WykĹ‚ad matma.pdf

Wykładyzmatematyki

WydziałZarz¡dzania

drKatarzynaFlak

flakk@math.uni.lodz.pl

Spistre±ci

1Poj¦ciawst¦pne 4

1.1Logikamatematyczna.............................. 4

1.2Rachunekzbiorów................................ 6

1.3Zbioryliczbowe................................. 9

1.4Ograniczono±¢zbiorów.............................11

1.5Kresyzbiorów..................................11

2Funkcje 13

2.1Deﬁnicjeiwłasno±ci ..............................13

2.2Funkcjeelementarne..............................15

2.2.1Funkcjaliniowa.............................15

2.2.2Funkcjakwadratowa..........................15

2.2.3Funkcjawielomianowa.........................16

2.2.4Funkcjawymierna...........................17

2.2.5Funkcjetrygonometryczne.......................17

2.2.6Własno±cifunkcjitrygonometrycznych................17

2.3Własno±cidziała«napot¦gach.........................18

2.4Funkcjawykładnicza..............................18

2.5Logarytmyiwłasno±cidziała«nalogarytmach................19

2.6Funkcjalogarytmiczna.............................19

Spistre±ci

3Ci¡gi

3.1Graniceci¡gów.................................21

3.1.1Graniceniewła±ciwe..........................21

3.2Twierdzeniaoci¡gachzbie»nychirozbie»nych.................21

3.3Symbolenieoznaczone.............................23

4Granicafunkcji 24

4.0.1Graniceniewła±ciwe..........................24

4.0.2Granicejednostronne..........................25

4.0.3Granicefunkcjiwniesko«czono±ci...................26

5Ci¡gło±¢funkcji 27

5.0.4Punktynieci¡gło±ci...........................27

5.0.5Własno±cifunkcjici¡głych.......................27

6Pochodnafunkcji 29

6.1Pochodnejednostronne. ............................29

6.2Wzorynapochodne...............................31

6.3Wykorzystaniepochodnych...........................32

6.4Ekstremumfunkcji...............................33

6.5WzoryTayloraiMaclaurina..........................34

6.6Wkl¦sło±¢iwypukło±¢funkcji.Punktprzegi¦cia...............35

6.7Asymptoty....................................36

6.8Badanieprzebieguzmienno±cifunkcji.....................37

7Interpretacjaekonomicznapochodnej 44

7.1Matematycznymodelzagadnieniaekonomicznego..............45

7.2Funkcjalogistyczna...............................50

7.3Funkcjestosowanewbadaniachekonomicznych...............51

7.3.1KrzyweTörnquista...........................51

7.3.2FunkcjaGompertza...........................52

7.4Charakterystykizmienno±cifunkcji......................52

8Rachunekcałkowy 55

8.1Całkanieoznaczona...............................55

8.2Wzorypodstawowerachunkucałkowego....................56

Spistre±ci

8.3Całkowanieprzezpodstawienie........................57

8.4Całkowanieprzezcz¦±ci ............................57

9Całkaoznaczona 59

9.1Deﬁnicjacałkioznaczonej ...........................59

9.2Funkcjecałkowalne...............................60

9.3Całkajakofunkcjagórnejgranicycałkowania.................62

9.4Zastosowaniegeometrycznecałkioznaczonej.................63

10Całkiniewła±ciwe 64

10.1Całkiniewła±ciwezfunkcjinieograniczonych. ................65

10.2FunkcjaGamma.................................65

10.3FunkcjaBeta..................................66

10.4Deﬁnicjacałkioznaczonej ...........................67

10.5Funkcjecałkowalne...............................68

10.6Całkajakofunkcjagórnejgranicycałkowania.................69

10.7Zastosowaniegeometrycznecałkioznaczonej.................70

11Macierze 72

12Układyrówna«liniowych. 82

12.1UkładCramera.................................83

13Rz¡dmacierzy. 89

14Układyrówna«liniowych-rozwi¡zania. 93

1Poj¦ciawst¦pne

1.1Logikamatematyczna

Deﬁnicja1.Zdaniemwsensielogikinazywamyzdanie,októrymmo»emypowiedzie¢,»e

jestprawdziwelubfałszywe.

Jeslizdaniejestprawdziweprzyporz¡dkowujemymuwarto±¢logiczn¡1,je±lijestfał-

szywe-warto±¢logiczn¡0.Zdaniaprosteoznaczamymałymiliteramialfabetu:p,q,r,s.

Zdaniaprostepoł¡czonespójnikaminazywamyzdaniamizło»onymi.Poni»ejprzed-

stawiamynajcz¦±cieju»ywanezdaniazło»one.

alternatywakoniunkcjaimplikacjarównowa»no±¢zaprzeczenie

pq p_q p^q p)q p,q p

00 0 0 1 1 1

10 1 0 0 0 0

01 1 0 1 0 1

11 1 1 1 1 0

Deﬁnicja2.Je±lizachodziimplikacjap)q,tomówimycz¦sto,»epjestwarunkiem

wystarczaj¡cym(dostatecznym)dlaq,za±qwarunkiemwarunkiemkoniecznymdlap.

Przykład1.Rozwa»myzdanie

Je±liliczbajestpodzielnaprzez6,tojestpodzielnaprzez2

Wówczaspodzielno±¢przez2jestwarunkiemkoniecznymdlapodzielno±ciprzez6oraz

podzielno±¢przez6jestwarunkiemdostatecznymdlapodzielno±ciprzez2.

Deﬁnicja3.Prawemrachunkuzda«(tautologi¡)nazywamytakiewyra»eniezło»oneze

zda«pojedynczychispójnków,którejestzdaniemprawdziwymniezale»nieodwarto±ci

logiczncychposzczególnychzda«pojedynczychwchodz¡cychwjegoskład

Podstawoweprawarachunkuzda«:

1.p_q,q_p–prawoprzemienno±cialternatywy,

2.p^q,q^p–prawoprzemienno±cikoniunkcji,

3.p_(q_r),(p_q)_r–prawoł¡czno±cialternatywy

1Poj¦ciawst¦pne

4.p^(q^r),(p^q)^r–prawoł¡czno±cikoniukcji

5.p^(q_r),(p^q)_(p^r)–praworozdzielno±cikoniunkcjiwzgl¦demalternatywy

6.p_(q^r),(p_q)^(p_r)–praworozdzielno±cialternatywywzgl¦demkoniunkcji

7.(p_q),(p)^(q)–prawodeMorgana

8.(p^q),(p)_(q)–prawodeMorgana

9.(p),p–prawopodwójnegoprzeczenia

10.(p,q),(p)q)^(q)p)

11.(p)q),(p)_q

12.(p)q),(p^q)

13.(p)q),(q))(r)

Deﬁnicja4.Form¡zdaniow¡nazywamywypowied¹,którazawierazmienn¡tak,»epo

podstawieniupodzmienn¡konkretnejwarto±ciotrzymujemyzdanie.

Przykład2.Rozwa»myform¦'okre±lon¡nast¦puj¡co

'(x):x>1

Podstawiaj¡cx=2otrzymujemyzdanieprawdziwe2>1.

Podstawiaj¡cx=−2otrzymujemyzdaniefałszywe−2>1.

Form¦zdaniow¡mo»emypoprzedzi¢kwantyﬁkatorem.Wyró»niamydwakwantyﬁka-

tory:ogólny(du»y)oznaczanysymbolem8(albo V )orazszczegółowy(egzystencjalny)

oznaczanysymbolem9(albo W ).Wówczaszapis

8 x '(x)

czytamy:dlaka»degoxzachodzi'(x).Natomiast

9 x '(x)

czytamy:istniejex,»e'(x).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: