Problem modelowania i analizy układów płytowo-słupowych w ujęciu MES.pdf

(268 KB) Pobierz
Microsoft Word - Konderla_got.doc
XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole – Krynica
2002
Piotr KONDERLA 1
PROBLEM MODELOWANIA I ANALIZY
UKŁ ADÓ W PŁ YTOWO-SŁ UPOWYCH W UJĘ CIU MES
1. Wprowadzenie
Stropy ż elbetowe o konstrukcji płytowo-słupowej są typowymi rozwiązaniami stosowanymi w
wielu konstrukcjach przemysłowych, handlowych, jak ró wnież w budownictwie mieszkanio-
wym. Standardowo, jako model fizyczny tego typu konstrukcji przyjmuje się płytę cienką,
podpartą punktowo w miejscach usytuowania słupó w. W przypadku stosowania bardziej za-
awansowanych modeli stosuje się modele płytowo-prętowe, z moż liwoś cią uwzględnieniem
różnych sposobó w połą czenia prętó w z płytą: połą czenie przegubowe, sztywne lub spręż yste.
Dla konstrukcji ż elbetowych przyjmuje się z reguły połą czenie sztywne.
W wyniku analizy statycznej MES otrzymuje się rozkłady pó l przemieszczeń i sił we-
wnętrznych w konstrukcji, któ re stanowią podstawę wymiarowania konstrukcji. Na tym
etapie pojawia się problem interpretacji otrzymanych wynikó w w otoczeniu punktó w pod-
parcia płyty. Wynika to z faktu występowania osobliwoś ci w rozwiązaniu płyty cienkiej w
punktach podparcia, a ś ciś lej, w punktach tych teoretyczne wartoś ci momentó w zginających
dążą do nieskoń czonoś ci. Uż ytkownik programó w MES moż e nie zauważ yć tego problemu,
ponieważ otrzymuje nad podporami momenty, zwykle ekstremalne, ale o skoń czonych war-
toś ciach. Jest to konsekwencją przyjęcia skoń czenie wymiarowego modelu dyskretnego
MES. Jeż eli bezkrytycznie podejść do zagadnienia, to podstawą wymiarowania płyty w ob-
szarach przypodporowych są ostatecznie wartoś ci momentó w, któ re okazują się być warto-
ś ciami przypadkowymi.
Celem niniejszej pracy jest analiza poruszonego wyż ej problemu oraz sposobu właś ciwej
interpretacji otrzymanych wynikó w z MES. W pracy wykorzystuje się komercyjny program
analizy płyty cienkiej PL-Win oraz system COSMOS/M. W ramach testowania programu PL-
Win sygnalizowany problem był szeroko analizowany przez autora tej pracy. Badano wpływ
różnych elementó w modelowania MES na uzyskiwane rozwiązania numeryczne.
Prezentowane w pracy iloś ciowe wyniki dotyczą typowego układu płytowo-słupowego o
konstrukcji ż elbetowej (rys. 1a). W celu uwypuklenia istotnych elementó w problemu, analizo-
wano reprezentatywny fragment takiego układu, traktując go jako benchmark (rys. 1b). Zaletą
tego układu jest istnienie rozwiązania analitycznego, co pozwoliło na ocenę iloś ciową rozwią-
1 Prof. dr hab. inż ., Wydz. Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
76290664.007.png
94
zań numerycznych MES. W szczegó lnoś ci dyskusji poddano dwa typy zadań :
– płyta obciąż ona symetrycznie stałym obciąż eniem q =const (schemat 1 i 2),
– układ płyta-słup obciąż ony antysymetrycznie (schemat 3 w p. 5).
2. Rozwią zanie analityczne dla schematu 1
Dana jest płyta prostokątna swobodnie podparta na brzegach oraz punktowo w ś rodku płyty,
jak to pokazano na rys. 1b. Przyjęto, ż e płyta ma stała grubość h oraz materiał płyty jest
liniowo spręż ysty, o stałych materiałowych E i n. Płyta jest obciąż ona obciąż eniem stałym o
intensywnoś ci q . Reakcję pionową na podporze ś rodkowej oznaczono przez V .
Dla tak sformułowanego zagadnienia brzegowego znane jest rozwiązanie analityczne
podane przez Naviera [1]. Dla przyj ętego układu współrzędnych, rozwiązania poszukuje się
w postaci podwó jnych szeregó w Fouriera:
w
(
x
,
y
)
=
=
w
mk
cos
a
m
x
cos
b
k
y
,
(1)
m
1
3
,...
k
=
1
3
,...
gdzie:
a
=
m
p
,
b
=
k
p
.
m
k
2
a
2
b
Po rozwinięciu obciąż eń w analogiczne szeregi Fouriera:
16
q
(
-
1
(
m
+
k
)
/
2
+
1
q
=
cos
a
x
cos
b
y
,
m
k
2
mk
p
m
=
1
3
,...
k
=
1
3
,...
(2)
V
=
-
V
cos
a
x
cos
b
y
ab
m
k
m
=
1
3
,...
k
=
1
3
,...
i podstawieniu wyraż eń (1) i (2) do ró wnania płyty, otrzymano współczynniki rozwinięcia
funkcji przemieszczenia (1), w postaci
16
q
(
-
1
(
m
+
k
)
/
2
+
1
V
w
=
-
,
(3)
mk
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
p
D
mk
a
+
b
Dab
a
+
b
m
k
m
k
gdzie D jest sztywnoś cią płyty.
76290664.008.png 76290664.009.png
95
Z warunku brzegowego
w
(
0
0
)
=
0
wyznaczono wartość reakcji V :
w
(
0
q
)
V
=
q
,
(4)
(
0
V
)
w
w są odpowiednio przemieszczeniami w punkcie (0,0) płyty swobodnie
podpartej na brzegach i poddanej działaniu obciąż enia o jednostkowej intensywnoś ci w
pierwszym przypadku oraz sile jednostkowej na kierunku reakcji V w drugim przypadku.
Funkcja momentu zginającego ma postać
(
0
)
i
w
(
0
V
)
Ł
2
w
2
w
ł
=
M
=
-
D
+
n
=
M
,
cos
a
x
cos
b
y
,
(5)
x
2
2
x
mk
m
k
x
y
m
1
3
,...
k
=
1
,...
gdzie
q
Ł
16
(
-
1
(
m
+
k
)
/
2
+
1
w
(
0
q
)
1
ł
(
) .
2
2
M
,
=
-
a
+
nb
(6)
(
)
x
mk
2
2
(
0
V
)
ab
m
k
2
2
p
mk
w
a
+
b
m
k
Uzyskane rozwiązanie analityczne jest rozwiązaniem osobliwym rzędu –2. Oznacza to, ż e
pochodne funkcji przemieszczenia rzędu ró wnego lub większego od 2 zawierają punkty
osobliwe. W szczegó lnoś ci moment zginający M x w punkcie (0,0) nie jest okreś lony – szereg
trygonometryczny w wyraż eniu (5) nie jest zbież ny.
3. Rozwią zanie numeryczne za pomocą programu PL-Win
Program PL-Win jest uż ytkowym programem wspomagania pracy projektanta konstruktora.
W szczegó lnoś ci służy do liniowej analizy i wymiarowania układó w płytowo-ż ebrowych
Rys. 2. Model dyskretny płyty dla schematu 1
q
gdzie
76290664.010.png 76290664.001.png 76290664.002.png
96
dowolnie obciąż onych przy dowolnych warunkach brzegowych. W programie analiza układu
jest wykonywana za pomocą standardowego algorytmu metody elementó w skoń czonych.
W trakcie przeprowadzonych testó w badano następujące elementy modelu MES mają-
ce wpływ na rozwiązanie: rodzaj stosowanych elementó w skoń czonych, przyjęty model
dyskretny a w szczegó lnoś ci gęstość podziału obszaru na elementy oraz sposó b wyznaczania
sił wewnętrznych.
Ostatecznie w programie zostały zaimplementowane elementy skoń czone tró jkątne
Spechta [2,3]. Przy wyznaczaniu macierzy sztywnoś ci stosuje się 3 punkty całkowania (cał-
kowanie zredukowane). Element czworokątny traktuje się jako złożony układ dwó ch par
elementó w tró jkątnych, co umoż liwia uzyskanie symetrycznego rozkładu sztywnoś ci w
przypadku, kiedy element czworokątny jest regularnym prostokątem. Siły wewnętrzne obli-
cza się ze związkó w geometrycznych w punktach całkowania, a następnie interpoluje linio-
wo do węzłó w elementu. Wartoś ci sił wewnętrznych w węzłach modelu oblicza się przez
uś rednienie tych wielkoś ci, występujących w elementach zbiegających się w danym węźle.
Na rys. 2 pokazany jest model dyskretny analizowanej płyty w oknie głó wnym pro-
gramu. Wyniki liczbowe przytoczone w pracy dotyczą płyty kwadratowej – w dalszym ciągu
przyjęto
a
4. Analiza wynikó w płyty o schemacie 1
Wyniki numeryczne uzyskane za pomocą programó w PL-Win oraz systemu COSMOS/M
poró wnano z rozwiązaniami analitycznymi. Rozwiązanie analityczne dane jest w postaci
szeregu trygonometrycznego. Wyniki liczbowe z błę dem względnym poniż ej 0.1% dla
przemieszczeń oraz poniż ej 1% dla momentó w zginających uzyskano przez sumowanie 1000
wyrazó w szeregu. Szacowanie błę du nie dotyczy jedynie bezpoś redniego otoczenia punktu
osobliwego (0,0) dla funkcji sił wewnętrznych.
Na rys. 3 pokazano izolinie przemieszczeń oraz rozkład przemieszczeń w przekroju
y = . Wyniki numeryczne są zbliż one do rozwiązania analitycznego Błą d względny w tym
przypadku nie przekracza 0.3%.
x
Rys. 3. Przemieszczenia płyty dla schematu 1
b = Dla płyty o schemacie 1 model dyskretny złożony jest z 1600 elementó w
prostokątnych o wymiarach c*c.
76290664.003.png
97
Rys. 4. Momenty zginające M x w płycie dla schematu 1
Tabela 1. Zestawienie
M x
/ qa
2
dla schematu 1
Punkt
Analityczne PL-Win
Cosmos/M
A
- ¥
-0.4472
-0.5013
B
-0.1899
-0.2039
-0.1877
C
-0.0984
-0.0977
-0.0975
D
-0.2790
-0.2744
-0.2861
E
-0.1872
-0.1763
-0.1837
F
-0.1884
-0.1927
-0.1877
ś rednia na obw.
-0.2114
-0.2159
-0.2123
y . Na rys.
4b poró wnano rozkłady momentu M x rozwiązań numerycznych z rozwiązaniem analitycz-
nym w otoczeniu punktu (0,0). Szczegółowe wartoś ci liczbowe uzyskanych wynikó w dla
tych rozwiązań zestawiono w tabeli 1.
Na podstawie otrzymanych wartoś ci momentu zginającego M x w otoczeniu punktu
A=(0,0) sformułowane następujące wnioski:
a) Poró wnywanie wynikó w numerycznych w punkcie A jest bezprzedmiotowe, ponieważ
rozwiązanie analityczne w tym punkcie jest nieskoń czone. Tym samym przyjmowanie
tych wartoś ci jako podstawy wymiarowania płyty jest niewłaś ciwe.
b) Wyniki liczbowe uzyskane z rozwiązań numerycznych w bezpoś rednim otoczeniu punk-
tu A są wyznaczone z błę dem mniejszym niż 6%, w stosunku do rozwiązania analitycz-
nego.
c) Przy założ eniu, ż e punkty B,F i D leżą na obwodzie słupa, wartoś ci momentó w zginają-
cych w tych punktach są miarodajnymi wartoś ciami, na podstawie któ rych należ y wy-
miarować płytę w otoczeniu punktu podparcia.
d) W programie PL-Win, przy ustawieniu odpowiedniej opcji, w punkcie A zamiast warto-
ś ci momentu zginającego wyznaczonego bezpoś rednio, podawana jest wartość momentu
zginającego wyznaczona jako ś rednia wartość z wszystkich charakterystycznych punk-
tó w na obwodzie słupa. Podeś cie takie wydaje się w pełni uzasadnione z punktu widzenia
pracy płyty w obrębie podparcia na słupie. Błą d wyznaczenia wartoś ci ś rednich, uzyska-
ne numerycznie, nie przekracza 2% w stosunku do rozwi ązania analitycznego.
=
0
Na rys. 4a pokazano rozkłady momentu zginającego w przekroju płyty
76290664.004.png 76290664.005.png 76290664.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin