Parametry statystyczne.doc

(171 KB) Pobierz

Parametry statystyczne

Parametry statystyczne - są to wielkości liczbowe, które służą do opisu struktury zbiorowości statystycznej w sposób systematyczny

Miary położenia

Miary pozycyjne

modalna

kwantyle:

· kwartyl pierwszy

· mediana (kwartyl drugi)

· kwartyl trzeci

· decyle

Miary przeciętne

charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy

średnia arytmetyczna

średnia harmoniczna

średnia geometryczna

modalna

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną - definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej podzieloną przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości statystycznej.

szereg szczegółowy

(eq.1)

gdzie: n - liczebność zbiorowości próbnej (próby), xi - wariant cechy. Jest to tzn. średnia nieważna (prosta) - stosowana dla szeregów szczegółowych.

Średnia arytmetyczna ważona

szereg rozdzielczy punktowy	(eq.2)
szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi	(eq.3)

gdzie: oznacza środek przedziału klasowego

Średnia arytmetyczna (średnia ważona) dla r-grup łącznie oraz średnich arytmetycznych cząstkowych i liczebności i-tej grupie ni:

(eq.4)

gdzie jest sumą liczebności we wszystkich r-grupach.

Podstawiając w miejsce ni wskaźnik struktury wi otrzymamy zależności:

lub

Wybrane właściwości średniej arytmetycznej

· suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości: lub dla szeregu rozdzielczego ,

· średnia arytmetyczna spełnia warunek: ,

· suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero: lub ,

· Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna: lub ,

· średnią arytmetyczną można liczyć w zasadzie dla szeregów o zamkniętych przedziałach klasowych; jeżeli liczebność w otwartym przedziale klasowym stanowi niewielki odsetek, (praktycznie do 5%) możliwe jest domknięcie przedziałów klasowych oraz obliczenie średniej w innym przypadku do określenia zjawiska stosuje się parametry pozycyjne,

· średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy,

· średnia arytmetyczna z próby jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.

Średnia harmoniczna

Średnią harmoniczną - stosuje się wtedy, gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, wagi natomiast w jednostkach liczników tych cech, np. prędkość pojazdu w km/h.

szereg szczegółowy
szereg rozdzielczy

Przyjmując, że waga oraz :

Średnia geometryczna

Średnią geometryczną - stosuje się w badaniach średniego tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie.

Modalna

Modalna Mo (dominanta D, moda, wartość najczęstsza - jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej

Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności (częstości).

W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości) lub ze wzoru interpolacyjnego:

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,

- dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,

nm - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m,

nm-1; nm+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m – 1 i m + 1,

hm - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna.

Kwantyle

Kwantyle - definiuje się jako wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.

Kwartyl pierwszy Q1	dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q1, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla
Kwartyl drugi (mediana Me)	dzieli zbiorowość na dwie równe części; połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa wartości cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość środkowa
Kwartyl trzeci Q3	dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q3, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla
Decyle	np. decyl pierwszy oznacza, że 10% jednostek ma wartości cechy mniejsze bądź równe od decyla pierwszego, a 90% jednostek wartości cechy równe lub większe od decyla pierwszego

Kwartyl drugi (mediana Me)

Dla szeregu szczegółowego

Dla szeregu rozdzielczego (graficznie lub analitycznie)

gdzie:

m - numer przedziału (klasy), w które występuje mediana,

- dolna granica przedziału, w którym występuje mediana

nm - liczebność przedziału mediany, tzn. klasy o numerze m,

- suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany, czyli liczebność skumulowana,

hm - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest mediana,

NMe - pozycja mediany, czyli

Kwartyl pierwszy Q1 i trzeci Q3

Dla szeregu szczegółowego kwartyl pierwszy i trzeci wyznacza się w ten sposób, że w dwóch częściach zbiorowości, które powstały po wyznaczeniu mediany, ponownie wyznacza się medianę; mediana w pierwszej części odpowiada kwartylowi pierwszemu, a w drugiej kwartylowi trzeciemu.

Dla szeregu rozdzielczego wyznaczenie kwartyli poprzedza się ustaleniem ich pozycji: