Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 19
Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki i izolatory. W izolatorze nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewodnikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wytworzy się pole równoważące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż poniżej powierzchni przewodnika. Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej elektrony poruszałyby się czyli
Zatem
0 = Qwewn./e0
Stąd
Qwewn. = 0
Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.
Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą. W dowolnym punkcie sfery E çç S więc
Zgodnie z prawem Gaussa:
E(4pr2) = Q/e0
czyli
(19.1)
dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery).
Dla r < R, E = 0.
Przewodniki - równoważne sferze bo ładunek na powierzchni.
Izolator - równoważny szeregowi współśrodkowych sfer.
gdzie Qwewn. = Q(r3/R3) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o promieniu R, rysunek obok).
Czyli
(19.2)
Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany poniżej.
Przykład 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywną jednorodnie naładowaną kulę o promieniu R = 10-10 m, całkowitym ładunku Q = e = -1.6·10-19 C i masie me = 9.1·10-31 kg. Proton znajdujący się w środku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemieszczony o małą odległość x0 i puszczony swobodnie. Jaka będzie częstotliwość drgań jakie elektron i proton będą wykonywały wokół ich położeń równowagi?
Siła przywracająca proton do położenia równowagi F = eE czyli
lub
Powinniśmy się posługiwać raczej masą zredukowaną m =Mpme/(MP + me) ale me << Mp więc m » me.
Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego
= 2.5·1015 Hz
Ta częstotliwość jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierwszym stanie wzbudzonym czyli, że taki model jest uzasadniony.
Liczymy pole E w odległości r od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długości l >> r.
Wprowadzamy liniową gęstość ładunku l (ładunek na jednostkę długości).
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy wybierać dowolnie).
Z prawa Gaussa
E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni więc
2prLE = 4pkLl
(19.3)
Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R.
Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Qwewn. = rpr2L, gdzie r - gęstość objętościowa ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E(2prL) = 4pk(rpr2L)
E = 2krpr
ponieważ
l = rpR2
więc
(19.4)
Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.
Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy Qwewn. = sS, gdzie s jest gęstością powierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z prawa Gaussa
2ES = sS/e0
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.
Ostatecznie otrzymujemy
E = s/2e0 (19.5)
Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich równoległych płyt (kondensator płaski).
Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniżej) jest równeEminus = s/2e0 i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej Eplus = s/e0 i skierowane jest od płyty.
Zatem w obszarze I
EI = s/2e0 + (– s/2e0) = 0
w obszarze II
EII = –s/2e0 + (– s/2e0) = –s/e0
w obszarze III
EIII = (– s/2e0) + s/2e0 = 0
Jeżeli przedstawiona na rysunku naładowana powierzchnia stanowi część powierzchni przewodnika to ponieważ cały ładunek gromadzi się na zewnętrznej powierzchni to wewnątrz E = 0. Co więcej E musi być prostopadłe do powierzchni (równoległe do S) bo gdyby istniała składowa styczna to elektrony poruszałyby się. Z prawa Gaussa
...
pkoszla