Logika dla opornych
Wszystko co powinniście wiedzieć o logice,
ale nie uważaliście na zajęciach
1
WSTĘP
Celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki. Książek takich jest już
wystarczająco dużo, więc osoba głębiej zainteresowana tym przedmiotem na pewno nie
będzie miała kłopotu ze znalezieniem czegoś odpowiedniego dla siebie. Niniejsza pozycja
przeznaczona jest przede wszystkim dla tych, którzy pobieżnie zetknąwszy się z logiką, na
przykład jako z przedmiotem wykładanym podczas krótkiego kursu na wyższej uczelni, z
przerażeniem stwierdzili, że nic z tego nie rozumieją. Przyświeca mi cel pokazania takim
osobom, że wbrew pozorom logika wcale nie jest taka trudna, jak by się to mogło początkowo
wydawać, a jej nauka nie musi przypominać drogi przez mękę.
Większość tradycyjnych podręczników logiki najeżona jest technicznymi terminami,
sucho brzmiącymi definicjami i twierdzeniami oraz skomplikowanymi wzorami. Brakuje im
natomiast przykładów ilustrujących zawarty materiał teoretyczny i wyjaśniających bardziej
złożone zagadnienia w sposób zrozumiały dla osób uważających się za „humanistów”, a nie
„ścisłowców”. Sytuacja ta sprawia, że po zapoznaniu się z treścią takiego podręcznika lub po
wysłuchaniu wykładu opracowanego na jego podstawie, adept logiki ma trudności z
rozwiązaniem nawet bardzo prostych zdań umieszczanych na końcach rozdziałów lub w
specjalnych zbiorach ćwiczeń z logiki. Taki stan rzeczy przyprawia o mdłości i ból głowy
zarówno wielu wykładowców logiki zrozpaczonych rzekomą całkowitą niezdolnością do
poprawnego myślenia okazywaną przez ich studentów, jak i tych ostatnich, zmuszonych do
zaliczenia przedmiotu, z którego niemal nic nie rozumieją.
Doświadczenie zdobyte przeze mnie podczas lat nauczania logiki na różnych kierunkach
uniwersyteckich wskazuje jednakże, iż najczęściej nieumiejętność rozwiązywania zadań z
logiki nie jest wynikiem jakichkolwiek braków umysłowych studentów ani nawet ich
lenistwa, ale po prostu przerażeniem wywoływanym przez gąszcz niezrozumiałych dla nich
wzorów, twierdzeń i definicji. Panika ta widoczna jest szczególnie u osób obdarzonych
bardziej humanistycznym typem umysłowości, alergicznie reagujących na wszystko, co
kojarzy im się z matematyką.
Można oczywiście ubolewać nad tym, że tak wielu młodych ludzi nie chce pokonać w
sobie uprzedzeń do logiki i zmuszać ich „dla ich dobra” do przyswajania tej wiedzy w
tradycyjnej formie. Czy ma to jednak większy sens? Da się oczywiście sprawić, że uczeń
poświęci tydzień czasu przed egzaminem (często wspomagając się przy tym różnego rodzaju
chemicznymi „środkami dopingującymi”) na pamięciowe wykucie kilkudziesięciu twierdzeń i
2
praw, a następnie nauczy się ich mechanicznego stosowania. Nie zmieni to jednak faktu, iż
student taki w dalszym ciągu nie będzie rozumiał istoty tego, co robi, ani jaki jest właściwie
cel wykonywanych przez niego operacji.
Żyjemy obecnie w czasach, w których liczy się przede wszystkim szybkość i
skuteczność działania. Większość ludzi nie ma czasu na zgłębiane teoretycznych podstaw
jakiejś dziedziny – interesują ich przede wszystkim praktyczne umiejętności, sposób w jaki
teoria przejawia się w praktyce. Przykładowo użytkownik komputera nie musi znać zasad
jego budowy ani języków pisania programów. Wystarczy mu, że potrafi kopiować pliki na
dyskietkę, włączyć kilka ulubionych programów, wie, co zrobić, gdy komputer się zawiesi, a
w razie większych komplikacji ma telefon do kogoś, kto zna się na tym lepiej. Również ucząc
się obsługi potrzebnych programów, przeciętny człowiek nie musi korzystać ze
specjalistycznych książek dla informatyków wyjaśniających wszelkie możliwe szczegóły
techniczne. Wystarczy, że sięgnie on do popularnego podręcznika z serii „dla opornych”.
Książki takie wiele spraw znacznie upraszczają, wiele trudnych problemów pomijają,
ograniczając się do tego, co najważniejsze. Jeżeli jednak coś można ułatwić, przedstawić w
sposób zrozumiały, nawet kosztem pewnej trywializacji, to dlaczego tego nie zrobić? Nie
wszystko co ważne, musi być od razu trudne i opisane technicznym językiem.
Z podobnym nastawieniem pisana jest niniejsza książka. Wiele spraw jest w niej
uproszczonych. Starałem się posługiwać zrozumiałym językiem, unikając gdzie tylko się da
technicznego żargonu. Może to sprawić, że przedstawiona w ten sposób logika wyda się
komuś nadmiernie spłycona. Być może jest tak faktycznie, jednak, podkreślam to raz jeszcze,
celem tego podręcznika nie jest systematyczny wykład logiki, ale przede wszystkim pomoc w
opanowaniu tego przedmiotu dla tych, którym wydaje się on niemal całkowicie
niezrozumiały. Gdy stwierdzą oni, że logika nie jest wcale tak trudna, jak im się to
początkowo wydawało, sięgną oni być może po podręcznik głębiej traktujący temat.
Jednocześnie książka ta może stać się zachętą do zainteresowania się logiką przez
osoby, które nigdy się z tym przedmiotem nie zetknęły. Korzystając z zawartych tu
przykładów, czytając odpowiedzi na pytania zwykle zadawane przez początkujących, widząc
często popełniane błędy, mogą one przyswoić sobie podstawy logiki samodzielnie, bez
pomocy nauczyciela.
Semestralny kurs logiki na wielu uniwersyteckich kierunkach trwa zwykle 60 godzin
lekcyjnych. Jednakże zdarzają się kursy ograniczone do 30, 15, a nawet 10 godzin. W takim
czasie doprawdy trudno jest nauczyć kogoś logiki. Można co najwyżej pokazać zarys tego
przedmiotu. Studentom uczestniczącym w takich, z różnych względów skróconych, kursach,
3
niniejsza książka powinna przynieść szczególne korzyści. Może ona im pomóc w
zrozumieniu tego, na wyjaśnienie czego nie starczyło czasu na wykładach lub ćwiczeniach, a
jednocześnie pokazać, jak należy rozwiązywać zadania spotykane często na egzaminach i
kolokwiach.
Jak korzystać z książki?
Celem tego podręcznika jest przede wszystkim wyrobienie u Ciebie, drogi Czytelniku,
umiejętności rozwiązywania zadań spotykanych w standardowych podręcznikach do logiki.
Najczęściej jednak rozwiązania przykładów wymagają pewnej podstawy teoretycznej.
Potrzebna teoria, w formie bardzo okrojonej i uproszczonej, wprowadzana jest zwykle w
początkowych partiach każdego rozdziału. Ponieważ, z uwagi na tę skrótowość, nie wszystko
w części teoretycznej może wydać Ci się od razu zrozumiałe, proponuję przeczytanie tych
paragrafów dwa razy: na początku dla zapoznania się z podstawowymi pojęciami, a następnie
po przerobieniu części praktycznej, w celu dokładniejszego zrozumienia i utrwalenia sobie
przerobionego materiału. Jestem przekonany, że po takim powtórnym przeczytaniu
fragmentów teorii w pełni jasne staną się sprawy, które początkowo wydawały się nie do
końca klarowne.
W części teoretycznej przedstawiane są tylko konieczne podstawy – tyle, aby można
było przystąpić do rozwiązywania pierwszych zadań. Wiele dalszych problemów
omawianych jest później – gdy pojawiają się przy okazji praktycznych zadań. Rozwiązując te
zadania, zapoznajesz się, niejako mimochodem, z kolejnymi elementami teorii. Niektóre
wiadomości teoretyczne zawarte są również w sekcjach „Uwaga na błędy” oraz „Często
zadawane pytania”. Zawarte w książce przykłady uszeregowane są w kolejności od
najprostszych do coraz trudniejszych. Umiejętności nabyte przy rozwiązywaniu jednych
wykorzystywane są często w kolejnych zadaniach. Dobrane są one również w taki sposób,
aby każdy z nich wskazywał jakiś inny problem techniczny lub teoretyczny.
Jeśli chcesz nauczyć się samodzielnego rozwiązywania zadań, nie powinieneś
ograniczać się do śledzenia rozwiązań podanych przeze mnie krok po kroku. Doświadczenie
wskazuje, że w takim momencie wydają się one banalnie proste; problemy pojawiają się
jednak, gdy podobne rozwiązanie trzeba przedstawić samodzielnie. Dlatego po przerobieniu
każdego działu spróbuj przepisać treść przykładów na osobną kartkę, rozwiąż je samodzielne
i dopiero wtedy porównaj wynik z podręcznikiem. W wielu wypadkach zobaczysz wtedy, iż
nawet w pozornie prostych przykładach bardzo łatwo popełnić błędy. Nie powinno to jednak
4
powodować u nikogo większego niepokoju. Nic bowiem tak nie uczy, jak zrobienie błędu,
dostrzeżenie go i następnie poprawienie. Tak więc – w dłuższej perspektywie – popełnianie
błędów w początkowej fazie nauki jest nawet korzystne.
Z uwagi na to, że książka ta składa się przede wszystkim z przykładów, może ona
posłużyć jako swojego rodzaju zbiór zdań z logiki. Osoby lepiej znające ten przedmiot nie
muszą czytać drobiazgowych omówień poszczególnych ćwiczeń, i mogą od razu przystąpić
do ich samodzielnego rozwiązania. Objaśnienia mogą się im przydać w sytuacjach, gdyby
okazało się, że otrzymały w którymś miejscu nieprawidłowy wynik.
W niektórych miejscach tekstu tłustym drukiem wyróżnione zostały pojęcia szczególne
istotne w nauce logiki. Znaczenie tych pojęć powinieneś sobie przyswoić i dobrze
zapamiętać. Definicje tych wyrażeń i czasem dotyczące ich wyjaśnienia zawarte są również w
znajdującym się na końcu książki słowniczku.
5
Rozdział I
KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ.
Klasyczny rachunek zdań (w skrócie KRZ) jest jednym z najprostszych systemów logiki
formalnej. W praktyce może on służyć do sprawdzania poprawności wnioskowań, czyli
takich procesów myślowych, podczas których na podstawie uznania za prawdziwe jednych
zdań (przesłanek) dochodzimy do uznania kolejnego zdania (wniosku). Dzięki znajomości
KRZ każdy może sięłatwo przekonać, że na przykład z takich przesłanek jak: Jeśli na
imprezie był Zdzisiek i Wacek, to impreza się nie udała oraz Impreza udała się można
wywnioskować iż: Na imprezie nie było Zdziśka lub Wacka. Posługując się metodami KRZ
można również stwierdzić, iż nie rozumuje poprawne ten, kto z przesłanek: Jeśli Wacek
dostał wypłatę to jest w barze lub u Zdziśka oraz Wacek jest w barze dochodzi do konkluzji:
Wacek dostał wypłatę.
1.1. SCHEMATY ZDAŃ.
1.1.1. ŁYK TEORII.
Pierwszą czynnością, jaką należy przećwiczyć
rozpoczynając naukę klasycznego rachunku zdań, jest
budowanie logicznych schematów zdań. Budowanie takich
schematów przyrównać można do przekładu wyrażeń
„normalnego” języka, jakim ludzie posługują się na co
dzień, na język logiki, w którym logicy sprawdzają
poprawność danego rozumowania.
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie
zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować. Schematy pokazują
nam położenie w zdaniach języka naturalnego zwrotów szczególnie istotnych z punktu
widzenia logiki – niektórych z tak zwanych stałych logicznych: nieprawda że, i, lub, jeśli...
to, wtedy i tylko wtedy. Zwroty te noszą w logice nazwy negacji, koniunkcji, alternatywy,
implikacji oraz równoważności i będą w schematach zastępowane odpowiednimi
symbolami: ~ (negacja), . (koniunkcja), . (alternatywa), › (implikacja), . (równoważność).
Wymienione zwroty są (przynajmniej w takich znaczeniach, w jakich przyjmuje je logika)
6
spójnikami łączącymi zdania, dlatego nazywamy je spójnikami logicznymi. Zdania proste,
łączone przez spójniki logiczne zastępować będziemy w schematach literami: p, q, r, s, t... itd.
Litery p, q, r… nazywamy zmiennymi zdaniowymi (ponieważ zastępują zdania języka
naturalnego). Do budowy schematów będziemy też często używali nawiasów, które pełnią
rolę podobną do znaków przestankowych w piśmie – pokazują jak schemat należy odczytać,
które jego części wiążą się ze sobąściślej, a które luźniej. Rola nawiasów stanie się jaśniejsza
po przerobieniu kilku zadań praktycznych. Przykładowe schematy logiczne zdań mogą
wyglądać następująco: p › q, ~ (p . q), p . (r › ~ s), [p . (q › r)] . (s › z).
Zdania wiązane przez spójniki logiczne nazywamy członami tych spójników. Człony
równoważności niektórzy nazywają
stronami równoważności, natomiast zdania wiązane
przez implikację określamy najczęściej mianem poprzednika i następnika implikacji. Jak
łatwo się domyśleć, poprzednik to zdanie znajdujące się przez „strzałką” implikacji, a
następnik – zdanie po niej.
Uwaga na błędy!
Częstym błędem popełnianym przez studentów jest nazywanie poprzednikiem i
następnikiem zdań
łączonych przez spójniki inne niż implikacja. Powtórzmy więc
jeszcze raz: poprzednik i następnik występują wyłącznie przy implikacji.
Mianem negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji oraz równoważności określa się w
logice nie tylko spójniki, ale również całe zdania przy ich pomocy tworzone. Na przykład
wyrażenie Jeśli Agnieszka zobaczy Ryszarda w tym stanie, to będzie rozczarowana nazywamy
7
zdaniem implikacyjnym lub po prostu implikacją; zdanie Ryszard wykazał się dużym sprytem
lub po prostu dopisało mu szczęście nazywamy alternatywą, itd.
Większość spójników (poza negacją) to tak zwane spójniki dwuargumentowe, co
oznacza, że łączą one dwa zdania. Niekoniecznie muszą być to jednak zdania proste, równie
dobrze mogą być to ujęte w nawiasy złożone wyrażenia. Na przykład w schemacie p . q
członami alternatywy są zdania proste oznaczane przez p i q. Jednakże członami koniunkcji w
wyrażeniu (p › q) . (r . s) są już wzięte w nawiasy zdania złożone: (p › q) oraz (r . s).
Stronami równoważności w kolejnym schemacie są jeszcze dłuższe zdania (ujęte w nawias
klamrowy i kwadratowy) {[p . (q › ~ r)] . s} . [t › (w . z)]
Wyrażenia łączone przez spójniki dwuargumentowe występują zawsze po obu stronach
spójnika. Tak więc prawidłowe są zapisy: p › q, p . (q . r), natomiast nieprawidłowe:
› p q, p (q . r) ..
W prawidłowo zapisanych schematach nie może nigdy zdarzyć się tak, aby
występowały obok siebie dwie zmienne zdaniowe nie oddzielone spójnikiem (np.
p ›
q r), lub dwa spójniki dwuargumentowe (czyli wszystkie oprócz negacji) nie
oddzielone zmienną (np. p .. q)
Negacja jest tak zwanym spójnikiem jednoargumentowym, co oznacza, że nie łączy ona
dwóch zdań, lecz wiąże się tylko z jednym. Podobnie jak w przypadku innych spójników nie
musi być to zdanie proste, ale może być ujęta w nawias większa całość. W schemacie ~ p
negacja odnosi się do prostego zdania p, jednakże w ~ [(p › q) . r], neguje ona całe
wyrażenie ujęte w nawias kwadratowy.
Spójnik negacji zapisujemy zawsze przed wyrażeniem, do którego negacja się odnosi.
Prawidłowy jest zatem zapis ~ p, natomiast błędny p ~.
8
DO ZAPAMIĘTANIA:
Poniższa tabelka pokazuje podstawowe znaczenia spójników logicznych
oraz prawidłowy sposób, w jaki występują one w schematach.
Nazwa spójnika Symbol Podstawowy odpowiednik
w języku naturalnym
Przykładowe zastosowanie
Negacja ~ nieprawda, że ~ p ~ (p . q)
Koniunkcja .
i p . q p . (~ q . r)
Alternatywa .
lub p . q (p › q) . (r . ~ s)
Implikacja ›
jeśli... to p › q (p . q) › ~ r
Równoważność
.
wtedy i tylko wtedy p . q (p . ~ q) . (~ r › ~ s)
1.1.2. PRAKTYKA: BUDOWANIE SCHEMATÓW ZDAŃ JĘZYKA
NATURALNEGO.
Jak już wiemy z teorii, schemat ma za zadanie pokazać położenie w zdaniu spójników
logicznych. Dlatego pisanie schematu dobrze jest rozpocząć od wytropienia w zdaniu
zwrotów odpowiadających poszczególnym spójnikom – nieprawda że, i, lub, jeśli... to, wtedy
i tylko wtedy. Dla ułatwienia sobie dalszej pracy symbole spójników można wtedy zapisać
nad tymi zwrotami. Całą resztę badanego wyrażenia stanowić będą
łączone przez spójniki
zdania proste, które będziemy zastępowali przez zmienne zdaniowe. Symbole tych zmiennych
również możemy dla ułatwienia zapisać nad ich odpowiednikami.
Przykład:
p . q
Zygfryd czyści rewolwer i obmyśla plan zemsty.
W zdaniu tym znajdujemy jedno wyrażenie odpowiadające spójnikowi logicznemu – i,
oraz dwa zdania proste – Zygfryd czyści rewolwer oraz (Zygfryd) obmyśla plan zemsty. W
tym momencie z łatwością możemy już zapisać właściwy schemat całego zdania: p . q.
9
Niektórzy wykładowcy mogą wymagać, aby po napisaniu schematu objaśnić również, co
oznaczają poszczególne zmienne zdaniowe.
W takim wypadku piszemy:
p . q,
p – Zygfryd czyści rewolwer, q – Zygfryd obmyśla plan zemsty.
p › q
Jeśli Marian zostanie prezesem, to Leszek straci pracę.
W przypadku implikacji, której składniki „jeśli” oraz „to” znajdują się w różnych
miejscach zdania, strzałkę piszemy zawsze nad to. Schemat powyższego zdania to oczywiście
p – Marian zostanie prezesem, q – Leszek straci.
Pisząc, co oznaczają poszczególne zmienne zdaniowe nie piszemy już wyrażeń,
które zastąpiliśmy spójnikami. Często spotykanym błędem, w zadaniach takich jak
powyżej, jest napisanie, że p oznacza zdanie jeśli Marian zostanie prezesem.
Jednakże jeśli zostało już przecież zastąpione symbolem „›”.
Po nabraniu pewnej wprawy można zrezygnować z pisania symboli spójników i
zmiennych zdaniowych nad wyrażeniem, którego schemat budujemy. Jednakże trzeba wtedy
zachować szczególną ostrożność w przypadku dłuższych zdań – łatwo jest bowiem „zgubić”
jakiś spójnik lub zmienną.
10
1.1.3. UTRUDNIENIA I PUŁAPKI.
Czy to jest zdanie?
...
agnessa73