Klasa 2 - poziom rozszerzony.pdf - Suplementy do książek - matematyka4lo

Suplementdopodrêcznika

MatematykaII.Zakresrozszerzony

Trecizmienionelubdodane

numerystron

wstarszychwydaniach

numerystron

wsuplemencie

245

258

III

259

Materia³pochodzizestronywww.gwo.pl/nowe_wersje

Suplement do podręcznika „Mateamatyka II. Zakres rozszerzony”

Szeregigeometryczne

Pola zamalowanych ﬁgur tworzą ciąg sum n początkowych wyrazów pewnego ciągu

geometrycznego.

Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,

otrzymujemy:

1− 3 n

1− 3

S n =

3 ·

Gdybyśmy mogli zamalowywać kolejne ﬁgury w nieskończoność, to otrzymaliby-

śmy ﬁgurę o polu równym:

3 + 9 +

27 + ... Przyjmujemy, że taka nieskończona suma

jest równa lim

S n .

→∞

Ponieważ przy n dążącym do nieskończoności wyrazy ciągu 3 n zbliżają się do 0,

więc zamalowane pole byłoby równe:

lim

⎛

⎝

3 ·

1− 3 n

1− 3

⎞

⎠

3 ·

→∞

Powyżej obliczyliśmy sumę wszystkich wyrazów pewnego nieskończonego ciągu

geometrycznego. W podobny sposób moglibyśmy obliczać sumę wyrazów dowolne-

go ciągu geometrycznego nieskończonego.

Niech ( a n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q .Suma n początkowych wy-

razów tego ciągu wynosi:

S n = a 1 1− q n

1− q

<1,toprzy n dążącym do nieskończoności wyrazy ciągu q n zbliżają się do

0, zatem otrzymujemy:

lim

S n =lim

→∞

a 1 1− q n

1− q =

a 1

1− q

Gdy

→∞

Suplement do podręcznika „Mateamatyka II. Zakres rozszerzony”

III

FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE

Potęgi o wykładnikach

rzeczywistych

Ćwiczenie A. Przypomnij sobie, jak oblicza się potęgi o wykładnikach wymiernych i oblicz:

4 2

27 3

3 −4

9 0,5

16 −1,5

Wiesz już, jak oblicza się potęgi o wykładnikach, które są liczbami wymiernymi.

Możemy również rozpatrywać potęgi o podstawach dodatnich, których wykładnik

jest dowolną liczbą rzeczywistą, także niewymierną.

Zastanówmy si ę na przyk ła d, jaką liczbę mogłaby oznaczać potęga o podstawie 3

iwykładniku √ 2, czyli 3 √ 2 .

Poniżej zapisano kilka kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby √ 2.

√ 2 = 1,414213556 ...

Liczbę 3 √ 2 możemy prz yb liżać, zastępując wykładnik potęgi coraz dokładniejszymi

przybliżeniami liczby √ 2.

√ 2

≈

1,4, więc 3 √ 2

≈

3 1,4

≈

4,655367 ...

√ 2

≈

1,41, więc 3 √ 2

≈

3 1,41

≈

4,706965 ...

√ 2

≈

1,414, więc 3 √ 2

≈

3 1,414

≈

4,727695 ...

≈ 4,728733 ...

W ten sposób możemy obliczać 3 √ 2 z coraz większą dokładnością. Wykonując

kolejne obliczenia, zauważylibyśmy, że liczby 3 1,4 ,3 1,41 ,3 1,414 , ... coraz bardziej

pr z ybliżają się do liczby 4,72880438783741494 ... Przyjmujemy więc, że potęga

3 √ 2

√ 2 ≈ 1,4142, więc 3 √ 2

≈ 3 1,4142

jest równa tej liczbie, czyli:

3 √ 2 = 4,72880438783741494 ...

Ćwiczenie B. Ustal, która z dwóch podanych liczb jest większa:

a) 2 π czy 2 3

b) 10 √ 3 czy 10 √ 5

c) 1

3 √ 2

czy 1

3 2

d) 0,7 √ 15 czy 0,7 4

Wartości potęg o wykładnikach niewymiernych można szacować za pomocą potęg

o wykładnikach wymiernych. Warto przy tym pamiętać, że gdy podstawa jest liczbą

większą od 1, to im większy wykładnik tym większa potęga. Gdy podstawa potęgi

jest liczbą dodatnią mniejszą od 1, to im większy wykładnik tym mniejsza potęga.

Suplement do podręcznika „Mateamatyka II. Zakres rozszerzony”

Liczbę 2 √ 10 można oszacować w nastę-

pujący sposób:

Ponieważ 3 < √ 10 < 4,

więc

2 3 <2 √ 10 <2 4 ,

Liczbę 2 √ 10 możemy oszacować tak:

Ponieważ 3 < √ 10 < 4,

więc

2 4 < 2 √ 10 < 2 3 ,

czyli

zatem

8<2 √ 10 < 16.

< 2 √ 10

8 .

Ćwiczenie C. Oszacuj w opisany powyżej sposób liczby:

a) 3 √ 10

b) 2 √ 5

c) 1

3 √ 7

W praktyce wartości potęg o wykładnikach niewymiernych będziemy szacować,

korzystając z przybliżeń dziesiętnych wykładników. Na przykład:

2 π

≈ 2 3,14

≈ 8,82

2 √ 5

≈

2 2,24

≈

4,72

Prawa działań na potęgach o wykładni-

kach wymiernych obowiązują także dla

potęg o wykładnikach rzeczywistych.

Dla a >0, b >0 oraz s , t

∈

a s · a t

a s + t

a s

a t

a s − t

W poniższych przykładach przypomi-

namy, jak korzystać z tych praw przy

przekształcaniu wyrażeń.

a s ) t

a st

(

) s

a s b s

= a s

b s

przykłady

3 −2 √ 2

· 3 3 √ 2 =3 −2 √ 2+3 √ 2

=3 √ 2

25 √ 3+1

5 2 √ 3

(5 2 ) √ 3+1

5 2 √ 3+1

=5 (2 √ 3+2)−(2 √ 3+1) =5

(9 √ 2) 2 π

· (27 √ 4) − π =9 2 π

· ( √ 2) 2 π

· 27 − π

· ( √ 4) − π =(3 2 ) 2 π

· (2 2 ) 2 π

· (3 3 ) − π

· (2 3 ) − π =

· 2 3 π =(3 √ 2) π

=3 4 π

· 3 −3 π

· 2 π

· 2 − 3 π =3 π

2 3 √ 3

(4 1+ √ 3 ) 1− √ 3

(2 3 ) 2− √ 3

2 3 √ 3

4 (1+ √ 3)(1− √ 3)

2 6−3 √ 3

2 3 √ 3

2 −4 =2 6−(−4) =2 10

4 −2

(

8 2− √ 3

2 6

Klasa 2 - poziom rozszerzony.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: