roz10.pdf

Ca“kiir ó wnaniar ó »nicowe

Zadanie1.

a) 1

sin xdx = 2

b) 1

cos xdx =0

c) 1

e 2 − 1

e 2

ln xdx = e 2 +1

e 2 − 1 d) 1

2 Z

( x 2 + x ) dx = 3

− 1

4 Z

3 Z

e) 1

p xdx = 4

f) 1

(3 x 2 +2 x +1) dx =18

Zauwa»my,»e

ln xdx = x (ln x − 1)+ C

Zadanie2.

a)r ó wnanieposiadajedenpunktstacjonarny ¯ x =0;rozwi¡zaniazostaj¡po

tejsamejstronietegopunktu(je–li x 0 < 0to x n < 0ije–li x 0 > 0to x n > 0)i

oddalaj¡siƒodpunktu¯ x =0,zatempunkttenjestniestabilny;

jednejstroniepunktu(wzale»no–ciodtegojakieby“o x 0 );je–li x 0 2 ( − sqrt 2; p 2),

torozwi¡zaniabƒd¡siƒzbli»a“ydopunktu¯ x 0 igdybƒd¡blisko( | x n | < 1)bƒd¡

oscylowa“ywok ó “zera(czylije–li x n < 0to x n +1 > 0iodwrotnie,je–li x n > 0,to

x n +1 < 0)czylipunkttenjestlokalnieasymptotyczniestabilny;

c)r ó wnaniemajedenpunktsta“y¯ x =1;je–li x 0 < 1,torozwi¡zaniebƒdziesiƒ

oddala“oodpunktu¯ x =1;gdy x 0 > 1torozwi¡zaniebƒdziesiƒzbli»a“odo¯ x ;punkt

jestniestabilny;

d)r ó wnaniemajedenpunktsta“y¯ x =1;je–li x 0 > 1,torozwi¡zaniebƒdziesiƒ

oddala“oodpunktu¯ x =1;gdy x 0 >< torozwi¡zaniebƒdziesiƒzbli»a“odo¯ x ;punkt

jestniestabilny;

e)r ó wnaniemajedendwapunktysta“e¯ x 1 =1i¯ x = − 1 2 ;punkt¯ x 1 jestniestabilny

irozwi¡zaniaoddalaj¡siƒodniegooscyluj¡c;punkt¯ x 2 jestniestabilny rozwi¡zania

oddalaj¡siƒodniegozostaj¡cpotejsamejstronietegopunktu;

f)r ó wnaniemadwapunktystacjonarne niestabilny¯ x 1 =0,rozwi¡zaniapo-

zostaj¡potejsamejstronietegopunktuistabilny¯ x 2 = 1 2 ;je–li x 0 > ¯ x 2 ,to x 1 < ¯ x 2

ije–li x n < ¯ x 2 to x n +1 < ¯ x 2 ;

Zauwa»my,»ewewszystkichpodpunktach,pozapunktem(e),popoliczeniuwar-

to–ci f 0 (¯ x )=1,lub − 1dlaprzynajmniejjednegopunktustacjonarnego.Wtakim

b)r ó wnanieposiadatrzypunktystacjonarne ¯ x 1 =0,¯ x 2 = p 2i¯ x 3 = − p 2.

Punkty¯ x 2 i¯ x 3 s¡niestabilne,rozwi¡zaniaoddalaj¡siƒodtychpunkt ó wpozostaj¡c po

przypadkuzachowaniesiƒrozwi¡za«wokolicytegopunktumo»eby¢r ó »ne(coilu-

struj¡powy»szezadania):wzale»no–ciodtegojakfunkcja f wygl¡dawpobli»u

punktu¯ x .Istotnejestwykonaniedok“adnegorysunkuistwierdzenie,czywykres

funkcji f le»yponadczypodwykresemprostychonachyleniu1i − 1aprzechodz¡-

cychprzezpunkt(¯ x,f (¯ x ),czyliprzecinaj¡cychwykresfunkcji f wpunkcie¯ x .

Zadanie3.

a)punktystacjonarne:¯ x 1 =1i¯ x 2 = 2 3 ;poniewa» f 0 (1)= 3 2 ,punkt¯ x 1 jest

niestabilnyarozwi¡zaniapozostaj¡pojednejstroniepunktustacjonarnego;poniewa»

f 0 ( 3 2 )= 1 2 punkt¯ x 2 jestlokalnieasymptotyczniestabilnyarozwi¡zaniapozostaj¡po

jednejstroniepunktustacjonarnego;

b)punktystacjonarne:¯ x 1 =1i¯ x 2 = 2 5 ;poniewa» f 0 (1)= 5 2 ,punkt¯ x 1 jest

niestabilnyarozwi¡zaniapozostaj¡pojednejstroniepunktustacjonarnego;poniewa»

f 0 ( 5 2 )= − 1 2 punkt¯ x 2 jestlokalnieasymptotyczniestabilnyarozwi¡zaniaoscyluj¡

wok ó “punktustacjonarnego;

c)punktystacjonarne:¯ x 1 =1i¯ x 2 =0;poniewa» f 0 (1)=3,punkt¯ x 1 jestnie-

stabilnyarozwi¡zaniapozostaj¡pojednejstroniepunktustacjonarnego;poniewa»

f 0 ( 5 2 )= − 1musimysiƒodwo“a¢dometodypajƒczynowej,kt ó rawykazuje,»erozwi¡-

zaniazbli»aj¡siƒodlewejstronydo0ioddalaj¡poprawejstronie0,zatempunkt

jestniestabilny;

d)punktstacjonarny:¯ x =20;poniewa» f 0 (20)= 3 4 punkt¯ x jestlokalnieasymp-

totyczniestabilnyarozwi¡zaniapozostaj¡pojednejstroniepunktustacjonarnego;

e)punktystacjonarne:¯ x 1 =2i¯ x 2 =1;poniewa» f 0 (2)= 1

ln2 1 . 44to¯ x 2 jestniestabilny

arozwi¡zaniapozostaj¡pojednejstroniepunktustacjonarnego;

f)punktystacjonarne:¯ x 1 =1i¯ x 2 le»¡cypomiƒdzy0 , 3i0 , 4.Poniewa» f 0 (1)=

ln5to¯ x 1 jestniestabilnyarozwi¡zaniapozostaj¡pojednejstroniepunktustacjo-

narnego;dok“adnejwarto–ci f 0 (¯ x 2 )nieumiemypoliczy¢,alekorzystaj¡czfaktu,»e

jesttopunktstacjonarnyotrzymujemy0 <f 0 (¯ x 2 )=¯ x 2 ln5 < 0;zatempunktsta-

cjonarny¯ x 2 jestlokalnieasymptotyczniestabilnyarozwi¡zaniapozostaj¡pojednej

stroniepunktustacjonarnego;

Wtymzadaniuwystarczy“opoliczy¢ f 0 (¯ x ),gdy»warto–¢taby“ar ó »naod1i − 1

azatemdeterminowa“astabilno–¢punktustacjonarnego.Wyj¡tkiemby“punkt¯ x 2 w

podpunkcie(c).

2ln2 0 , 72topunkt

stacjonarny¯ x 1 jestlokalnieasymptotyczniestabilnyarozwi¡zaniapozostaj¡pojed-

nejstroniepunktustacjonarnego;poniewa» f 0 (1)= 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: