Równania różniczkowe zwyczajne
Definicja
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
,
w którym niewiadomą jest funkcja i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji wraz z pochodnymi niższych rzędów.
Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego zwyczajnego w przedziale (a,b) nazywamy każdą funkcje zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej
lub w postaci uwikłanej
która spełnia równanie dla .
Wykres funkcji nazywamy krzywą całkową równania .
Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania zależne od n dowolnych stałych , wyrażone w postaci jawnej
i takie, że podstawiając dowolne wartości za otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe.
Podstawiając za konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne równania .
Rozwiązanie osobliwe jest to rozwiązanie równania , którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za dowolnych wartości.
Zagadnieniem Cauchy’ego równania nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe:
gdzie nazywamy wartościami początkowymi.
Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkowy: .
- jest rozwiązaniem szczególnym tego równania.
Interpretacja geometryczna równania różniczkowego rzędu pierwszego
Rozważmy równanie różniczkowe, rzędu pierwszego
, gdzie.
Funkcja f przyporządkowuje każdemu punktowi kierunek stycznej do krzywej całkowej w punkcie .
Izokliną równania nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny OXY, w których styczne do krzywych całkowych do tego równania mają jednakowy kierunek.
Ustalmy wartości pochodnej , gdzie m=const. Wtedy izoklina to zbiór:
Umowa
Jeśli w równaniu różniczkowym rzędu pierwszego nie istnieje oraz , to punktowi przyporządkowujemy element równoległy do osi OY.
Natomiast jeśli w punkcie nie istnieją: , to punkt ten nazywamy punktem osobliwym równania.
Stosując metodę izoklin wyznaczyć krzywe całkowe równania różniczkowego .
Izokliny określone są równością:
Ponadto prosta spełnia równanie, bo równanie to możemy zapisać w postaci stąd Zatem elementy styczne w punktach prostej są równoległe do osi OY. Ponadto punkt (0,0) jest punktem osobliwym stąd wynika, że krzywymi całkowymi tego równania są okręgi gdzie .
Twierdzenie (Cauchy’ego)
Jeśli ,
f - spełnia warunek Lipschitza względem zmiennej y w obszarze D, tzn.
: ,
to przez każdy punkt wewnętrzny przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa spełniająca równanie , przy czym .
Uwaga
Jeśli jest funkcją ograniczona w D, to funkcja f spełnia warunek Lipschitza ze względu na zmienną y w obszarze D.
1
Minnie_