rep_geom.pdf

WydziałMatematykiUniwersytetuŁódzkiego

Repetytoriumzgeometrii

dlastudentówIrokumatematykiiinformatyki

MaciejCzarnecki

maczar@math.uni.lodz.pl

Spistre±ci

0Wst¦p 3

1Płaszczyzna 4

1.1Punktyiproste.......................... 4

1.2Wektory.............................. 6

1.3Figurypłaskie........................... 7

2Przekształcenia 9

2.1Izometrie............................. 9

2.2Podobie«stwa...........................12

2.3Rzuty...............................13

3Przestrze«trójwymiarowa 14

3.1Punkty,prosteipłaszczyzny...................14

3.2Figuryprzestrzenne.......................15

3.3Przekształceniaprzestrzeni ...................16

4Własno±cimiaroweﬁgur 18

4.1Wzajemnepoło»enieprostychiokr¦gów............18

4.2Długo±¢krzywejipoleﬁgury..................19

4.3Trójk¡ty..............................20

4.4Czworok¡ty............................23

4.5Wielok¡tyforemne........................24

4.6Koło................................24

4.7Wielo±ciany............................25

4.8Bryłyobrotowe..........................26

5Geometriaanalityczna 28

5.1Punktyiwektorywukładziewspółrz¦dnych..........28

5.2Przekształceniawukładziewspółrz¦dnych...........29

5.3Prosta...............................30

5.4Trójk¡t ..............................31

5.5Okr¡g...............................32

5.6Krzywesto»kowe.........................32

Rozdział0

Wst¦p

Niniejszytekstjestprób¡zgromadzeniafaktówgeometrycznych,którepowinien

zna¢studentpierwszegorokumatematykiikierunkówpokrewnych.Zewzgl¦du

nacz¦stezmianyprogramównauczaniawspólnadlawszystkichabsolwentówszkół

ponadgimnazjalnychpodstawawiedzygeometrycznejjestuboga.Zdrugiejstrony

±wie»oupieczenistudenciznaj¡wielefaktówpobie»nielubnawetintuicyjnie.

Celemrepetytoriumjestuporz¡dkowaniepewnychdeﬁnicjiiprecyzyjnesformu-

łowanieznanychtwierdze«.Poci¡gatozasob¡konieczno±¢zawarciawielukompro-

misów:wybórtylkojednejzwielumo»liwychdeﬁnicji,wbardziejskomplikowanych

przypadkachograniczeniejejprecyzjilubzakresu,wybórtwierdze«podstawowych

kosztemwieluu»ytecznychwniosków,odwołaniadomateriałuwyst¦puj¡cegowdal-

szymci¡guitd.Sucheprzytoczeniefaktówmazapewni¢łatwydost¦pdoinformacji,

aszerokieiprecyzyjnepoznanietematykijestmo»liwewtokustudiów.

Układmateriałuodsyntetycznejgeometriipłaskiejiprzestrzennejpoprzez

przekształceniadoopisuanalitycznegosłu»yzjednejstronyjaknajbardziejefek-

tywnemuopisowiazdrugiejprzygotowujedoprzedmiotualgebraliniowazgeo-

metri¡,któryzkoleijestpierwszymetapemedukacjigeometrycznejnastudiach.

Pewnewykroczeniapozaobowi¡zuj¡cyprogramszkolnymaj¡naceluprzybli»enie

obiektów,zktórymistudencimaj¡cz¦stodoczynienia.

Tekstniejestjeszczepełny,oczywistymbrakiemjestnieobecno±¢rysunków

iindeksupoj¦¢.Dyskusyjnejest,czywtakimopracowaniupowinnyznale¹¢si¦

przykłady—znacz¡cozwi¦kszyłybyjegoobj¦to±¢.Brakjakiego±faktuczypoj¦cia

mo»eby¢spowodowanyjegomał¡stosowalno±ci¡wmatematycewy»szej,aletak»e

zwykłymniedopatrzeniem.UwagiCzytelnikówodostrze»onychbł¦dachipomini¦-

ciachpozwol¡naudoskonaleniekolejnychwersjirepetytorium.Prosz¦kierowa¢je

namójadreselektroniczny maczar@math.uni.lodz.pl .

Dzi¦kuj¦panidrMoniceFabija«czykzawiele»yczliwychuwag,którepomogły

miulepszy¢pierwotn¡wersj¦tekstu.

