1. Podać I i II twierdzenie Tissota i uzasadnić warunek dla odwzorowań wiernokątnych. Od czego zależy skala długości w odwzorowaniach wiernopolowych a od czego w wiernokątnych?
I twierdzenie Tissota:
W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieje (co najmniej jedna) siatka ortogonalna, która odwzorowuje się na siatkę ortogonalną. Siatka ta nazywa się siatką główną.
II twierdzenie Tissota:
Obrazem graficznym zniekształceń długości we wszystkich kierunkach wychodzących z jednego punktu powierzchni jest elipsa, której półosie są równe zniekształceniom w kierunkach głównych.
Uzasadnienie warunku dla odwzorowań wiernokątnych:
A = A gdy F = 0 i jednocześnie (E/H)*(r/M) = 1
ctgA = (mB/mLsinO)ctgA + ctgO gdy O = 900 i mB = mL
Skala długości w odwzorowaniach wiernopolowych zależy od położenia i azymutu a w wiernokątnych tylko od położenia.
2. Podać postać I formy kwadratowej i omówić jej wykorzystanie w badaniu powierzchni uczestniczących w odwzorowaniu.
gdzie: u = const, v = const - linie parametryczne
dla F = 0 - siatka linii parametrycznych jest ortogonalna
3. Co to są zniekształcenia odwzorowawcze i podać ich postać dla pól i długości.
Zniekształcenia odwzorowawcze to zniekształcenia (nie błędy) powstałe przy odwzorowaniu bryły ziemskiej na płaszczyznę.
Zniekształcenie pola:
p = dP’/dP
Zniekształcenie długości:
m = ds’/ds.
4. Omówić ogólną teorię odwzorowań azymutalnych normalnych kuli.
Obrazami równoleżników są współśrodkowe okręgi, których środek znajduje się w środku bieguna, obrazami południków są proste zbiegające się w biegunach.
X = R sinp cosl
Y = R sinp sinl
Z = R cosp
W zależności od położenia środka rzutu wyróżniamy:
- rzut centralny
- rzut stereograficzny
- rzut ortograficzny
Koło wielkie przechodzące przez dany punkt G nazywamy wertykałem, a koło małe, którego wszystkie punkty są równo oddalone od punktu G nazywamy almukantaratem.
Zastosowanie:
- do sporządzania map radiokomunikacji morskiej i lądowej oraz map telekomunikacyjnych i pocztowych
- ilustrowanie zjawisk sejsmicznych
- opracowywanie map ciał niebieskich
5. Wyprowadzić zależność dla odwzorowania walcowego normalnego równopolowego, normalnego równoodległościowego, normalnego wiernokątnego kuli.
Odwzorowanie równopolowe:
ab = 1
czyli
, dla
Zatem wzory tego odwzorowania będą miały postać:
x = R sinj
y = R l
Odwzorowanie równoodległościowe powstaje przez rozwinięcie na płaszczyźnie wszystkich południków i równika wiernie, czyli skala w kierunku południków powinna być równa jedności:
dla
x = R j
Odwzorowanie wiernokątne:
Warunek równokątności:
co prowadzi do równania
Zatem
Wzory tego odwzorowania będą miały postać:
6. Odwzorowanie Gaussa – Krugera i zdefiniować w nim:
- zbieżność południków
- skale długości i pól
- współrzędne cechowane
Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest to wiernokątne, poprzeczne, walcowe odwzorowanie elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, realizowane w wąskich pasach południkowych.
Spełnia następujące warunki:
- południk środkowy (osiowy) pasa odwzorowuje się na odcinek linii prostej
- skala długości na południku środkowym jest równa jedności: m0=1, a0=b0=1
Kształt siatki kartograficznej:
- południk środkowy odwzorowuje się wiernie na odcinek linii prostej
- pozostałe południki na krzywe symetryczne względem południka środkowego (wklęsłością do obrazu południka środkowego)
- równik odwzorowuje się na odcinek linii prostej, prostopadłej do południka środkowego, równoleżniki – na linie krzywe symetryczne względem obrazu równika (wypukłością do obrazu równika)
Zbieżnością południków w odwzorowaniu nazywamy kąt zawarty między styczną do obrazu południka w danym punkcie a linią prostą przechodzącą przez ten punkt równolegle do osi x.
Elementarna skala długości:
Elementarna skala pól:
Współrzędne cechowane to współrzędne przesunięte tak, że wszystkie są dodatnie.
gdzie:
c0 = 500 000 m
L0 = długość geodezyjna południka środkowego w [°],
l – szerokość pasa odwzorowawczego w [°] (najczęściej 3° lub 6°)
dl = 3° dla pasa 6-stopniowego i dl =0° dla pasa 3-stopniowego
Najczęściej używa się elipsoid GRS-80 i Krasowskiego.
7. Scharakteryzować Układ Współrzędnych 2000 i podać różnice względem odwzorowania Gaussa – Krugera.
Układ współrzędnych „2000” (nowa wersja odwzorowania G-K):
- elipsoida WGS-84
- cztery 3-stopniowe pasy odwzorowawcze (15°, 18°, 21°, 24°),
- skala m0 = 0.999923, X = x, Y = y + (5 500 000, 6 500 000, 7 500 000, 8 500 000) metrów dla kolejnych pasów odwzorowawczych
Odwzorowanie to jest obowiązującym odwzorowaniem dla mapy zasadniczej.
Układ współrzędnych „1992” (bonusJ):
- odwzorowanie Gaussa-Krugera
- jeden 12-stopniowy pas odwzorowawczy dla całej Polski (L0 = 19°),
- skala m0 = 0.9993, X = x - 5 300 000 m, Y = y + 500 000 m.
Odwzorowanie to jest obowiązującym odwzorowaniem dla map w skalach 1:10000 i mniejszych.
Różnice z G-K patrz pytanie wcześniej i sam oceń.
8. Podać jakie warunki powinny mieć funkcje f i g w odwzorowaniu aby było ono regularne.
Odwzorowanie nazywamy regularnym, gdy funkcje f i g spełniają następujące warunki:
a) każdej parze wartości parametrów u, v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę wartości parametrów U, V
b) są ciągłe i co najmniej dwukrotnie różniczkowalne
c) są wzajemnie niezależne
aneciakurczaczek