Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Komputeryzacji

Wykład 33

33. Model atomu Bohra

33.1          Wstęp

Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, że atomy zawierają elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).

Ponieważ w normalnych warunkach atomy są elektrycznie obojętne, a zatem muszą one mieć ładunek dodatni równy ujemnemu.

Ponieważ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlżejszych nawet atomów oznaczało ponadto, że ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.

Tego typu rozważania prowadziły do pytania, jak wygląda rozkład ładunków dodatnich i ujemnych w atomie.

J. J. Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie naładowane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru wypełnionego w sposób ciągły ładunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”).

Ładunek dodatni tworzył kulę o promieniu rzędu 10‑10 m. W tej kuli ładunki ujemne byłyby rozłożone równomiernie (w wyniku sił odpychania).

W atomie znajdującym się w stanie o najniższej energii elektrony były nieruchome. Natomiast w atomach o wyższej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wysokiej temperaturze) elektrony wykonywałyby drgania wokół położeń równowagi.

Uwaga: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej każde naładowane ciało poruszające się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne. Dowód wykracza poza ramy tego wykładu ale przypomnijmy sobie jeszcze raz antenę dipolową. Zmienne pole elektryczne w antenie wywołuje drgania ładunku (prąd zmienny) i antena emituje falę elektromagnetyczną.

Tak więc drgający elektron wysyłałby promieniowanie i w ten sposób model Thomsona wyjaśniał zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.

Jednak zgodności ilościowej z doświadczeniem nie uzyskano.

Ostateczny dowód nieadekwatności modelu Thomsona otrzymał w 1911 r. jego uczeń E. Rutherford analizując wyniki rozpraszania cząstek a na atomach.

Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynikało, że ładunek dodatni nie jest rozłożony równomiernie wewnątrz atomu, ale skupiony w małym obszarze zwanym jądrem (o rozmiarze 10-14 m) leżącym w środku atomu.

Model jądrowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalazł potwierdzenie w szeregu doświadczeń.

Zgodnie z tym modelem:

·         W środku atomu znajduje się jądro o masie w przybliżeniu równej masie całego atomu,

·         Ładunek jądra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i ładunku e,

·         Wokół jądra znajduje się Z elektronów, tak że cały atom jest obojętny.

Ważnym problemem pozostaje wyjaśnienie zagadnienia stabilności takiego atomu. Elektrony nie mogą być nieruchome bo w wyniku przyciągania z dodatnim jądrem zostałyby do niego przyciągnięte i wtedy „wrócilibyśmy” do modelu Thomsona. Jeżeli dopuścimy ruch elektronów wokół jądra (tak jak planety wokół Słońca w układzie słonecznym) to też natrafiamy na trudność interpretacyjną. Krążący elektron doznaje stale przyspieszenia (dośrodkowego) i zgodnie z elektrodynamiką klasyczną wysyła energię kosztem swojej energii mechanicznej. Oznaczałoby to, że poruszałby się po spirali ostatecznie spadając na jądro (model Thomsona).

Problem stabilności atomów doprowadził do powstania nowego modelu zaproponowanego przez N. Bohra. Podstawową cechą tego modelu było to, że umożliwiał przewidywanie widm promieniowania wysyłanego przez atomy.

Najpierw omówimy więc podstawowe cechy tych widm.

33.2          Widma atomowe

Na rysunku przedstawiony jest typowy układ do pomiaru widm atomowych.

Źródłem promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do świecenia metodą wyładowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą a następnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozkłada promieniowanie na składowe o różnych długościach fal.

Na kliszy fotograficznej uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm. W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego np. przez powierzchnie ciał ogrzanych do wysokich temperatur, promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy zawiera tylko pewną liczbę długości fal. Każda z takich składowych długości fal nazywana jest linią (bo taki jest obraz szczeliny).

Na rysunku na następnej stronie pokazana jest widzialna część widma atomu wodoru.

To właśnie badanie widma wodoru doprowadziło Bohra do sformułowania nowego modelu atomu. Model ten chociaż posiada pewne braki to ilustruje idę kwantowania w sposób prosty matematycznie.

33.3         

Model Bohra atomu wodoru

Jak już mówiliśmy fizyka klasyczna przewidywała, że atom krążący po orbicie będzie wypromieniowywał energię, tak że częstość elektronu a za tym także częstość wysyłanego promieniowania będzie się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwujemy bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).

Bohr uniknął tej trudności zakładając, że podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo atom wodoru może znajdować się w ściśle określonych stanach energetycznych, w których nie wypromieniowuje energii. Emisja następuje tylko wtedy gdy atom przechodzi z jednego stanu o energii Ek do stanu o niższej energii Ej. Ujmując to w postaci równania

              Ek – Ej = hv               (33.1)

gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przejścia wypromieniowany przez atom.

Teraz konieczna jest znajomość energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczając możliwe różnice energii będziemy mogli przewidzieć wygląd widma promieniowania emitowanego przez atom.

Założenia:

·         elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu r ze środkiem w miejscu jądra,

·         jądro (pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem protonu.

Korzystając z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy

F = ma

albo

                            (33.2)

Uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujemnym elektronem zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. Czy słusznie?

Przykład 1

Obliczyć stosunek sił przyciągania grawitacyjnego do elektrostatycznego dla protonu i elektronu w atomie wodoru. Masa elektronu me = 9.1·10-31 kg, masa protonu mp = 1.7·10-27 kg, ładunek elementarny e = 1.6·10-19 C stała grawitacyjna G = 6.67·10-11 Nm2/kg2, a stała w prawie Coulomba 1/4pe0 = 8.99·109 Nm2/C2.

Siła grawitacyjna jest całkowicie do zaniedbania.

Wzór (33.2) pozwala obliczyć energię kinetyczną

                            (33.3)

Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem

                            (33.4)

Całkowita energia układu wynosi

                            (33.5)

Ponieważ, promień orbity może przyjmować dowolną wartość więc i energia też może być dowolna. Ze wzoru (33.3) możemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu

a następnie częstotliwość

Pęd dany jest równaniem

a moment pędu

                            (33.6)

Tak więc, jeżeli jest dane r, to znane są również parametry orbitalne: Ek, Ep, E, v, v0, p, oraz L.

Jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Na tym etapie Bohr nie miał żadnych zasad, którymi mógłby się posłużyć.

W związku z tym wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parametrów orbity i zastosował ją do momentu pędu L.

Postulaty Bohra były następujące:

1. Elektron w atomie porusza się po orbicie kołowej pod wpływem przyciągania kulombowskiego pomiędzy elektronem i jądrem i ruch ten podlega prawom mechaniki klasycznej.
2. Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki klasycznej, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których momemt pędu L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez 2p.

                            (33.7)

gdzie stała n oznacza liczbę kwantową. (Zwróćmy uwagę, że ponownie tak jak przy opisie ciała doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, pojawia się stała Plancka h.)

3. Pomimo, że elektron doznaje przyspieszenia (poruszając się po takiej orbicie), to jednak nie wypromieniowuje energii. A zatem jego całkowita energia pozostaje stała.
4. Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wysłane gdy elektron poruszający się po orbicie o całkowitej energii Ej zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza się następnie po orbicie o energii Ek. Częstotliwość emitowanego promieniowania jest równa

                            (33.8)

Uwaga: To jest postulat Einsteina głoszący, że częstotliwość fotonu promieniowania elektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.

Drugi postulat opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale jak już mówiliśmy jeżeli jakakolwiek z wielkości: Ek, Ep, E, v, v0, p, i L jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Łącząc równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy

                            (33.9)

Widzimy jak skwantowane jest r. Podstawienie tego równanie do wyrażenia na energię całkowitą (33.5) daje

                            (33.10)

Z tego równania otrzymujemy wartości energii dozwolonych stanów stacjonarych.

Stan n = ¥ odpowiada stanowi E = 0, w którym elektron jest całkowicie usunięty poza atom.

Na rysunku poniżej są pokazane wybrane przeskoki między różnymi stanami stacjonarnymi. Długość każdej ze strzałek jest równa różnicy energii między dwoma stanami stacjonarnymi czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Częstotliwość emitowanego promieniowania można obliczyć korzystając z postulatu Bohra dotyczącego częstotliwości promieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energię (33.7)

                            (33.11)

...