Rozdział1

Płaszczyzna

Zgodnieztradycj¦punktyb¦dziemyoznacza¢du»ymiliteramialfabetu,a

ichzbiory— ﬁgury —małymiliterami.

1.1Punktyiproste

Poj¦cia: przestrze« (trójwymiarowa), płaszczyzna , prosta i punkt traktuje-

myjakopierwotne,toznaczyniedeﬁniujemyich.Relacjepomi¦dzytymi

pojeciamiopisuj¡ aksjomaty .Opistakiporazpierwszypojawiłsi¦wdziele

Euklidesapt. Elementy wroku300p.n.e.Obecniestosowanyukładaksjoma-

tówdlageometrii(nawetpłaskiej)jestdo±¢skomplikowanyinieb¦dziemy

gowcało±ciprzytacza¢.

1.1.1 Doka»dejprostejnale»yniesko«czeniewielepunktów.

Punktynale»¡cedojednejprostejnazywamy punktamiwspółliniowymi .

1.1.2 Dladanegopunktuistniejeniesko«czeniewieleprostychzawieraj¡-

cych(przechodz¡cychprzez)tenpunkt.

Zbiórwszystkichprostychprzechodz¡cychprzezpunkt A oznaczamyprzez

( A )inazywamy p¦kiemprostych owierzchołku A .

1.1.3 Dladanychdwóchró»nychpunktówistniejedokładniejednaprosta

przechodz¡caprzeztepunkty.

Dladanychpunktów A i B t¦jedynaprost¡oznaczamyprzez AB .

1.1.4 Istniej¡punkty,którenies¡współliniowe.

1.1.5 Dwieró»neprostemaj¡conajwy»ejjedenpunktwspólny.

1.1.PUNKTYIPROSTE 5

Je»eliró»neproste l i m maj¡punktwspólny A ,tomówimy,»eprzecinaj¡

si¦wpunkcie A .Je»eliprostetes¡rozł¡czne,tomówimy,»es¡ równoległe

ipiszemy l k m .Przyjmujemyponadto,»edwieprostepokrywaj¡cesi¦s¡

dosiebierównoległe.

1.1.6 Dladowolnejdanejprostejidanegopunktuistniejedokładniejedna

prostarównoległadodanejiprzechodz¡caprzezdanypunkt.

Powy»szyfaktnosimiano VpostulatuEuklidesa .

1.1.7 Okre±limyodległo±¢napłaszczy¹niejakofunkcj¦,któradowolnym

dwómpunktomAiBprzypisujeliczb¦nieujemn¡ | AB | wtakisposób,»e

warunki

1. | AB | =0 wtedyitylkowtedy,gdyA = B,

2. | AB | = | BA | ,

3. | AB |¬| AC | + | CB | (nierówno±¢trójk¡ta)

s¡spełnionedladowolnychpunktówA,B,C.

Zwi¡zekpomi¦dzyodległo±ci¡punktówaichwspółliniowo±ci¡jestna-

st¦puj¡cy:

1.1.8 PunktyA,B,Cs¡współliniowewtedyitylkowtedy,gdyzachodzi

conajmniejjedenzwarunków:

1. | AB | = | AC | + | CB |

2. | AB | = | AC |−| CB |

3. | AB | = | CB |−| AC |

Zbiórwszystkichpunktów C spełniaj¡cych waru nek1.nazy wam y od-

cinkiem oko«cach A i B ,aoznaczamygoprzez AB . Punkt M 2 AB taki,

»e | AM | = | BM | naz ywamy ±rodkiemodcinkaAB ,aodległo±¢ | AB | —

długo±ci¡odcinkaAB .

Dlaró»nychpunktów A , B zbiórwszystkichpunktów C spełniaj¡cych

warunek1.lub2.nazywamy półprost¡ opocz¡tku A orazzwrocieod A do

B ioznaczamyprzez AB~ .

Zauwa»myponadto,»edlaró»nychpunktów A , B zbiórwszystkichpunk-

tów C spełniaj¡cychwarunek1.lub2.lub3.jestprost¡ AB .

1.1.9 Dlaka»dejpółprostejAB~ika»dejliczbya 0 istniejedokładnie

jedenpunktC 2 AB~taki,»e | AC | = a.

1.1.10 Je »elipunkt y A, B,Cs¡niewspółlinioweiprostalprzecinajeden

zodcinkówAB,BC,CA,toprzecinatak»ejeszczejedenztychodcinków.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: