Kartografia matematyczna. Odwzorowania płaszczyznowe kuli - skrót

2.2  Odwzorowania płaszczyznowe (azymutalne)

Odwzorowaniem płaszczyznowym normalnym nazywamy odwzorowanie powierzchni kuli na płaszczyznę, w którym spełnione są dwa następujące warunki:

·       obrazy południków tworzą pęk prostych przecinających się pod takimi samymi kątami jak południki na kuli,

·      

·       obrazy wszystkich równoleżników są kołami współśrodkowymi, których środek leży w wierzchołku powyższego pęku

gdzie               - funkcja kąta p,              

Dla tak przyjętych układów równania obu powierzchni będą miały postać:

                                                        (2.2.1)

- I forma kwadr. dla kuli              - I forma kwadr. dla płaszczyzny

Zatem wzór ogólny na skalę w odwzorowaniu płaszczyznowym będzie miał postać:

Następnie wyznaczymy skale główne odwzorowania. Kierunki główne pokrywają się tu z kierunkami południków i równoleżników (linii parametrycznych)

Skala w kierunku południków:                            Skala w kierunku równoleżników:             

2.2.1 Odwzorowania płaszczyznowe

Rzut ortograficzny  - jeśli rzutowanie powierzchni kuli na płaszczyznę zrealizujemy wzdłuż prostych prostopadłych do płaszczyzny to otrzymamy rzut ortograficzny.

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:                                                       

W tym odwzorowaniu południki ulegają skróceniu, a równoleżniki zachowują swój długość, kąty ulegają powiększeniu a pola powierzchni zmniejszeniu

Rzut środkowy (gnomiczny, centralny)

W tym odwzorowaniu nie zakładamy z góry warunku na zniekształcenia. Obraz powierzchni kuli otrzymujemy jako rzut, którego środek jest w środku kuli:             

Funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:

W tym odwzorowaniu południki i równoleżniki ulegają wydłużeniu, kąty ulegają zmniejszeniu a pola powierzchni powiększeniu

Rzut stereograficzny (wiernokątny)  

              Warunkiem wiernokątności odwzorowania jest równość skal w kierunkach głównych:              

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:             

W tym odwzorowaniu południki i równoleżniki ulegają wydłużeniu, kąty zachowują się bez zniekształceń a pola powierzchni powiększeniu

2.2.2 Odwzorowania płaszczyznowe nieperspektywiczne

Odwzorowanie równoodległościowe Postela

W tym przypadku założymy, że długości w kierunku południków nie ulegają zniekształceniu:             

założenie to prowadzi do równania:              ®                            ®

Geometryczna interpretację tego wzoru

przedstawia rys. 5:

W tym odwzorowaniu południki zachowują swoją długość, równoleżniki ulegają wydłużeniu, kąty kąty i pola powierzchni ulegają powiększeniu

Odwzorowanie równopolowe Lamberta

Zakładamy w tym przypadku, że skala pola jest równa jedności stąd:                            

Wstawiając wyrażenia na a i b otrzymujemy:                            ®             

A więc funkcje odwzorowawcze tego odwzorowania będą miały postać:                           

W tym odwzorowaniu południki ulegają skróceniu, równoleżniki ulegają wydłużeniu, kąty powiększają się a pola powierzchni nie ulegają zmianie.

2.2.3 Odwzorowania płaszczyznowe ukośne i poprzeczne

              Omawiane wyżej odwzorowania normalne są szczególnym przypadkiem odwzorowania ukośnego. Punkt główny (G) w odwzorowaniu ukośnym nie pokrywa się z biegunem (B) lecz znajduje się w dowolnym punkcie na powierzchni kuli. Wyprowadzone wzory odwzorowań normalnych można wykorzystywać w przypadku odwzorowania ukośnego pod warunkiem zastąpienia współrzędnych (l,p) współrzędnymi azymutalnymi (biegunowymi) (a,d) (Rys. 7)

Związek między współrzędnymi biegunowymi (a,d) i geograficznymi (j,l) wynika z trójkąta sferycznego GBP (Rys.8)

Wzory kolejnych (omawianych wyżej) odwzorowań płaszczyznowych w przypadku odwzorowań ukośnych będą miały postać:

gdzie funkcja r(d) odpowiada funkcji r(p) z odwzorowań normalnych np. dla odwzorowania płaszczyznowego. W przypadku odwzorowania poprzecznego punkt główny znajduje się na równiku kuli (j0=0°). Wtedy wzory (...) ulegną uproszczeniu.

2.2.4 Odwzorowania płaszczyznowe sieczne

              W odwzorowaniach płaszczyznowych siecznych płaszczyzna przecina kulę stykając się z nią wzdłuż tzw. okręgu sieczności (rys. 8). Sieczność uzyskuje się poprzez nadanie odwzorowaniu dodatkowej skali liniowej mniejszej od jedności. Między skalami liniowymi w odwzorowaniu siecznym i stycznym zachodzi związek:

gdzie m0 jest dodatkową skalą powodującą sieczność. Niezależnie od rodzaju odwzorowania, odwzorowania sieczne charakteryzują się bardziej równomiernym rozkładem zniekształceń liniowych w stosunku do odwzorowań stycznych. Odpowiednio dobrana skala m0 dla danego obszaru odwzorowania umożliwia uzyskanie najmniejszych (co do wartości bezwzględnych) zniekształceń liniowych.

Z równania (..) wynika również związek   między współrzędnymi X,Y w odwzorowaniu stycznym i siecznym:

2