Rozdział 7. Wielomiany              55

7.  Wielomiany

Niech n będzie dodatnią liczbą naturalną oraz liczbą rzeczywistą różną od zera. Jednomianem stopnia n zmiennej x nazywamy funkcję określoną wzorem

, gdzie

Przyjmujemy dodatkowo, że funkcja stała , gdzie , jest jednomianem zmiennej x stopnia 0, zaś funkcja tożsamościowo równą 0 − jednomianem zerowym. Jednomian zerowy nie ma określonego stopnia.

Uwaga. Potrzeba osobnego definiowania jednomianu stopnia 0 wynika z faktu, że symbol jest symbolem nieoznaczonym, w konsekwencji czego funkcja nie jest określona w zerze.

Iloczynem dwóch niezerowych jednomianów stopnia n i stopnia m jest jednomian stopnia Iloczyn dowolnego jednomianu i jednomianu zerowego jest jednomianem zerowym. Suma dwóch jednomianów niezerowych na ogół nie jest jednomianem. W przypadku, gdy są to jednomiany tego samego stopnia, to suma jest jednomianem. W ogólnym przypadku sumę jednomianów tej samej zmiennej nazywamy wielomianem tej zmiennej.

Wielomianem stopnia n, gdzie zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W określoną wzorem

gdzie Liczby nazywamy współczynnikami defi­niowanego wielomianu W. Ponieważ każdy jednomian jest wielomianem, to jednomian stopnia 0 nazywa się także wielomianem stopnia 0, a jednomian zerowy – wielomianem zerowym. Stopień wielomianu W oznaczać będziemy symbolem

Przykład. Funkcja jest wielomianem stopnia 5. Jest ona sumą trzech jednomianów: jednomianu piątego stopnia jednomianu drugiego stopnia oraz jednomianu  7 stopnia 0.

Wykresami wielomianów są linie ciągłe, których otrzymanie wymaga pewnych wiadomości. W tym momencie ograniczymy się do podania dwóch przykładów bez wnikania, jak zaprezentowane wykresy powstały.

Przykład. Oto wykresy konkretnych wielomianów

i

Nasuwa się pytanie, czy współczynniki wielomianu wyznaczają ten wielomian jednoznacznie. Odpowiedź na to pytanie daje następujące twierdzenie:

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Można udowodnić mocniejszy fakt:

Dwa wielomiany stopnia n, które przyjmują te same wartości w różnych punktach, są równe.

W zbiorze wszystkich wielomianów możemy wykonywać działania dodawania, odejmowania i mnożenia wielomianów.

Aby dodać (odjąć) wielomiany P i Q należy dodać (odjąć) ich wyrazy podobne, a następnie uporządkować otrzymany wielomian.

Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy składnik jednego wielomianu przez każdy składnik drugiego wielomianu, a następnie wykonać redukcję wyrazów podobnych   i uporządkować otrzymany wielomian.

Uwaga. Stopień sumy wielomianów nie przekracza stopni poszczególnych składników, natomiast stopień iloczynu wielomianów równa się sumie stopni jego czynników. Iloraz dwóch wielomianów na ogół nie jest wielomianem, jest to tzw. funkcja wymierna.

Mówimy, że wielomian W jest podzielny przez wielomian P, różny od wielomianu zerowego, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki wielomian Q, że . Wielomian P nazywamy dzielnikiem wielomianu W, a wielomian Q – ilorazem wielomianów W oraz P.

Dla dowolnych dwóch wielomianów W i P zdefiniowana powyżej podzielność na ogół nie zachodzi. Zagadnienie to jest analogiczne do kwestii podzielności liczb całkowitych, o czym świadczy następujące twierdzenie o rozkładzie wielomianów:

Dla każdej pary wielomianów W i P, gdzie nie jest wielomianem zerowym, istnieje dokładnie jedna para wielomianów Q i R taka, że , przy czym lub

W tym twierdzeniu wielomian W  jest analogonem dzielnej, P – dzielnika, Q – ilorazu, R – reszty z dzielenia całkowitego liczb.

Uwaga.  Dla liczb całkowitych mamy:  co zapisujemy Zatem

Przez analogię, jeżeli gdzie W, P, Q, R są wielomianami i 0, to

Istnieje algorytm pozwalający na efektywne dzielenie wielomianów przez siebie. Zgodnie z nim należy wykonać następujące czynności:

1. Porządkujemy dzielną i dzielnik malejąco.

2. Pierwszy wyraz dzielnej W dzielimy przez pierwszy wyraz dzielnika P. Otrzymany jednomian jest pierwszym składnikiem ilorazu Q.

3. Jednomian mnożymy przez każdy wyraz dzielnika.

4. Otrzymany iloczyn ze zmienionymi współczynnikami na przeciwne zapisujemy pod dzielną i dodajemy go do niej. Otrzymany wielomian nazywamy pierwszą resztą z dzielenia.

5. Wielomian przejmuje rolę dzielnej i dalej postępujemy zgodnie z opisanym w punktach 2 − 4 schematem. Otrzymany jednomian jest drugim składnikiem wielomianu Q.

6. Kończymy dzielenie, gdy otrzymana reszta ma stopień niższy od stopnia dzielnika P lub jest wielomianem zerowym.

Przykład. Wykonamy dzielenie wielomianu W przez wielomian P dla przykładowych W i P.

a)                                             .

Rozwiązanie. Budujemy jednomian Powstaje on z podzielenia pier­wszego składnika dzielnej przez pierwszy składnik dzielnika. Następnie mnożymy otrzymany wynik przez dzielnik i otrzymany iloczyn odejmujemy od wielomianu W; otrzymujemy pierwszą resztę :

Rozumowanie to powtarzamy dla wielomianu Dzieląc pierwszy składnik wielomianu przez pierwszy składnik P otrzymujemy jednomian Od wielomianu odejmujemy  iloczyn i otrzymujemy drugą resztę :

Obliczony wielomian ma sto­pień niższego niż stopień wielomian P, a więc jest resztą z wykonywanego dzielenia. Mamy więc

W praktyce powyższe operacje wykonujemy stosując skrócony umowny zapis podobny do analogicz­nego zapisu dzielenia pisemnego:

              tj.             

b)                                                         

Rozwiązanie. Mamy

A więc

c)                             

Rozwiązanie. Mamy

Tym razem wielomian W dzieli się bez reszty przez wielomian P:

skąd

Dla ułatwienia dzielenia wielomianu przez dwumian stosuje się czasami tzw. schemat Hornera. Jego poprawność opiera się na następującym rozumowaniu. Niech

Wówczas