingowy powinien w dosta-

tecznym stopniu tłumić wszystkie

częstotliwości powyżej f p /2. Co to

znaczy, dowiemy się wkrótce.

Po tej dawce wiedzy począt-

kujący konstruktorzy mogą sobie

pomyśleć tak: mam sygnał, który

mieści się np. w pasmie 0...3 kHz.

Zgodnie z twierdzeniem Nyquista

zastosuję próbkowanie z częstotli-

wością większą od 2f MAX , czyli np.

f p =8 kHz (8>2*3). Zgodnie z zale-

ceniem o konieczności stosowania

ﬁltrów antyaliasingowych użyję

prostego, 1–biegunowego ﬁltru RC

o częstotliwości granicznej (3 dB)

równej f gr =f p /2=4 kHz, czyli bę-

dzie on nastrojony na częstotli-

wość Nyquista. Wszystkie zalece-

nia mam spełnione, mogę spać

spokojnie, układ będzie działał

prawidłowo. Nic bardziej mylne-

go. Nasz młody konstruktor nie

uwzględnił jeszcze skuteczności

ﬁltrowania ﬁltru antyaliasingowego

oraz dynamiki sygnału poddawa-

nego próbkowaniu, która jest okre-

ślona jako stosunek maksymalnej

wartości napięcia użytkowego, do

wartości najmniejszej (np. napię-

cia szumów). Załóżmy, że w takim

układzie pojawi się jakaś zakłócają-

ca składowa częstotliwościowa wy-

chodząca nawet dość daleko poza

pasmo sygnału użytkowego (f z na

rys. 6 ). Na skutek aliasingu poja-

wi się jej „odbicie” na częstotli-

wości m.in.: f p –f z =f az– . Amplituda

tej składowej aliasingowej będzie

mniejsza od składowej f z o tyle,

o ile oryginał zostanie stłumiony

przez ﬁltr antyaliasingowy. Na rys.

6 została tym razem narysowana

„do góry”, aby lepiej zilustrować

fakt jej stłumienia w stosunku do

oryginalnej częstotliwości zakłó-

cającej. Przy powyższej realizacji

Rys. 6. Ilustracja wpływu charaktery-

styki filtru na skuteczność filtrowania

składowych aliasingowych

Elektronika Praktyczna 9/2006

K U R S

będzie ona jednak na tyle duża,

że mimo użycia ﬁltru nadal może

wyraźnie zniekształcić sygnał użyt-

kowy. Wnioskujemy więc, że samo

zastosowanie ﬁltru nastrojonego na

częstotliwość Nyquista nie stanowi

warunku wystarczającego do pełnej

eliminacji aliasingu. Filtr taki musi

być dobrany odpowiednio do dy-

namiki sygnału wejściowego i czę-

stotliwości próbkowania. Aby jego

działanie było skuteczne, tłumienie

ﬁltru dla częstotliwości Nyquista

(wyrażone w dB) powinno być co

najmniej równe dynamice sygna-

łu użytkowego (również wyrażonej

w dB). Osiągniemy wówczas stan,

w którym nawet, jeśli pojawi się

jakaś składowa zakłócająca, to jej

produkt aliasingowy będzie poni-

żej minimalnej wartości sygnału

użytkowego (np. na poziomie szu-

mów). Strojenie układu możemy

realizować poprzez

odpowiednie dobranie

częstotliwości granicz-

nej ﬁltru, skuteczności

jego ﬁltrowania (rząd

ﬁltru) oraz częstotli-

wości próbkowania.

Przykład prawidłowo

zaprojektowanego ukła-

du przedstawiono na

rys. 7 . Widać z niego,

ze najlepsze byłyby

ﬁltry o bardzo dużym

nachyleniu charakte-

rystyki (przepuszczające tylko pa-

smo sygnału użytkowego i skutecz-

nie wycinające resztę). Niestety,

im większy jest rząd ﬁltru, tym

trudniej go zrealizować w prakty-

ce. Przypomnijmy, że ﬁltr 1 rzędu

(np. prosty układ RC) ma tłumie-

nie 20 db/dek (6 dB/okt), 2 rzędu

40 db/dek (12 dB/okt), itd.

W następnym odcinku zapozna-

my się ze wskazówkami praktycz-

nymi związanymi z projektowaniem

ﬁltrów antyaliasingowych oraz po-

znamy kilka sztuczek stosowanych

w technice przetwarzania analogo-

wo–cyfrowego.

Jarosław Doliński, EP

jaroslaw.dolinski@ep.com.pl

Elektronika Praktyczna 9/2006

Rys. 7. Charakterystyka prawidłowo zestrojonego filtru

antyaliasingowego

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: