wyklad_3.pdf

(2628 KB) Pobierz
12838739 UNPDF
3. ROZCIĄGANIE OSIOWE
1
3. 
3. Rozciąganie osiowe
3.1 Podstawowe definicje
Przyjęto, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy
oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału posiada jednakowe właściwości bez względu na
orientację próbki.
Będzie rozważany prostoliniowy pręt pryzmatyczny, który będzie obciążony na końcach obciążeniem
powierzchniowym p. Kierunek obciążenia pokrywa się z osią pręta (czyli osią X układu współrzędnych
związanych z prętem). Obciążenie będzie rozciągające czyli wszystkie siły będą działały od przekroju. Nie
rozpatruje się tutaj przypadku pręta ściskanego. ponieważ w tym przypadku zastosowanie ma inna teoria
(trzeba uwzględnić zjawisko wyboczenia nazywane także utratą stateczności – zniszczenie pręta następuje
przy siłach dużo mniejszych niż w przypadku pręta rozciąganego). Pręt został przedstawiony na rysunku 3.1.
p
p
Rys. 3.1. Pryzmatyczny pręt z obciążeniem p.
Wypadkowa z obciążenia wynosi P
P = p ⋅ A
,
(3.1)
w którym A równa się polu powierzchni przekroju pręta pryzmatycznego.
Obciążenie może zostać przyłożone do pręta także za pomocą siły skupionej P. Będzie ona odpowiadała
obciążeniu powierzchniowemu rozłożonemu na bardzo małej powierzchni. Przedstawia to rysunek 3.2.
W odległości większej od wymiarów przekroju pręta można przyjąć, że skutki działania obu typów obciążenia
są takie same. Stanowi to treść zasady de Saint-Venanta . Zasada ta wynika z przesłanek intuicyjnych i jest
potwierdzona wieloma doświadczeniami. Jak dotąd nie znalazła uzasadnienia teoretycznego.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838739.019.png 12838739.020.png 12838739.021.png
3. ROZCIĄGANIE OSIOWE
2
Jeżeli pręt pryzmatyczny zostanie myślowo przecięty w dowolnym miejscu to aby odcięta część pręta była w
równowadze, czyli aby wypadkowa siła działająca na odciętą część pręta wynosiła zero w przekroju muszą się
pojawić naprężenia normalne . Oznacza się je s X . Jednostką naprężenia jest w układzie SI Pascal [Pa]. W
budownictwie najczęściej korzysta się z wielokrotności MPa.
Obok założenia jednorodności oraz właściwości izotropowych materiału, z którego wykonano pręt zakłada się,
że podczas działania siły normalnej przekrój pręta pozostaje płaski czyli nie ulega spaczeniu. Jest to tak zwana
hipoteza płaskich przekrojów . Konsekwencją tej hipotezy będzie fakt, że rozkład naprężeń normalnych na
całej powierzchni przekroju będzie stały . Zostało to przedstawione na rysunku 3.3.
P
P
Rys. 3.2. Pręt pryzmatyczny obciążony siłą skupioną P.
s X
P
Rys. 3.3. Równowaga odciętej części pręta.
Jeżeli zsumujeny naprężenia normalne na całym przekroju to otrzymamy siłę normalną N .
N = ∫ A X ⋅ dA
(3.2)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838739.022.png 12838739.001.png
3. ROZCIĄGANIE OSIOWE
3
Jeżeli naprężenia normalne są stałe na całym przekroju pręta to możemy je wyciągnąć przed znak całki.
Ostatecznie wzór na obliczenie naprężeń będzie miał postać
N = X ∫ A dA = X ⋅ A ⇒ X = N
A
.
(3.3)
Z rysunku 3.3 wynika także, że wypadkowa naprężeń normalnych czyli siła normalna N będzie równa sile
rozciągającej P. Naprężenia zapisuje się w tak zwanym tensorze naprężenia . Ma on postać następującej
tablicy
=
[
X 0 0
0 0 0
0 0 0
] .
(3.4)
P
P
X
D L
L 0
Rys. 3.4. Wydłużenie pręta rozciąganego osiowo.
Rysunek 3.4. pokazuje pręt rozciągany siłą P. Dla ułatwienia przyjęto, że lewy koniec pręta będzie
nieruchomy. W dowolnym punkcie pręta panuje siła normalna N równa sile P. Badania doświadczalne
przedstawione dokładniej w wykładzie numer 13 pokazują, że wydłużenie pręta DL jest wprost proporcjonalne
do siły normalnej N. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E . Jest to jedna ze stałych
materiałowych . Jednostką modułu Younga jest Pa, natomiast dla materiałów wykorzystywanych w
budownictwie jednostką jest GPa.
A = E L
.
(3.5)
L 0
We wzorze (3.5) L 0 oznacza początkową długość pręta. Wyrażenie
X = L
L 0
(3.6)
nazywa się odkształceniem liniowym po kierunku osi X . Jak widać ze wzoru (3.6) odkształcenie jest
wielkością bezwymiarową . Równanie (3.5) będzie miało ostatecznie postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
N
12838739.002.png 12838739.003.png
 
3. ROZCIĄGANIE OSIOWE
4
X = E ⋅ X
(3.7)
Równanie (3.7) nazywa się prawem Hooke'a lub inaczej równaniem fizycznym dla przypadku osiowego
rozciągania.
Rysunek 3.5 przedstawia widok pręta. Linią ciągłą zaznaczono pręt przed przyłożeniem siły P (konfiguracja
pierwotna) natomiast linią przerywaną zaznaczono pręt po wydłużeniu (konfiguracja aktualna).
P
P
X
Y=Y 0
Z=Z 0
Rys. .3.5. Widok pręta rozciąganego osiowo.
Z rysunku 3.5 wynika fakt istnienia obok wydłużenia DL (po kierunku osi X) także skrócenia po kierunku osi
Y 0 oraz Z 0 (obie osie są osiami środkowymi). Doświadczalnie zostało stwierdzone, że skrócenie po kierunku
Y 0 (Y) i Z 0 (Z) czyli DL Y oraz DL Z są wprost proporcjonalne do wydłużenia DL. Współczynnikiem
proporcjonalności jest współczynnik Poissona n, który obok modułu Younga jest drugą stałą materiałową.
Współczynnik Poissona jest wielkością bezwymiarową. Skoro wydłużenia i skrócenia są do siebie
proporcjonalne także odkształcenia będą proporcjonalne, a współczynnikiem proporcjonalności będzie
współczynnik Poissona.
Y = L Y
, Z = L Z
L Z
,
(3.8)
Y =−⋅ X
(3.9)
Z =−⋅ X
(3.10)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
L Y
12838739.004.png 12838739.005.png 12838739.006.png 12838739.007.png 12838739.008.png 12838739.009.png 12838739.010.png 12838739.011.png 12838739.012.png 12838739.013.png 12838739.014.png 12838739.015.png 12838739.016.png 12838739.017.png
3. ROZCIĄGANIE OSIOWE
5
Z prawa Hooke'a wynika zależność pomiędzy odkształceniem liniowym po kierunku osi X i naprężeniem
normalnym w postaci
X = X
E = N
E ⋅ A
(3.11)
Wyrażenie EA nazywa się sztywnością rozciągania (ściskania) przekroju . Ostatecznie odkształcenia po
kierunku osi Y oraz Z wynoszą
Y = −⋅ N
E ⋅ A
,
(3.12)
Z = −⋅ N
E ⋅ A
(3.13)
Odkształcenia podobnie jak naprężenia zapisuje się w tensorze nazywanym tensorem odkształcenia . Będzie
miał on postać
[
X
0
0
] (3.14)
=
0 Y =−⋅ X
0
0
0 Z =−⋅ X
x
u(x)
P
P
X
D L
L 0
Rys. 3.6. Przemieszczenia przekrojów pręt rozciąganego osiowo.
Zaznaczone na rysunku 3.6 wydłużenie (przemieszczenie) całkowite pręta DL będzie wynosiło
L = X ⋅ L 0 = N
E ⋅ A L 0
(3.15)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12838739.018.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin