1. Omówić siły wewnętrzne występujące w prętach i wywołane nimi zagadnienia wytrzymałości.
Siły wewnętrzne są to siły z jakimi jedne cząstki położone wewnątrz ciała działają na drugie cząstki. Siły wewnętrzne W działając w dowolnym przekroju pręta równają się z redukowanym do środka ciężkości tego przekroju obciążeniom zewnętrznym, działającym na odrzuconą myślowo część pręta odciętą tym przekrojem.
W=N+T2+T3; M=Ms+Mg2+Mg3
Przedstawienie sił wewn. w przekroju poprzecznym pręta za pomocą składowych umożliwia wyróżnienie tzw. Prostych zagadnień wytrzymałościowych, do których zalicza się: rozciąganie (ściskanie), skręcanie, zginanie. Rozciąganie (ściskanie) – gdy siły wewnętrzne w przekroju pręta sprowadzają się do siły normalnej N. W przypadku gdy siła ta jest skierowana na zewnątrz przekroju, jest siłą rozciągającą i oznacza się ją znakiem +, gdy jest skierowana do przekroju, wtedy jest siłą ściskającą i oznacza się ją znakiem -. Ścinanie (przesuwanie) – gdy siły wewnętrzne w przekroju pręta sprowadzają się do siły tnącej T. Zginanie – gdy siły wewn. w przekroju pręta sprowadzają się do momentu gnącego Mg, bądź do momentu Mg i siły tnącej T. Przyjmuje się, że momenty powodujące wygięcie pręta wypukłością w kierunku dodatnim osi x2 są dodatnie, powodujące wygięcie pręta w drugą stronę – ujemne. Siły tnące działające na element pręta o długości dx1 tworzą parę starającą się wywołać obrót elementu. Jeżeli obrót ten jest zgodny z dodatnim obrotem osi współrzędnych ox1x2 wokół osi x3, to siły tnące wywołujące obrót są przyjmowane jako dodatnie, gdy obracają w przeciwną stronę – ujemne. Skręcanie – gdy siły wewn. w przekroju pręta sprowadzają się do momentu skręcającego Ms. Moment ten uważa się za dodatni gdy wektor skierowany jest na zewnątrz przekroju oraz za ujemny, gdy wektor ten jest skierowany do przekroju. Zagadnienia złożone – przypadki obciążenia pręta, przy których w jego dowolnym przekroju może wystąpić jednocześnie kilka składowych sił wewnętrznych.
2. Zdefiniować pojęcia momentu gnącego i siły tnącej w belkach.
Moment gnący – w dowolnym przekroju belki nazywa się sumę algebraiczną momentów od obciążeń działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju względem tego przekroju. Siła tnąca – w dowolnym przekroju belki nazywa się sumę algebraiczną sił obciążających prostopadłych do osi belki i działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju. a) dla obciążenia skupionego: T=P; Mg=-P(a-x1) b) dla obciążenia ciągłego: T=q(a-x1); Mg=-1/2q(a-x1)2.
3. Zdefiniować pojęcie naprężenia i działania przeprowadzane na tej wielkości.
Naprężenie jest to natężenie sił wewnętrznych, czyli ich wartość przypadająca na jednostkę pola powierzchni przekroju.
Niech dana będzie wielkośćs taka, że wektory pj są jej składowymi dla danych kierunków ej, czyli: pj=sej. Wielkość s nosi nazwę tensora naprężenia, który zazwyczaj jest definiowany przez swoje składowe – wektory naprężenia. Operacje wektorowe bywają niewygodne, można więc wyrazić wektory naprężenia przez ich współrzędne, rzutując wektor naprężenia na kolejne osie xk. Otrzyma się wówczas: sik=piek (i,k=1,2,3). Wykonując te działania otrzymuje isę dziewięć wielkości, zwanych składowymi skalarowymi tensora s. Graficznie można je przedstawić na poniższym rysunku:
Dla przejrzystości pokazano tu jedynie składowe skalarowe tensora naprężenia. Można zauważyć, że zgodnie z wzorem pj=sej i sik=piek pierwszy wskaźnik składowej naprężenia określa normalną do powierzchni, na której składowa ta działa, zaś drugi wskaźnik – wskazuje na kierunek rzutowania wektora naprężenia. Współrzędne tensora naprężenia uważa się za dodatnie, gdy na ścianie o normalnej dodatniej mają zwroty zgodne z dodatnimi zwrotami układu współrzędnych, a na ściankach o normalnej ujemnej (niewidoczne na powyższym rysunku) mają zwroty przeciwne do dodatnich zwrotów osi współrzędnych. Rozważając warunek równowagi na zamieszczonym rysunku, po obliczeniu sumy momentów względem osi, równoległe np. do kierunku 1, znajduje się (przy uwzględnieniu także niewidocznych wielkości):
s23dx1dx3dx2-s32dx1dx2dx3=0 lub s23=s32
Ponieważ można zapisać podobne warunki równowagi dla pozostałych osi, otrzyma się ostatecznie zależność: sik=ski.
4. Zdefiniować pojęcie naprężeń głównych i podać sposób ich wyznaczania
W dowolnym płaskim stanie naprężenia istnieją dwa wzajemnie prostopadłe przekroje w których: 1) naprężenia styczne są równe 0 st=0; 2) naprężenia normalne osiągają maksymalne wartości. Przekroje o tych własnościach nazywają się przekrojami głównymi, a ekstremalne wartości naprężeń normalnych nazywają się naprężeniami głównymi. Oto sposób ich wyznaczania: si3=0 – stan płaski. Tensor naprężenia przyjmuje postać:
Korzystając z zależności: s’qr=sikaqiark otrzymujemy:
s1’1’=s11cos2a+s22sin2a+s12sinacosa
s2’2’=s11sin2a+s22cos2a-s12sinacosa
s1’2’=-s11sinacosa+s22sinacosa+s12(cos2a-sin2a).
Przyrównując do 0 naprężenie styczne s1’2’ oraz uwzględniając zależności:
oraz
otrzymujemy:
Jeżeli podstawilibyśmy to równanie do pozostałych dwóch równań układu z naprężeniami to otrzymalibyśmy dwie poszukiwane wartości naprężeń głównych.
Korzystając jednak z trzech niezmienników podstawowych tensora naprężenia tj.:
Is=s11+s22+s33; IIs=1/2(siiskk-siksik); IIIs=Det[sik] łatwo stwierdzić, że trzeci niezmiennik tensora IIIsstaje się dla rozważanego tensora zerowy. Prowadzi to do stwierdzenia, że zerowa wartość trzeciego niezmiennika zapewnia dwuwymiarowość układu naprężeń. Biorąc to pod uwagę równanie wiekowe przyjmuje postać: s(s2-sIs+IIs)=0. Ostatecznie znajduje się naprężenia główne:
5. Wyprowadzić równania równowagi wewnętrznej.
Piszemy równania momentów dla osi równoległych do x1, x2, x3 i przechodzących przez środek ciężkości. Dla osi równoległej do x1 r-nie momentów ma postać:
Po uporządkowaniu otrzymujemy: s23=s32. Warunek równowagi sił np. w kierunku osi x2 ma postać:
Po uporządkowaniu otrzymujemy:
Podobną postać mają równania równowagi sił na osiach x1 i x3 zatem:
6. Omówić pojęcia przemieszczenia i odkształcenia i podać związki między nimi.
Przemieszczenie jest to zmiana położenia punktów ciała w przestrzeni, zaś odkształcenie jest związane ze zmianą kształtu ciała. Wektor przemieszczenia u jest to różnica położeń punktu O w przestrzeni przed i po zdeformowaniu. u=x-x0; ui=xi-xi0. Przemieszczenie u’ punktu A, leżącego nieskończenie blisko punktu O, jest na ogół różne od u, co można zapisać: u’=u+du. Przyrosty wszystkich trzech składowych przemieszczenia ui (i=1,2,3) wzdłuż kierunków osi współrzędnych xk (k=1,2,3) przybierają postać dziewięciu pochodnych cząstkowych, tworząc pewien tensor rzędu drugiego:
gdzie wprowadzono zapis pochodnej jako .Każdą składową tego tensora można rozłożyć następująco:
określając w ten sposób jej znaczenie fizykalne. W teorii sprężystości dowodzi się, że wyrazy:
określają jedynie sztywne obroty ciała, natomiast wyrazy:
są współrzędnymi symetrycznego tensora małych odkształceń ciała. Tak więc:
7. Wyprowadzić zależności przy obrocie tensora odkształcenia.
Zależność u=x-x0 można zapisać: xi=xi0+ui. Niech pewien odcinek różniczkowy ma odpowiednio przed i po odkształceniu kwadrat długości: ds02=dxi0 dxi0; ds2=dxjdxj. Ponieważ przemieszczenie jest funkcją położenia punktu, można zapisać zależność przedstawiającą różniczkę zupełną:
Różnica kwadratów długości odcinka wyniesie więc:
co można zapisać następująco:
Powyższe pochodne można wyznaczyć [przy użyciu związków xi=xi0+ui, stąd:
Ograniczając się do małych odkształceń i pomijając człon nieliniowy uj,i uj,k, otrzymujemy:
Zatem w dwóch różnych układach współrzędnych kwadrat długości odkształconego odcinka musi pozostać taki sam wynika z tego, że: e’qrdx’qdx’r=eikdxi0dxk0, gdzie (‘) oznacza nowy układ współrzędnych. Jeżeli cosinusy kierunkowe przedstawi się jako:
wówczas wyrażenie e’qrdx’qdx’r=eikdxi0dxk0 można zapisać w postaci:
e’qr=eikaqiark (i,k=1,2,3; q,r=1’,2’,3’)
co jest poszukiwanym związkiem transformacyjnym tensora odkształcenia przy obrocie układu współrzędnych.
8. Omówić związki fizyczne materiału i wyprowadzić uogólnione prawo Hooke’a (Wyznaczanie stałych materiałowych).
Związki fizyczne materiału wiążą ze sobą tensory naprężenia i odkształcenia oraz umożliwiają np. określenie odkształceń czy przemieszczeń na podstawie znanych obciążeń. Najogólniejszy związek między tensorami naprężenia i odkształcenia można dla ciał sprężystych napisać w postaci: sij=Cijklekl, ekl=Sklijsij, gdzie Cijkl są współrzędnymi tensora sztywności materiału, zaś Sklij – współrzędnymi tensora podatności materiału. Tensory te posiadają ogólnie 81 współrzędnych wzajemnie przeliczalnych. Ze względu na symetrię tensorów naprężenia i odkształcenia oraz biorąc pod uwagę wyrażenie określające energię sprężystą materiału liczba niezależnych stałych sprowadza się do 21 dla materiału anizotropowego oraz do 9 dla przypadku ortotropii. W praktyce inżynierskiej używa się zazwyczaj następujących oznaczeń:
;;, gdzie E - moduł Younga, v - współczynnik Poissona, G - moduł Kirchoffa.
Przy przyjętych oznaczeniach, uwzględniając proste stany naprężeń, oczek...
moloniewicz