Wyklad8.pdf

(734 KB) Pobierz
Microsoft Word - wyklad8.doc
ZMIENNE LOSOWE i ich ROZKŁADY
(wybrane zagadnienia)
zmienne losowe (definicja, podział, oznaczenia)
dystrybuanta, funkcja prawdopodobie+stwa, funkcja g-sto.ci
wybrane parametry rozkładu zmiennej losowej
standaryzacja zmiennej losowej
wybrane rozkłady zmiennych losowych
(normalny, chi-kwadrat, t-Studenta)
wykorzystanie tablic statystycznych (odczytywanie informacji)
Je1eli warto.ci zmiennej (cechy) s2 okre.lone przez
przypadek (tzn. przyjmuje ona te warto.ci z okre.lonymi
prawdopodobie+stwami), to mówimy, 1e zmienna ta jest
zmienn2 losow2 .
Zmienne losowe dzielimy na:
ci2głe ; zmienna przyjmuje dowolne warto.ci z okre.lonego
przedziału (w szczególno.ci cały zbiór liczb rzeczywistych)
skokowe (dyskretne) ; zmienna przyjmuje dowolne
warto.ci ze zbioru przeliczalnego (np. zbiór liczb całkowitych
z okre.lonego przedziału)
Oznaczenia (analogicznie jak przy cechach statystycznych) :
du1e litery (X, T, U, ...) - zmienna losowa
małe litery (x, t, u, ...) - warto.ci zmiennej losowej
PRZYKŁAD
Rzucamy kostka sze.cienn2 do gry.
Liczba wyrzuconych oczek jest zmienn2 losow2 (X).
Wynik ka1dego rzutu jest warto.ci2 tej zmiennej (x).
x .
Zatem liczba wyrzuconych oczek jest zmienn2 losow2 skokow2 (dyskretn2).
¬
{
}
Materiaþy do wykþadu 8 ze Statystyki
Zbiór warto.ci zmiennej losowej jest nast-puj2cy:
187742861.016.png 187742861.017.png 187742861.018.png 187742861.019.png
=
(czytamy: „Dystrybuanta dla konkretnej warto.ci zmiennej losowej
tj. dla X=x ) jest równa prawdopodobie+stwu tego, 1e zmienna
losowa X b-dzie przyjmowała warto.ci nie wi-ksze ni1 konkretna
warto.> x”.)
Własno.ci dystrybuanty
F
x
P
X
Materiaþy do wykþadu 8 ze Statystyki
x
)
( )
a.
F
x
( )
b.
F
x
jest niemalej2ca
( ) =
( ) =
c.
x
-
F
x
,
x
+
F
x
Zmienne losowe s2 opisywane za pomoc2 funkcji (rozkładów).
W zale1no.ci od rodzaju zmiennej s2 to:
1. funkcja prawdopodobie+stwa (zmienne losowe skokowe)
2. funkcja g-sto.ci (zmienne losowe ci2głe)
Funkcja prawdopodobie+stwa zmiennej losowej skokowej
U podstaw tej funkcji le1y uporz2dkowany zbiór par (
x
i p
i
)
gdzie:
x i - warto.ci jakie przyjmuje zmienna losowa X
p i - prawdopodobie+stwa z jakimi przyjmuje ona warto.ci x i
=
n
p
=
Funkcja:
P
(
X
=
x
i
)
=
p
i=1, 2, ... ,n
i
Dystrybuanta:
F
( )
x
=
Ã
p
i
x
x
DYSTRYBUANTA zmiennej losowej X
jest to funkcja zdefiniowana nast-puj2co
( ) (
i
i
187742861.001.png 187742861.002.png 187742861.003.png
Funkcja g-sto.ci zmiennej losowej ci2głej
Jest to funkcja f(x) okre.lona na zbiorze liczb rzeczywistych
i spełniaj2ca nast-puj2ce warunki:
Materiaþy do wykþadu 8 ze Statystyki
1.
f
( )
x
jest okre.lona nieujemnie
+
( ) =
Ð
2.
f
x
dx
pole powierzchni pomi-dzy wykresem a osi2 0x
-
jest równe jedno.ci
( )
x
( )
Dystrybuanta:
F
x
=
Ð
f
t
dt
-
Własno.ci dystrybuanty (cd.)
a.
P
(
X
a
) ( )
=
F
a
b.
P
(
X
a
)
=
-
F
( )
a
c.
P
(
a
X
b
) ( ) ( )
=
F
b
-
F
a
187742861.004.png 187742861.005.png 187742861.006.png 187742861.007.png 187742861.008.png 187742861.009.png
Charakterystyki liczbowe rozkładu (wybrane)
(parametry rozkładu)
Materiaþy do wykþadu 8 ze Statystyki
Warto.> oczekiwana E(X) (nadzieja matematyczna)
( )
E =
Warto.> m jest to taka warto.> zmiennej losowej X, wokół której skupiaj2 si-
wyniki wielokrotnych realizacji tej zmiennej. Innymi słowy, oczekuje si- (ma
si- nadziej-), 1e wielokrotne realizacje zmiennej losowej X b-d2 skupiały si-
wokół liczby m.
Warto.> oczekiwana nale1y do miar poło1enia. Mo1na j2 wyliczy> jako:
( )
X
m
E
X
=
à =
n
p
i x
i
i
- dla zmiennych losowych skokowych
( )
+
( )
E
X
=
Ð
xf
x
dx
- dla zmiennych losowych ci2głych
-
Wariancja V(X)
( ) s
XV
Wariancja nale1y do miar rozproszenia. Mo1na j2 wyliczy> jako:
( )
=
V
X
=
E
[
X
-
E
( )
X
] ( ) ( )
=
E
X
-
E
X
Odchylenie standardowe
s
( ) s
V
X
=
Mediana M e
Jest to taka warto.> zmiennej losowej X, dla której dystrybuanta wynosi 1/2:
( ) =
e
MF
Podobnie mo1na definiowa> wiele pozostałych charakterystyk (modalna,
kurtoza, współczynnik asymetrii, itp.).
187742861.010.png 187742861.011.png 187742861.012.png
STANDARYZACJA zmiennej losowej
Materiaþy do wykþadu 8 ze Statystyki
Dana jest zmienna losowa X o dowolnym rozkładzie z parametrami:
( )
E
X
=
m
warto.> oczekiwana
odchylenie standardowe
V
( ) s
X
=
Zabieg standaryzacji polega na utworzeniu nowej zmiennej losowej T
wg nast-puj2cego wzoru:
T
=
X
-
m
s
Nowa zmienna losowa T b-dzie miała ten sam typ rozkładu
co zmienna losowa X .
Parametry rozkładu nowej zmiennej T b-d2 zawsze nast-puj2ce:
warto.> oczekiwana
E
( ) =
T
odchylenie standardowe
V
( ) =
T
187742861.013.png 187742861.014.png 187742861.015.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin