W3 aa nieliniowe.doc W3
Nieliniowe modele ekonometryczne
W ekonometrii często wykorzystujemy modele liniowe gdyż:
· mają prostą interpretację ekonomiczną
· są łatwe w estymacji
· łatwa jest ich statystyczna weryfikacja
· często są wystarczająco dobrym przybliżeniem rzeczywistości ekonomicznej
· wiele modeli nieliniowych daje się sprowadzić do postaci liniowej (linearyzować).
Najprostszym przykładem jest model liniowy jednorównaniowy:
Y = a0 + a1X1 + a2X2 + … + anXn + e (1)
gdzie: Y – zmienna objaśniania,
Xi – zmienne objaśniające, i = 1, 2, … n
ai – nieznane parametry strukturalne modelu, i = 0, 1, … n
e – składnik losowy.
Naszym celem jest oszacowanie parametrów modelu ai , i = 0, 1, … n.
W równaniu (1) zarówno zmienne objaśniające Xi jak i parametry strukturalne ai , pojawiają się w sposób liniowy. Jeśli model opisujący zależność między zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi nie jest postaci (1), to jest to model nieliniowy, trudniejszy do analizy. Ponieważ jednak naszym celem jest oszacowanie parametrów strukturalnych, więc uznamy, ze model jest prosty jeśli będzie liniowy ze względu na parametry (nie musi być liniowy ze względu na zmienne). W dalszych rozważaniach będziemy klasyfikowali modele na liniowe ze względu na parametry strukturalne i nieliniowe ze względu na te parametry.
Przykład 1.
a) Y = a + bX + cZ + e ; model liniowy ze względu na parametry i zmienne,
b) Y = a + bX + cX2 + e ; model liniowy ze względu na parametry i nieliniowy ze względu na zmienne,
c) Y = a + bX + b2Z + e ; model nieliniowy ze względu na parametry i liniowy ze względu na zmienne,
d) Y2 = a + bX + b2X2 + e ; model nieliniowy ze względu na parametry i zmienne.
Ogólna postać modelu liniowego ze względu na parametry ma postać:
g(Y) = a0 + a1f1(X) + a2f2(X) + … + anfn(X) + e (2)
X = (X1, X2,… Xn) – wektor zmiennych objaśniających
Jeśli g(Y) = Y, to mówimy, że (2) jest modelem bezpośrednio liniowym. Jeśli g jest funkcja odwracalną to (2) jest linearyzcją (sprowadzeniem do postaci liniowej) modelu (2a).
Y = g-1{a0 + a1f1(X) + a2f2(X) + … + anfn(X) + e} (2a)
Model (2a) nazwiemy modelem linearyzowanym.
Przykład 2.
Badamy model (wykładniczo hiperboliczny) postaci:
; gdzie d, h > 0 (3a)
Model (3a) jest modelem linearyzowalnym. Logarytmując obustronnie równanie (3a) przechodzimy do modelu (3b) postaci:
ln (Y) = ln(d) + b/X + ln(h) (3b)
Przyjmując oznaczenia: a = ln(d), e = ln(h) sprowadzamy równanie (3b) do postaci liniowej ze względu na parametry:
ln(Y) = a + b/X + e (3)
Używając metody wyznaczania parametrów w modelu liniowym, możemy obliczyć â estymator parametru a. Powstaje jednak pytanie czy exp(â) jest dobrym estymatorem parametru d. Przy odpowiednich założeniach (klasycznych założeniach stochastycznych) exp(â) jest zgodnym estymatorem parametru d. Jest to jednak estymator obciążony.
Jak widać na podstawie przykładu 2, możemy wyznaczać parametry strukturalne modelu linearyzowanego. Podobnie możemy postępować w ogólnym przypadku równania (2). Zagadnienie wyznaczania oryginalnych parametrów modelu przed linearyzacją, na podstawie estymatorów ai parametrów modelu linearyzowanego, nazywamy zagadnieniem identyfikacji parametrów oryginalnych.
Model liniowy czy nieliniowy? Jaki model powinniśmy zastosować dla opisu badanego zjawiska, zbioru zaobserwowanych danych? Nie istnieją jednolite reguły postępowania. Musimy posłużyć naszą wiedzą ekonomiczną, doświadczeniem związanym z budową modeli ekonometrycznych, testami statystycznymi.
Przyrost krańcowy i elastyczność.
Przyrost krańcowy zmiennej objaśnianej Y względem zmiennej objaśniającej Xi to pochodna cząstkowa:
Przyrost krańcowy interpretujemy jako proporcję: przyrostu wielkości Y do przyrostu wielkości Xi, przy małym przyroście Xi i niezmienionych pozostałych wielkościach zmiennych objaśnianych. W przypadku, gdy przyrost krańcowy jest stałą niezależną od wszystkich zmiennych objaśniających to zmienna Xi w modelu pojawia się w sposób liniowy, zaś współczynnik przy Xi jest równy przyrostowi krańcowemu. Jeśli przyrost krańcowy nie jest wielkością stałą, to Xi w modelu występuje w sposób nieliniowy.
Elastyczność cząstkowa jest również miarą określającą zmienność zmiennej objaśnianej w zależności od zmienności zmiennej objaśniającej Xi. Elastyczność to iloczyn przyrostu krańcowego i proporcji Xi do Y:
W modelu liniowym EY|Xi = ai · (Xi / Y).
Przykład 3
Model potęgowy: Y = a · Xb · e
Linearyzujemy logarytmując obie strony równania:
ln(Y) = ln(a) + b·ln(X) + ln(e)
Przyrost krańcowy dla modelu potęgowego wynosi: a · b · Xb-1 · e
Elastyczność Y względem X wynosi: b
Przykład 4
Rozważmy model postaci: Y = a + b·ln(X) + e , przy założeniu , że X>0.
Przyrost krańcowy Y względem X: dY/dX = b/X
Obliczmy elastyczność Y względem X:
dY/dX · X/Y = b/X · X/Y = b/Y
Przykład A
Na podstawie naszej wiedzy o badanych zależnościach wiemy, że przyrosty zmiennej objaśnianej Y względem zmiennych objaśnianych X1, X2, … Xn są stałe. Stałe przyrosty sugerują liniową postać modelu:
Y = a0 + a1X1 + a2X2 + … + anXn + e.
Przykład B
Na podstawie naszej wiedzy o badanych zależnościach wiemy, że przyrosty krańcowe zmiennej objaśnianej Y względem zmiennych objaśnianych X1, X2, … Xn są stałe. Stałe przyrosty krańcowe sugerują liniową postać modelu:
Przykład C
Na podstawie naszej wiedzy o badanych zależnościach wiemy, że elastyczności zmiennej objaśnianej Y względem zmiennych objaśnianych X1, X2, … Xn są stałe. Stałe elastyczności sugerują potęgową postać modelu:
Y = a0 · X1a1 · X2a2 ·…· Xnan · e.
Zadanie (Nowak, 4.1)
Zaproponować postać analityczną modelu ekonometrycznego opisującego wartość produkcji P przedsiębiorstwa od mocy zainstalowanych maszyn M, zatrudnienia robotników Z oraz zużycia surowca S, jeśli wiadomo, że elastyczność produkcji względem zmiennych M, Z i S są stałe.
Rozwiązanie
P = a0 · Ma1 · Za2 · Sa3 · e.
Zadanie (Nowak, 4.3)
Zaproponować postać analityczną modelu ekonometrycznego opisującego zależność poziomu produkcji Y przedsiębiorstwa od wartości trwałego majątku produkcyjnego X1 i zatrudnienia robotników produkcyjnych X2 przy założeniu, krańcowe wartości majątku trwałego i zatrudnienia są stałe.
Y = a0 + a1 X1 + a2 X2 + e.
Wybór postaci analitycznej modelu na podstawie wykresu rozrzutu punktów z próby
Metoda stosowana głównie dla modeli z jedną zmienną objaśniającą: Y = f(X,e). Wykonujemy wykres rozrzutu punktów z próby (x1, y1), (x2, y2), … , (xm, ym). Wzrokowo staramy się ocenić wzdłuż wykresu jakiej znanej nam funkcji układają się te punkty.
(rysunek)
...
niewmar