ANALIZA MATEMATYCZNA DLA INFORMATYKÓW.pdf

Analizamatematycznadlainformatyków

WykładdlapierwszegorokuinformatykinaWydzialeMatematyki,InformatykiiMechaniki

UniwersytetuWarszawskiego

skryptwykładuwrokuakademickim2009/2010

MarcinMoszy«ski

Skład w systemie T E X

w wersji 2007/8:

Tomasz Idziaszek

• Tomasz Kazana

•

Piotr Sta«czyk

w kolejnych wersjach (ulepszenia, dodatki i ogólny „nadzór”):

• Tomasz Kazana

Szanowny Czytelniku!

B¦d¦ wdzi¦czny za wszelkie uwagi dotycz¡ce skryptu. Mo»na je np. przesyła¢ na mój adres

e-mailowy: mmoszyns@mimuw.edu.pl

Autor

•

O wykładzie i o skrypcie

Niniejszy skrypt obejmuje moje wykłady dla studentów pierwszego roku informatyki na

Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego na rok akade-

micki 2009/2010 (semestr zimowy i letni). To kolejna, zmodyﬁkowana wersja skryptu z lat

2007/8 i 2008/9. Jest ona sukcesywnie rozszerzana o kolejne rozdziały w miar¦ post¦pu wy-

kładu.

Po ka»dym z rozdziałów zamieszczony jest zestaw zada« z wyró»nionymi paroma zadaniami

do zrobienia we wszystkich grupach ¢wiczeniowych.

Semestr zimowy wykładu (ok. 15 wykładów po 90 minut) to rozdziały I — VI. Obejmuje

on kilka podstawowych działów analizy matematycznej uj¦tych w sposób dosy¢ skrótowy, cho¢

zawieraj¡cych najwa»niejsze poj¦cia i twierdzenia. Omawiamy tu: szkic teorii aksjomatycznej

liczb rzeczywistych, teori¦ ci¡gów i szeregów liczbowych, funkcje jednej zmiennej — granic¦,

ci¡gło±¢, rachunek ró»niczkowy oraz zbie»no±¢ ci¡gów i szeregów funkcyjnych.

Rozdziały VII — XI to semestr letni (ok. 21 wykładów). Poza rachunkiem całkowym jednej

zmiennej (z całk¡ Riemanna), stanowi¡cym uzupełnienie klasycznej tematyki „Analizy I” z se-

mestru zimowego, jest to przegl¡d kilku dalszych wa»nych działów analizy matematycznej lub

innych działów matematyki z ni¡ zwi¡zanych. Z konieczno±ci, w tej cz¦±ci wykładu bardzo wie-

le twierdze« musi by¢ formułowanych bez dowodów. Pojawiaj¡ si¦ tu przestrzenie metryczne,

funkcje wielu zmiennych — ci¡gło±¢ i rachunek ró»niczkowy, teoria miary (z całk¡ Lebesgue’a)

u»yta do całkowania funkcji wielu zmiennych oraz równania ró»niczkowe zwyczajne.

Wykład ten jest w zasadzie samowystarczalny, cho¢ Czytelnik mo»e z powodzeniem korzy-

sta¢ tak»e z wielu pozycji bogatej literatury obejmuj¡cej powy»sze tematy. Spo±ród zwi¦złych

uj¦¢ tematyki o nieco zbli»onym zakresie polecam np.:

• (ad. rozdziały I — VII) Kazimierz Kuratowski, Rachunek ró»niczkowy i całkowy , PWN

(Biblioteka matematyczna, tom 22);

•

(ad. rozdziały VIII — XI) wybrane fragmenty ksi¡»ki Witolda Kołodzieja Analiza ma-

tematyczna , PWN (Matematyka dla politechnik).

Oznaczenia edytorskie

(spis symboli matematycznych zamieszczony jest pod koniec skryptu)

— koniec dowodu (ewentualnie jego szkicu)

B.D. — bez dowodu (cho¢ czasem brak dowodu jest sygnalizowany inaczej)

8 — (w zestawie zada« po ka»dym rozdziale) zadanie „obowi¡zkowe”, tj. do zrobienia

we wszystkich grupach ¢wiczeniowych

tekst mniejszej szeroko±ci ni» zazwyczaj, zło»ony tak¡ wła±nie czcionk¡ — materiał dodatkowy lub nieco

dłu»sza dygresja...

Spis tre±ci

Liczby rzeczywiste — szkic teorii aksjomatycznej,

N,Z,Q, pot¦ga rzeczywista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Nieco oznacze« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Aksjomaty liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Aksjomaty ciała uporz¡dkowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Kresy i zupełno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Element przeciwny, odwrotny, odejmowanie i dzielenie . . . . . . . . 13

Istnienie kresu dolnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Inne relacje nierówno±ci, moduł . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Nieco uwag o kresach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Liczby naturalne, całkowite, wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ZbiórN, indukcja matematyczna i inne własno±ciN. . . . . . . . . . 15

Zapis dziesi¦tny liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Zbiór liczb całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Liczby wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Pot¦ga rzeczywista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Etap 1: x n dla n 2 N, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Etap 2: x n dla n 2 Z, x 6 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Etap 3: Deﬁnicja n p a dla a 0 ,n 2 N. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Etap 4: x q dla x > 0, q 2 Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Etap 5: x y dla x > 0, y 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Funkcja wykładnicza i pot¦gowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Zadania do Rozdziału I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II Ci¡gi liczbowe, granica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Podstawowe poj¦cia i oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ci¡g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Działania, nierówno±ci, monotoniczno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

„Dostatecznie du»e” i „od pewnego miejsca” . . . . . . . . . . . . . . 25

Granica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Własno±ci arytmetyczne granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Działania z udziałem ±1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Rachunkowe własno±ci granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Granice jeszcze kilku elementarnych ci¡gów . . . . . . . . . . . . . . 28

Granica a nierówno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Zachowanie nierówno±ci przy przej±ciu granicznym . . . . . . . . . . 29

Twierdzenie o trzech ci¡gach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Granica ci¡gu monotonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

U»ycie twierdze« do elementarnych przykładów . . . . . . . . . . . . 30

Podci¡gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Podci¡g i podci¡g uogólniony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Granica podci¡gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Granica górna i dolna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Lemat o podci¡gu monotonicznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Podci¡gi zbie»ne — twierdzenie Bolzano - Weierstrassa . . . . . . . . 33

5. Zupełno±¢ (troch¦ inna) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6. Informacja o dalszych twierdzeniach dotycz¡cych granicy ci¡gu . . . . . 35

Zadania do Rozdziału II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

III Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Deﬁnicja „sumy niesko«czonej” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Intuicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

U±ci±lenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Podwójny sens „ P + 1

n = n 0 ” i terminologia „szeregowa” . . . . . . . . . . 39

Ci¡g a szereg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Ogólne twierdzenia i podstawowe przykłady . . . . . . . . . . . . . . . 39

Warunek Cauchy’ego dla szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Podstawowy warunek konieczny zbie»no±ci . . . . . . . . . . . . . . . 40

Istnienie sumy dla wyrazów nieujemnych . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Dodawanie szeregów i mno»enie przez liczb¦ . . . . . . . . . . . . . . 40

Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Zag¦szczanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Bezwzgl¦dna zbie»no±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. Kryteria zbie»no±ci bezwzgl¦dnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kryterium porównawcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kryterium asymptotyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4. Kryteria zbie»no±ci „niekoniecznie bezwzgl¦dnej” . . . . . . . . . . . . 44

Kryterium Dirichleta i przekształcenie Abela . . . . . . . . . . . . . . 45

Kryterium Leibniza i przykłady szeregów zbie»nych warunkowo . . . 45

5. Zmiana kolejno±ci sumowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Problem przemienno±ci sumowania niesko«czonego . . . . . . . . . . 46

Przemienno±¢ dla zbie»no±ci bezwzgl¦dnej . . . . . . . . . . . . . . . 46

Zbie»no±¢ warunkowa, a brak przemienno±ci . . . . . . . . . . . . . . 46

6. Mno»enie szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Iloczyn Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Wyniki o zbie»no±ci iloczynu Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Funkcje exp, sin, cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Zadania do Rozdziału III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

IV Granica i ci¡gło±¢ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Punkty skupienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Deﬁnicja Heinego granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Kłopoty z notacj¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

O deﬁnicji Cauchy’ego granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Rachunkowe własno±ci granicy funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Obcinanie i scalanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Granice jednostronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

„Dostatecznie bliskie” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Inne wa»ne analogie z teori¡ ci¡gów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Kilka wa»nych granic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Ci¡gło±¢ funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Deﬁnicje Heinego i Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: