zestaw09.pdf
(
32 KB
)
Pobierz
AF1*–Zadaniazdnia01/12/2011
Zadaniadomowe:
H1.
Dlafunkcjicałkowalnej
f
:[0
,
1]
określamy
(
Vf
)(
x
)=
∫
x
0
→
R
f
(
t
)
dt
(operatorVolterry)
(a)Czy
V
jestzwartyjakooperatorliniowyna
C
[0
,
1]?
(b)Czy
V
jestzwartyjakooperatorliniowyna
L
p
[0
,
1],1
p<
∞
?
:
L
1
(
H2.
CzytransformataFouriera
F
R
)
→
C
0
(
R
)jestoperatoremzwartym?
2
.
AA
∗
∥
H3.
H
jestprzestrzeniąHilbertai
A
∈
L
(
H
).Pokaż,że
∥
=
∥
A
∥
L
(
L
2
[0
,
1])oznaczaoperatorVolterry.Wyznaczoperator
VV
∗
.Oblicz
H4.
Niech
V
∈
∥
V
∥
.
H5.
Naprzestrzenifunkcjiklasy
C
1
naodcinku[0
,
1]określamynormęwzorem
2
=
∫
1
2
dt
+
∫
1
f
′
(
t
)
2
dt.
∥
f
∥
0
|
f
(
t
)
|
0
|
|
Uzupełnienieprzestrzeni
C
1
[0
,
1]wtejnormieoznaczamyprzez
H
1
[0
,
1].Pokaż,że
H
1
[0
,
1]to
przestrzeńHilberta.Pokaż,żewłożenieidentycznościoweId:
H
1
[0
,
1]
L
2
[0
,
1]jestoperatorem
→
zwartym.
H6.
X
jestprzestrzeniąBanachai
T
n
jestoperatoremzwartymdlapewnego
n
∈
N
?Czywynikaz
tego,że
T
jestoperatoremzwartym?
H7.OperatoryHilberta-Schmidta.
H
jestprzestrzeniąHilberta.Operatorliniowy
T
:
H
→
H
nazywamyoperatorem
Hilberta-Schmidta
,gdyistniejebazaortonormalna(
e
n
)
n
w
H
taka,że
∑
n
∥
2
<
Te
n
∥
∞
.
Pokaż,że
(a)KażdyoperatorHilberta-Schmidtajestciągły.
(b)Jeśli
T
jestoperatoremHilberta-Schmidta,todlakażdejbazyortonormalnej(
x
n
)
n
w
H
zachodzi
∑
n
∥
2
<
Tx
n
∥
∞
isumataniezależyodwyborubazy.
(c)ZbiórwszystkichoperatorówHilberta-Schmidtana
H
jestprzestrzeniąHilbertaznormą
∥
HS
=
(
∑
2
)
1
/
2
∥
T
n
∥
Te
n
∥
,
gdzie(
e
n
)
n
jestdowolnąbaząortonormalnąw
H
.
(d)KażdyoperatorHilberta-Schmidtajestzwarty.
(e)Niech
K
(
x,y
)
∈L
2
([0
,
1]
2
)ioperator
T
K
:
L
2
[0
,
1]
→L
2
[0
,
1]jestokreślonywzorem
(
T
K
f
)(
x
)=
∫
1
0
K
(
x,y
)
f
(
y
)
dy.
Pokaż,że
T
K
jestHilberta-Schmidta.Pokaż,żekażdyoperatorHilberta-Schmidtana
L
2
[0
,
1]
jesttejpostaci.
Plik z chomika:
mwt3
Inne pliki z tego folderu:
zestaw11.pdf
(27 KB)
zestaw03.pdf
(34 KB)
zestaw08.pdf
(39 KB)
zestaw01.pdf
(70 KB)
zestaw02.pdf
(40 KB)
Inne foldery tego chomika:
zadania01
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin