WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
PODSTAWOWE POJĘCIA
Def. Przez hipotezę statystyczną rozumiemy dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość przypuszczenia oceniana jest na podstawie wyników próby losowej.
Def. Zbiór hipotez dopuszczalnych jest zbiorem rozkładów,
o których wiemy, że mogą charakteryzować populację generalną.
Typy hipotez:
hipotezy proste
hipotezy złożone
hipotezy parametryczne
hipotezy nieparametryczne
Def. Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania, która każdej możliwej próbie losowej pobranej z populacji generalnej przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia stawianej hipotezy.
ZASADY KONSTRUKCJI TESTÓW STATYSTYCZNYCH
formułujemy hipotezę, która podlega weryfikacji (tzw. hipotezę zerową) i zapisujemy ją jako:
formułujemy hipotezę będącą zaprzeczeniem hipotezy zerowej (tzw. hipotezę alternatywną), którą przyjmuje się za prawdziwą w przypadku odrzucenia tej pierwszej i zapisujemy ją jako:
oznaczamy przez W zbiór wszystkich możliwych wyników n-elementowej próby (tzw. przestrzeń próby) oraz przez pewną próbę (tzw. punkt przestrzeni próby).
określamy taki obszar przestrzeni próby w, że:
- jeśli (tzn. wynik próby znajdzie się w tym obszarze) to sprawdzaną hipotezę zerową odrzucamy,
- jeśli (tzn. wynik próby nie znajdzie się w tym obszarze) to hipotezę zerową przyjmujemy.
Def. Obszar w nazywamy obszarem odrzucenia hipotezy lub obszarem krytycznym testu.
Def. Obszar W-w nazywamy obszarem przyjęcia hipotezy zerowej.
BŁĘDY W TESTOWANIU HIPOTEZ
STATYSTYCZNYCH
Def. Błędem I rodzaju nazywamy błąd polegający na odrzuceniu hipotezy zerowej pomimo, że jest ona prawdziwa.
Prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju definiujemy jako:
Def. Błędem II rodzaju nazywamy błąd polegający na przyjęciu hipotezy zerowej pomimo, że jest ona fałszywa.
Prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju definiujemy jako:
Testy najmocniejsze – testy minimalizujące prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju przy ustalonym z góry poziomie prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju .
Moc testu M (w) – prawdopodobieństwo odrzucenia fałszywej hipotezy H0 i przyjęcia w to miejsce prawdziwej hipotezy alternatywnej:
Związek między mocą testu i prawdopodobieństwem błędu II rodzaju:
ZASADY BUDOWY TESTÓW ISTOTNOŚCI
formułujemy hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną ,
na podstawie próby losowej wyznaczamy pewną statystykę (sprawdzian hipotezy ), której rozkład określa się przy założeniu, że hipoteza jest prawdziwa,
wyznaczamy taki obszar wartości statystyki oznaczany jako (tzw. obszar krytyczny testu), aby dla z góry określonego małego prawdopodobieństwa (tzw. poziom istotności) był spełniony warunek:
jeżeli otrzymana w wyniku konkretnej próby wartość statystyki :
- przyjmie wartość z obszaru , sprawdzaną hipotezę odrzucamy na korzyść hipotezy ,
- znajdzie się poza obszarem , stwierdzamy jedynie, że nie ma podstaw do odrzucenia sprawdzanej hipotezy .
TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARTOŚCI ŚREDNIEJ
W POPULACJI
A
Założenia
- populacja generalna ma rozkład normalny o nieznanej wartości średniej m oraz znanym odchyleniu standardowym
- hipotezę weryfikujemy za pomocą n-elementowej
próby
Etapy weryfikacji:
stawiamy hipotezę zerową, że średnia m ma wartość , tzn:
wobec hipotezy alternatywnej:
10
za sprawdzian hipotezy przyjmujemy średnią arytmetyczną
jeżeli jest prawdziwa to statystyka o postaci:
ma rozkład ,
ustalamy wartość (tzw. wartość krytyczna), której nie powinien przekraczać moduł statystyki U, określając ją w taki sposób w rozkładzie , aby dla ustalonego poziomu zachodziła relacja:
wartości zmiennej u spełniające nierówność są obszarem krytycznym testu, tzn.:
Obszar krytyczny (dwustronny)
j(u)
...
luizaXd