Analiza funkcjonalna 1 - R.Szwarc.pdf

(567 KB) Pobierz
555481486 UNPDF
Analiza funkcjonalna I
Ryszard Szwarc
Wrocław 2010
2
Spis tre±ci
1 Przestrzenie unormowane 3
1.1 Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Operatory liniowe
15
3 Przestrzenie Hilberta 26
3.1 Podstawowe własno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Proces ortogonalizacji Grama-Schmidta . . . . . . . . . . . . . 33
4 Przestrzenie sprz¦»one
37
5 Twierdzenia Hahna-Banacha 40
5.1 Przedłu»anie funkcjonałów liniowych . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Granica Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Przestrze« sprz¦»ona do C [ a,b ] . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4 Wersja geometryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Wersja niezmiennicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Twierdzenie Baire’a i zastosowania 61
6.1 Twierdzenie Baire’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Twierdzenie Banacha-Steinhausa . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3 Twierdzenia Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7 Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa
73
8 Przestrzenie sprz¦»one do L p i do C ( X ) 81
8.1 Wersja rzeczywista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2 Wersja zespolona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3 Twierdzenie Riesza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9 Słaba zbie»no±¢ w przestrzeniach unormowanych 91
9.1 Słaba zbie»no±¢ ci¡gów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2 Słabe topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10 Twierdzenie Arzeli-Ascoliego
99
11 Odwzorowania zw¦»aj¡ce i zastosowania 104
11.1 Twierdzenie o funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Przestrzenieunormowane 3
12 Zadania
107
1 Przestrzenie unormowane
Definicja 1.1. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad C (lub R ). Nor-
m¡ okre±lon¡ na X nazywamy funkcj¦ X 3 x 7! k x k 2 [0 , 1 ) spełniaj¡c¡
warunki
(i) k x k = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 .
(ii) k x k = | |k x k , dla 2 C oraz x 2 X. ( jednorodno±¢ )
(iii) k x + y k¬k x k + k y k , dla x,y 2 X. ( warunek trójk¡ta )
Uwaga 1.2. Z nierówno±ci trójk¡ta wynika, »e
|k x k−k y k|¬k x − y k
Okre±lmy funkcj¦ d ( x,y ) = k x − y k dla x,y 2 X. Wtedy d ( x,y ) jest
metryk¡ i X staje si¦ przestrzeni¡ metryczn¡.
Przykłady.
1. X =C
n (lubR
n ). Dla x = ( x 1 ,x 2 ,...,x n ) mo»emy okre±li¢ normy
k x k 1 =
X
| x i | ,
i =1
k x k 1 = max
1 ¬ i ¬ n | x i | .
2. X = C [0 , 1] (funkcje ci¡głe o warto±ciach zespolonych). Okre±lamy tzw.
norm¦ jednostajn¡
0 ¬ t ¬ 1 | f ( t ) | .
Ta przestrze« ma niesko«czony wymiar, bo jednomiany 1 ,x,x 2 ,x 3 ,...
tworz¡ niesko«czony układ liniowo niezale»ny. Jednak»e układ ten nie
jest baz¡ algebraiczn¡ przestrzeni liniowej X. Mo»emy rozwa»a¢ te»
inn¡ norm¦:
k f k 1 = max
Z
k f k 1 =
| f ( t ) | dt.
0
4 AnalizafunkcjonalnaI
3. X = ` 1 = { x = ( x n ) n =1 : sup n | x n | < 1} .
k x k 1 = su n | x n | .
Zauwa»my, »e | x n |¬k x k 1 .
Definicja 1.3. Przestrze« metryczn¡ nazywamy zupełn¡ , je±li ka»dy ci¡g
elementów tej przestrzeni spełniaj¡cy warunek Cauchy’ego jest zbie»ny.
Definicja 1.4. Przestrze« unormowan¡ zupełn¡ w metryce d ( x,y ) = k x − y k
nazywamy przestrzeni¡ Banacha .
Przykład. PrzestrzenieRiCs¡ przestrzeniami Banacha.
Przykład. ` 1 jest przestrzeni¡ Banacha. W tym celu trzeba pokaza¢, »e
ka»dy ci¡g Cauchy’ego x ( k ) w ` 1 jest zbie»ny do pewnego elementu x z ` 1 .
Ustalmy wska¹nik n. Wtedy
| x ( k n − x ( l n |¬ sup
m 2 N
| x ( k m − x ( l m |¬k x ( k ) − x ( l ) k 1 .
Zatem dla dowolnej liczby n ci¡g liczbowy ( x ( k n ) k =1 spełnia warunek Cau-
chy’ego. Zatem ten ci¡g ma granic¦ lim k x ( k n = x n . Otrzymujemy w ten spo-
sób ci¡g x = ( x n ) n =1 . Poka»emy, »e x 2 ` 1 oraz k x ( k ) − x k 1 k 0 . Ustalmy
wi¦c liczb¦ dodatni¡ ". Z warunku Cauchy’ego istnieje wska¹nik k 0 taki, »e
dla k,l ­ k 0 mamy
| x ( k n − x ( l n |¬k x ( k ) − x ( l ) k 1 < ".
Przechodz¡c do granicy po lewej stronie, gdy l !1 otrzymamy
| x ( k n − x n |¬ ", n = 1 , 2 ,... .
Zatem x ( k ) − x 2 ` 1 oraz
k x ( k ) − x k¬ " k ­ k 0 .
(1.1)
Otrzymujemy, »e x le»y w ` 1 jako suma dwu elementów z ` 1
x = − ( x ( k 0 ) − x ) + x ( k 0 ) .
Ponadto (1.1) oznacza, »e x ( k )
zbiega do x w ` 1 .
Przestrzenieunormowane 5
Definicja 1.5. Mówimy, »e szereg
X
x n elementów z przestrzeni unormo-
wanej X jest zbie»ny, je±li szereg sum cz¦±ciowych
n =1
s n =
X
x k
k =1
jest zbie»ny.
X
Mówimy, »e szereg
x n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, je±li zbie»ny jest szereg
n =1
X
liczbowy
k x n k .
n =1
Twierdzenie 1.6. Przestrze« liniowa unormowana jest zupełna wtedy i tylko
wtedy, gdy ka»dy szereg bezwzgl¦dnie zbie»ny jest zbie»ny.
Dowód. ( ) ) Załó»my, »e
X
k x n k < 1 . Dla n > m mamy
n =1
k s n − s m k =
X
x j
X
k x j k¬
X
k x j k .
¬
j = m +1
j = m +1
j = m +1
St¡d wynika, »e ci¡g s n spełnia warunek Cauchy’ego, zatem jest zbie»ny.
( ( ) Niech x n b¦dzie ci¡giem Cauchy’ego w X. Dla " = 2 − k istnieje liczba
naturalna n k taka, »e dla n,m ­ n k mamy k x n − x m k < 2 − k . Mo»na zało»y¢,
»e n k +1 > n k . Zatem
k x n k +1 − x n k k < 2 − k , k = 1 , 2 ,...
Przyjmijmy y 0 = x n 1 oraz y k = x n k +1 − x n k dla k ­ 1 . Wtedy szereg P y k
jest bezwzgl¦dnie zbie»ny. Zatem szereg ten jest zbie»ny. Obliczamy sumy
cz¦±ciowe tego szeregu i otrzymujemy
k − X
y l = x n k .
l =0
Zatem podci¡g x n k jest zbie»ny. Oznaczmy x = lim k x n k . Poka»emy, »e x =
lim n x n . Ustalmy liczb¦ " > 0 . Z warunku Cauchy’ego istnieje liczba k 0 taka,
»e
k x n − x m k < "
2 , n,m ­ k 0 .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin