m4092458.pdf

(387 KB) Pobierz

C:\Documents and Settings\Ewatom\Ustawienia lokalne\Temporary Internet Files\Content.IE5\GVG3S9SP\oacrp070420a[1].pdf

4 Kujon Polski – matura 2007 matematyka

Pi tek 20 kwietnia 2007 1 Gazeta Wyborcza 1 www.gazetawyborcza.pl

Te wzory trzeba zna !

Poni ej przedstawiamy wzory, które zdecydowanie usprawniaj obliczenia, a których nie znajdziesz

w zestawie wzorów CKE. Warto je zna i o nich pami ta

Zaznaczanie na osi liczbowej rozwi za

równa i nierówno ci z warto ci bezwzgl d-

n (typy równa i nierówno ci jak w wyma-

ganiach maturalnych dla zakresu podstawo-

wego)

Rozwi zanie równania

to zbiór wszystkich liczb, których odległo na

osi liczbowej od punktu o współrz dnej ajest

równa b.

„Połowa” trójk ta równobocznego

K ty w graniastosłupach i ostrosłupach

x a b

, & dla

,

b 0

0

rodek okr gu

opisanego na trójk cie

rozwartok tnym

nie nale y do trójk ta

Promie R okr gu

opisanego na trójk cie,

gdzie S to pole trójk ta.

$ – k t, który tworzy prze-

k tna graniastosłupa pro-

stego z płaszczyzn jego

podstawy

R

&

a b c

+ +

,

4

S

a - b

a

a + b

Rozwi zanie nierówno ci

to zbiór wszystkich liczb, których odległo na

osi liczbowej od punktu o współrz dnej a jest

mniejsza od b.

x a b

, 2 dla

,

b /

0

rodek okr gu wpisanego w trójk t to punkt

wspólny dwusiecznych k tów wewn trznych

trójk ta.

$ – k t, który tworzy prze-

k tna graniastosłupa pra-

widłowego czworok tne-

go z płaszczyzn jego cia-

ny bocznej

% – k t, który tworzy prze-

k tna ciany bocznej grania-

stosłupa prostego z płasz-

czyzn jego podstawy

$ – k t, który tworzy prze-

k tna ciany bocznej gra-

niastosłupa prawidłowe-

go trójk tnego z s siedni

cian boczn

Trapez

a - b

a

a + b

Rozwi zanie nierówno ci

to zbiór wszystkich liczb, których odległo na

osi liczbowej od punktu o współrz dnej a jest

niewi ksza od b.

x a b

, 1 dla

,

b 0

0

a - b

a

a + b

Gdy F i E s rodkami ramion trapezu to

Rozwi zanie nierówno ci

to zbiór wszystkich liczb, których odległo na

osi liczbowej od punktu o współrz dnej ajest

wi ksza od b.

x a b

, / dla

,

b /

0

m

&

a b

'

2

P P

P P P P

P P P P P

&

+ & +

& ' ' + +

3

4

a - b

a

a + b

Promie r okr gu wpisanego w trójk t,

gdzie S to pole trójk ta, p to połowa obwo-

du trójk ta.

W trójk cie prostok tnym o przyprostok t-

nych długo ci ai b oraz przeciwprostok tnej

długo ci c,

1 2

3

4

Rozwi zanie nierówno ci

to zbiór wszystkich liczb, których odległo na

osi liczbowej od punktu o współrz dnej ajest

niemniejsza od b.

x a b

, 0 dla

,

b 0

0

r

&

S

,

2

1

2

1 2

p

Czworok t

W dowolnym czworok cie wypukłym

O– spodek wysoko-

ci ostrosłupa pra-

widłowego trójk t-

nego to rodek okr -

gu opisanego na

podstawie i rodek

okr gu wpisanego

w podstaw

$ – k t, który tworzy

kraw d boczna

ostrosłupa prawidło-

wego trójk tnego z płaszczyzn jego podstawy

% – k t, który tworzy kraw d boczna ostrosłu-

pa prawidłowego trójk tnego z kraw dzi jego

podstawy

a - b

a

a + b

a b c

' ,

r

&

Pami taj!

Je eli

2

( )

n

S

jest ci giem sum cz ciowych

rodkowa trójk ta to odcinek ł cz cy wierz-

chołek ze rodkiem przeciwległego boku

ci gu

( )

a

, czyli

S a a a

n

& ' ' '

1

2 ...

n

to:

a S

a S S

1

&

& ,

1

,

P P P P

+ & +

,

1 2

3

4

2

2

1

i ogólnie

a S S n

,

n n n

& ,

1

dla 2

0

Pole czworok ta o prostopadłych przek t-

nych

Trójk t

C

rodkowe trójk ta przecinaj si w jednym

punkcie, który dzieli ka d z nich w stosunku

2: 1 licz c od wierzchołka.

.

O– spodek wysoko-

ci ostrosłupa prawi-

dłowego czworok t-

nego to punkt wspól-

ny przek tnych pod-

stawy

$ – k t, który tworzy

w ysoko ciany

bocznej ostrosłupa

prawidłowego czwo-

rok tnego z płaszczyzn jego podstawy (k t

nachylenia ciany bocznej do płaszczyzny pod-

stawy)

Je eli w ostrosłupie wszystkie kraw dzie

boczne s równej długo ci (s nachylone pod

tym samym k tem do płaszczyzny podstawy)

to na podstawie mo na opisa okr g i spodek

wysoko ci to rodek okr gu opisanego na pod-

stawie.

1

P d d

& + +

1

2

a

AM

BM

CM

2

b

&

&

&

MD

ME

MF

1

Pole czworok ta o danych przek tnych i k -

cie mi dzy nimi

P

!

AMF

&

P

!

FMB

&

P

!

BMD

&

P

!

DMC

&

P

!

CME

&

$

%

-

1

A

c

B

&

P

! &

EMA P

6

!

ABC

Nierówno trójk ta: Suma długo ci ka -

dych dwóch boków trójk ta jest zawsze wi -

ksza od długo ci trzeciego boku.

Odcinek ł cz cy rodki boków trójk ta

1

sin

P d d $

& + + +

a b c

' /

,

1

2

b c a

' /

,

c a b

' /

.

Pole czworok ta opisanego na okr gu o pro-

mieniu r.

Suma miar k tów wewn trznych trójk ta

jest równa 180 o

1

$ % .

' ' &

o

180 .

P r a b c d r p

& + + ' ' ' & +

!""#" $

( )

obwód czworok ¹ ta

,

1

2

Miara k ta zewn trznego trójk ta jest rów-

na sumie miar k tów wewn trznych, do niego

nieprzyległych.

!EDC "#!ABC,

k & ,

||

ED AB

gdzie p połowa obwodu

i

ED

&

1

AB

,

P

! &

EDC P

1

Wariancja

Dla indywidualnych danych

2

4

!

ABC

- $ .

& '

.

1 , ,..., k

x x x

2

' ' '

2 ... k

2

2

( )

rodek okr gu opisanego ma trójk cie to

punkt wspólny symetralnych boków trójk -

ta.

Trójk t równoboczny

*

2

&

1

,

x

2

k

Dla danych przedstawionych w tabeli liczeb-

no ci

Wzór jest prawdziwy dla dowolnego

wielok ta opisanego na okr gu o promieniu r.

Odległo d punktu

P r p

& +

Wartoœæ

x x …

x

Liczebnoœæ n n …

n

rodek okr gu

opisanego na trójk cie

ostrok tnym nale y

do trójk ta

P x y

&

( )

0 0

,

od prostej

n x n x n x

+ ' + ' ' +

2

2 ... k k

2

2

( )

2

,

gdzie to rednia arytmetyczna danych

i

2

*

&

1

1

2

,

x

o równaniu

y ax b

& '

n

d

&

ax y b

0

, '

0

x

n n n n

& ' ' '

2 ... k

to liczba wszystkich danych

a

2

'

1

1

|

CD h

|

& &

a

3

,

r h

& &

1

a

3

,

Odległo d dwóch prostych równoległych

o równaniach

rodek okr gu

opisanego na trójk cie

prostok tnym to rodek

przeciwprostok tnej

y ax b y ax b

& ' & '

,

2

3

6

1

2

A RKUSZE I ZESTAW WZORÓW PRZYGOTOWALI :

A NNA Z ALEWSKA

I E DWARD S TACHOWSKI

2

a

3

a h

2

3

2

3

b b

,

1

d

&

R h

& &

,

S

&

&

.

3

3

4

3

a

2

'

1

GWE 1

x x x

2

236927347.067.png

236927347.078.png

236927347.089.png

236927347.100.png

236927347.001.png

236927347.012.png

236927347.019.png

236927347.020.png

236927347.021.png

236927347.022.png

236927347.023.png

236927347.024.png

236927347.025.png

236927347.026.png

236927347.027.png

236927347.028.png

236927347.029.png

236927347.030.png

236927347.031.png

236927347.032.png

236927347.033.png

236927347.034.png

236927347.035.png

236927347.036.png

236927347.037.png

236927347.038.png

236927347.039.png

236927347.040.png

236927347.041.png

236927347.042.png

236927347.043.png

236927347.044.png

236927347.045.png

236927347.046.png

236927347.047.png

236927347.048.png

236927347.049.png

236927347.050.png

236927347.051.png

236927347.052.png

236927347.053.png

236927347.054.png

236927347.055.png

236927347.056.png

236927347.057.png

236927347.058.png

236927347.059.png

236927347.060.png

236927347.061.png

236927347.062.png

236927347.063.png

236927347.064.png

236927347.065.png

236927347.066.png

236927347.068.png

236927347.069.png

236927347.070.png

236927347.071.png

236927347.072.png

236927347.073.png

236927347.074.png

236927347.075.png

236927347.076.png

236927347.077.png

236927347.079.png

236927347.080.png

236927347.081.png

236927347.082.png

236927347.083.png

236927347.084.png

236927347.085.png

236927347.086.png

236927347.087.png

236927347.088.png

236927347.090.png

236927347.091.png

236927347.092.png

236927347.093.png

236927347.094.png

236927347.095.png

236927347.096.png

236927347.097.png

236927347.098.png

236927347.099.png

236927347.101.png

236927347.102.png

236927347.103.png

236927347.104.png

236927347.105.png

236927347.106.png

236927347.107.png

236927347.108.png

236927347.109.png

236927347.110.png

236927347.002.png

236927347.003.png

236927347.004.png

236927347.005.png

236927347.006.png

236927347.007.png

236927347.008.png

236927347.009.png

236927347.010.png

236927347.011.png

236927347.013.png

236927347.014.png

236927347.015.png

236927347.016.png

236927347.017.png

236927347.018.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

m4092458.pdf (387 KB)
Wniosek o uchylenie kary porządkowej.doc (25 KB)
Przed wstępna umowa współpracy.doc (25 KB)

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin