Kartografia matematyczna. Współrzędne izometryczne - skrót

4.5  Współrzędne izometryczne

Współrzędne krzywoliniowe u,v nazywane są izometrycznymi, jeżeli długość ds na powierzchni można wyrazić wzorem:

              gdzie: m2 - dowolna funkcja parametrów u i v.

Jeżeli zatem współrzędne u i v są izometrycznymi to zachodzą następujące związki:

F = 0,              E = G = m2

Twierdzenie:

Współrzędne u i v są izometryczne jeżeli:

1.         siatka współrzędnych jest siatką ortogonalną,

2.         przesunięcie ds wywołane zmiana współrzędnej u o wartość du = e jest równe przesunięciu ds wywołanemu zmiana współrzędnej v o dv = e

(gdzie e  to nieskończenie mała, dowolnie obrana liczba)

Współrzędne elipsoidalne B,L nie są izometryczne.

zamiast współrzędnej B wprowadzimy nową współrzędną q taką, że

otrzymamy zatem: 

Współrzędna q będzie równa:

  czyli  po rozwiązaniu  

gdzie:              q - współrzędna izometryczna (ważna w odwzorowaniach równokątnych)

              e - mimośród elipsoidy

Warunki równokątności

(w przypadku stosowania współrzędnych izometrycznych)

Warunki równokątności odwzorowania elipsoidy obrotowej na płaszczyznę:

       oraz      

Po zastąpieniu B,L współrzędnymi izometrycznymi q,L otrzymamy:

ponieważ                               zatem             

przedstawia warunki równokątności w zastosowaniu współrzędnych izometrycznych (Cauchy’ego - Riemana)

Warunki te musi spełniać funkcja analityczna zmiennej zespolonej z = q+iL

1