Opracowanie: Małgorzata Sztokfisz

WYKŁAD 5

KONSTRUKCJA CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

(W, U, m) – przestrzeń z miarą

¦: W®R

I ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIARY

DEFINICJA 5.1    (FUNKCJA PROSTA)

¦ – funkcja prosta :Û jeżeli funkcja przyjmuje skończoną ilość wartości {a1, ..., an}

a2

¦– funkcja prosta :Û

     :Û $(a1, ..., anÎR   Ù   E1, ..., EnÎU

               Ù   Ei ÇEj =Æ   dla i¹j)  

a1

E2

a3

E1

E0

DEFINICJA 5.2    (FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA)

EÎU

1

E

cE : W®R    Ù  

WNIOSEK 5.1    (POSTAĆ NORMALNA FUNKCJI PROSTEJ)

              ¦ – funkcja prosta (definicja 5.1.)

Objaśnienie:

  Gdy:    xÎEk ,     to:         L=¦(x)= ak                  Þ     L=P

Każda funkcja prosta jest kombinacją liniową funkcji charakterystycznych.

                            Istnieje nieskończenie wiele postaci normalnych funkcji prostej.

TWIERDZENIE 5.1    (WŁASNOŚCI FUNKCJI PROSTYCH)

              e – zbiór wszystkich funkcji prostych określonych na W

1)                

y=(sup.{¦,g })(x)

2)                

"¦,gÎe   "a,bÎR   (a¦+bg)Î e

y=¦(x)

3)                



"¦,gÎe   sup.{¦,g }Π  Ù   inf{¦,g}Î e

              " xÎW   (sup.{¦,g })(x)=max{¦(x),g(x)}

y=g(x)

y=(inf.{¦,g })(x)

                            " xÎW   (inf.{¦,g })(x)=min{¦(x),g(x)}

4)                 "¦Îe    ½¦½Î e

5)                 "¦Îe    "EÎU  ¦cEÎ e

6)                 "¦,gÎe  (¦g)Î e

a3

E3

              Dowód:

E1

F3

Ad. 1)              Niech:  

a1

F1

F2

a4

a2             

E2

E4

                                          x={ EiÇFj: i={0, ..., n}Ù j={0, ..., m}}

Uwaga:

A

B

                                          AÇB=Æ    to    cAÈB = cA+cB

1

                                          gdzie EiÇFj są parami rozłączne,

                                              tzn. (EiÇFj)Ç( EiÇFk)=Æ   dla  

Ad. 2.)

korzystając z ad. 1) można zapisać:

                                          analogicznie:

Ad. 3.)

Ad. 4.)

DEFINICJA 5.3    (FUNKCJA PROSTA CAŁKOWALNA)

...