Powtórzenie_do_kolokwium1.pdf

Zadania domowe z Analizy Matematycznej I - czesc 1

(funkcje, indukcja matematyczna, kresy zbiorow, ciagi)

Zadanie1. Niech a k oraz b k , k = 1; 2;:::;n, beda liczbami rzeczywistymi. Pokazac, ze

b 2 k

k :

a k b k

ka 2 k

k=1

Zadanie2. Obliczyc arctg(1), arccos(cos( 16 5 )), cos( 1 2 arccos( 1 8 )), sin(2 arcsin(

2 p 2 )), tg( 1 2 arcsin( 5 13 )).

Zadanie3. Udowodnic wzor i podac dziedzine: arcsin x + arccos x = 2 .

Zadanie4. Udowodnic wzor i podac dziedzine: arccos(x) = arccos(x).

Zadanie5. Wyrazic funkcje odwrotna wzgledem funkcji f(x) = cos(x + 2 ) obcietej do przedzialu [ 2 ; 3 2 ] poprzez

funkcje arccos x.

Zadanie6. Podac dziedzine i narysowac wykres funkcji f(x) = 2 arctg(tgx).

Zadanie7. Wyznaczyc kresy zbiorow

(a)A = nq

2 1 n 2 +

2 + 1 n 2 : n 2N

o ,

n 4

1+x 2 : x 2R

(b)B =

(c)C = 3n 2 n : n 2N

Zadanie8. Niech A i B beda podzbioramiRniepustymi i ograniczonymi z gory. Pokazac, ze

sup (A[B) = maxfsup A; sup Bg:

Zadanie9. Niech A bedzie ograniczonym i niepustym podzbiorem zbioru liczb dodatnich takim, ze inf A 6= 0.

sup

inf A :

Zadanie10. Zbadac zbieznosc ciagow okreslonych rekurencyjnie i obliczyc ich granice, jesli istnieja:

(a)

a n+1 = p 3a n + 18; n 0;

(b)

b 1 2 (0; 1)

b n+1 = sin b n ; n 1;

(c)

c 1 = 1

c n+1 = 6 1+c n

7+c n ; n 1;

(d)

d 1 = 1 ; d 2 = 2

d n+1 =

p d n1 + p d n ; n 2:

Zadanie11. Czy podane ciagi sa zbiezne? Odpowiedz uzasadnic.

(a)a n =

(1 4 k ) (b)

b 1 = b 2R

b n =

1 1 3 n b n1 ; n 2

k=1

Zadanie12.Niech lim n!1 a n = 0 oraz b n bedzie ciagiem ograniczonym. Pokazac, ze wowczas lim n!1 a n b n = 0:

Zadanie13. Niech fa n g oraz fb n g beda ciagami ograniczonymi o wyrazach dodatnich. Czy jest prawda, ze

lim sup

n!1

(a n b n ) = lim sup

n!1

a n lim sup

n!1

b n ?

Zadanie14. Udowod nic przez indukcje, ze n! > n 3

n dla n = 1; 2;:::. Wykorzystujac udowodniona nierownosc

n! = 1:

p 7

Okreslmy 1 A = 1 x : x 2 A : Pokazac, ze

a 0 = 1

pokazac, ze lim n!1 n p

Zadanie15. Obliczyc granice ciagow

(a)a n = p n + 3 p n p n, (b)b n = cos(n 3 p

2) cos( 3 p

2n 3 + 5),

(c)c n = n p

n 2 +1 , (f)f n = n q

5 7 n + sin n, (d)d n = 4 n 1 5

3 n +2 2n+1 ,

(e)e n = nsin(n!)

1 + 1 2 + 1 3 + ::: + 1 n ,

(g)g n = 1

p n 3 +1 + 1

p n 3 +2 + ::: + 1

p n 3 +n , (h)h n = 1

p n 4 +n + 2

p n 4 +2n + ::: +

p n 4 +nn ,

(i)i n = (0; 9999 + 1 n ) n , (j)j n = (1; 0001 1 n ) n ,

n 3 +1

n 3

n 5

3n+1

7n1

(k)k n =

, (l)l n =

(m)m n = 7n+6

7n1

14n

, (n)p n = n

n+1

(o)r n = n [ln(n + 5) ln n].

Zadanie16. Obliczyc granice gorne i dolne nastepujacych ciagow

(a)a n = 1 + (1) n

, (b)b n = 1 + n 2 n 2 (1) (n+1)n=2

(c)c n = cos(n) 1+2+3+:::+n

n 2 + sin n 2 , (d)d n = (1) n+1

n ( p n 2 +1n )

+ (1) n

n 2 P i=1 1 i 2 ,

n 2 cos(2n 2 + 3), (f)f n = (3 n + (2) n ) 2=n .

Zadanie17. Udowodnic, ze jesli fa n g jest ciagiem o wyrazach dodatnich oraz

lim

n!1

a n+1

a n

= g (g skonczone lub nie);

to wowczas

n p a n = g:

lim

n!1

Zadanie18. Obliczyc granice ciagu a n = 1 n n p

n!.

4 , 1 5

3.D = [1; 1] 4.D = [1; 1]

5.f 1 (x) = 2 + arccos(x) = 3 2 arccos(x)

6.D =Rf 2 + k;k 2Zg

7.(a) inf A = 1 +

p 7

4 ,

p 7

3, sup A = 2

(b) inf B = 0, sup B = 4

10.Podane ciagi sa zbiezne, bo sa monotoniczne i ograniczone. Szukane granice wynosza (a) 6 (b) 0 (Wskazowka:

dla x > 0 prawdziwa jest nierownosc: sin x < x.) (c) 2 (d) 4

11.Tak, sa zbiezne.

13.Badana rownosc nie jest prawdziwa.

15.(a) 0 (b) 0 (c) 7 (d) 1 8 (e) 0 (f) 1 (g) 0 (h) 1 2 (i) 0 (j) 1 (k) 1 (l) 0 (m) e 14 (n) e (o) 5

16.Granice dolne i gorne wynosza (a) 1 p e , p e (b) 1 e , e (c) 3 2 , 1 2 (d) 2, 2 (e) 0, 0 (f) 9, 9

17.Wskazowka: Wykorzystac twierdzenie z zadania 4.21.

18.Wskazowka: Mozna wykorzystac twierdzenie z poprzedniego zadania.

(e)e n = n+1

ODPOWIEDZI:

2. 4 , 4 5 ,

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: