Wykład 3

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Zdarzenie – wynik pewnej obserwacji względnie doświadczenia np. wynik rzutu kostką sześcienną do gry, wynik pomiaru temperatury, wartość zanieczyszczenia gruntu w danym miejscu.

Wśród zdarzeń wyróżniamy takie, których nie da się rozłożyć na prostsze i nazywamy je zdarzeniami elementarnymi. Zdarzenia elementarne oznacza się (najczęściej) małymi literami alfabetu.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych (Ω) jest pojęciem pierwotnym, którego się nie definiuje.

Praktycznym odpowiednikiem tego pojęcia jest np. zbiór wszystkich wyników obserwacji lub doświadczenia. Mówiąc inaczej przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych dla danego zdarzenia, ewentualnie dla danej obserwacji. Podzbiory zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniami losowymi (lub krótko zdarzeniami) i oznaczmy dużymi literami alfabetu łacińskiego: A, B, C,... (Uwaga – jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω nie jest zbiorem przeliczalnym to nie każdy podzbiór Ω jest zdarzeniem losowym).

Np. podczas rzutu kostką definiujemy Ω jako:

Przykłady zdarzeń losowych związanych z tym zdarzeniem:

1.      Wylosowaliśmy liczbę parzystą:

2.     

Wylosowaliśmy dowolną liczbę naturalną od 1 do 6.

3. Wylosowaliśmy siódemkę

Ze zbioru n ponumerowanych elementów ω1, ω2, ....., ωn losujemy dwa elementy. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest następującym zbiorem:

Wybrane pojęcia:

Zdarzenie pewne – zdarzenie, które w określonych warunkach musi zajść, podzbiór Ω zawierający wszystkie elementy tej przestrzeni.

Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie, które w określonych warunkach nie może zajść, podzbiór pusty przestrzeni Ω. Zdarzenie niemożliwe oznaczamy symbolem  Ø.

Sumą (alternatywą) dwóch zdarzeń losowych A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych zdarzeń elementarnych, które należą do co najmniej jednego ze zdarzeń losowych A oraz B.

Sumę oznaczamy jako

Iloczynem (koniunkcją) dwóch zdarzeń losowych A oraz B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych zdarzeń elementarnych, które należą zarówno do A jak i do B.

Iloczyn oznaczamy jako

Różnicą dwóch zdarzeń losowych A oraz B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych zdarzeń elementarnych, które należą do zdarzenia A i nie należą do zdarzenia B.

Różnicę oznaczamy jako

Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A nazywamy zdarzenie polegające na tym, że zdarzenie A nie zachodzi.

Zdarzenie przeciwne oznaczamy jako:

lub A’.

Zdarzenia losowe A oraz B, dla których:

Nazywamy zdarzeniami rozłącznymi (wykluczającymi się).

Mówimy, że zdarzenie losowe A jest zawarte w zdarzeniu losowym B, jeżeli każde zdarzenie elementarne należące do A należy też do B. Mówimy też, że zdarzenie B pociąga za sobą zdarzenie A.

Zapisujemy to jako:

Bardziej ścisła definicja zdarzenia losowego

Jeżeli pewien zbiór B zawiera zdarzenia E1, E2....oraz zbiór ten zawiera:

1.      zdarzenie pewne

2.      zdarzenie niemożliwe

3.      sumę zdarzeń E1, E2....

4.      iloczyn zdarzeń E1, E2....

5.      różnicę dowolnej pary zdarzeń ze zbioru E1, E2....

to zbiór B nazywamy borelowskim ciałem zdarzeń .

Każdy element zbioru B utworzonego z podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych jest zdarzeniem losowym.

Prawdopodobieństwo i jego definicje

1.    Definicja aksjomatyczna (Kołmogorowa)

Aksjomat I.

Każdemu zdarzeniu losowemu A przyporządkowana jest pewna liczba P(A), która spełnia nierówność

0≤P(A)≤1

i nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Aksjomat II.

Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa się jedności, to znaczy

P(Ω)=1

Aksjomat III.

Prawdopodobieństwo sumy skończonej lub przeliczalnej ilości parami wykluczających się zdarzeń  losowych A1,A2,A3...równa się sumie prawdopodobieństw poszczególnych zdarzeń:

2.    Definicja klasyczna prawdopodobieństwa (definicja Laplace’a).

Jeżeli przestrzeń zdarzeń losowych Ω składa się n jednakowo prawdopodobnych i wykluczających się zdarzeń losowych z których m sprzyja zajściu interesującego nas zdarzenia losowego A, to prawdopodobieństwo zdarzenia A wyraża się wzorem:

3.    Definicja geometryczna

Jeżeli przez A i Ω oznaczymy dwa zbiory w przestrzeni r-wymiarowej oraz jeżeli A C Ω to prawdopodobieństwo tego, że dowolny punkt należący do zbioru Ω będzie również należał do zbioru A równa się stosunkowi miary zbioru A: μ(A) do miary zbioru Ω: μ(B).

4.    Definicja statystyczna (częstościowa, von Misesa)

Jeżeli poprzez m/n oznaczymy częstość zdarzenia A to prawdopodobieństwo tego zdarzenia wyraża się wzorem:

Wybrane własności prawdopodobieństwa:

1.      P(A)=1-P(A’)

2.      P(Ø)=O

3.      Jeżeli A С B to P(A) ≤ P(B)

4.      P(A U B)=P(A)+P(B) – P(A ∩ B)

Prawdopodobieństwo niezależne:

Zdarzenia A i B są niezależne (stochastycznie) od siebie, jeżeli zachodzą równania:

Wynika z tego, że:

W praktyce można powiedzieć, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to zajście zdarzenia B nie zmienia w niczym zdarzenia A.

Niezależność zdarzeń można uogólnić na ich większą liczbę np. n.

Zdarzenia losowe A1,A2,... ,An są niezależne, jeżeli dla dowolnego ciągu wskaźników i1,i2,... ik, gdzie 1≤i1<i2<... ik ≤n zachodzi równość:

Przykład: Sprawdzić, czy zdarzenie polegające na  wyciągnięciu z talii kart do gry trefla oraz  zdarzenie polegające na  przy wyciągnięciu z talii kart do gry króla są zdarzeniami zależnymi (zakładając, że z talii wyciągamy tylko jedną kartę).

Rozwiązanie: Wprowadźmy oznaczenia:

A – zdarzenie losowe polegające na wyciągnięciu trefla.

B – zdarzenie losowe polegające na wyciągnięciu króla.

P(A)=13/52=1/4

P(B)=4/52=1/13

P(A∩B)=1/52.

Mamy: P(A∩B)= P(A)·P(B) zatem zdarzenia A i B są niezależne.

Prawdopodobieństwo całkowite. Układ zupełny zdarzeń.

Mówimy, że układ zdarzeń losowych A1,A2,A3... jest zupełny, jeżeli zdarzenia te wykluczają się parami, a ich suma jest zdarzeniem pewnym. Można to zapisać równaniami:

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym można wyrazić równaniem:

Przykład:

Mamy trzy jednakowe urny, z których dwie mają skład: dwie kule białe i trzy czarne (A1), a trzecia ma skład: pięć kul białych i trzy czarne (A2). Wybieramy z dowolnej urny jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana kula jest czarna?

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

P(A1)=2/3

P(A2)=1/3

P(B/A1)=3/5

P(B/A2)=3/8

Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi:

P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)=2/3·3/5+1/3·3/8=21/40

Prawdopodobieństwo warunkowe definiujemy równaniem:

, gdzie

...