zestaw09.pdf

(32 KB) Pobierz
AF1*–Zadaniazdnia01/12/2011
Zadaniadomowe:
H1. Dlafunkcjicałkowalnej f :[0 , 1]
określamy
( Vf )( x )= ∫ x
0
→ R
f ( t ) dt (operatorVolterry)
(a)Czy V jestzwartyjakooperatorliniowyna C [0 , 1]?
(b)Czy V jestzwartyjakooperatorliniowyna L p [0 , 1],1
p<
∞
?
: L 1 (
H2. CzytransformataFouriera
F
R
)
→
C 0 (
R
)jestoperatoremzwartym?
2 .
AA ∗ ∥
H3. H jestprzestrzeniąHilbertai A
∈
L ( H ).Pokaż,że
∥
=
∥
A
∥
L ( L 2 [0 , 1])oznaczaoperatorVolterry.Wyznaczoperator VV ∗ .Oblicz
H4. Niech V
∈
∥
V
∥
.
H5. Naprzestrzenifunkcjiklasy C 1 naodcinku[0 , 1]określamynormęwzorem
2 = ∫ 1
2 dt + ∫ 1
f ′ ( t )
2 dt.
∥
f
∥
0 |
f ( t )
|
0 |
|
Uzupełnienieprzestrzeni C 1 [0 , 1]wtejnormieoznaczamyprzez H 1 [0 , 1].Pokaż,że H 1 [0 , 1]to
przestrzeńHilberta.Pokaż,żewłożenieidentycznościoweId: H 1 [0 , 1]
L 2 [0 , 1]jestoperatorem
→
zwartym.
H6. X jestprzestrzeniąBanachai T n jestoperatoremzwartymdlapewnego n
∈ N
?Czywynikaz
tego,że T jestoperatoremzwartym?
H7.OperatoryHilberta-Schmidta. H jestprzestrzeniąHilberta.Operatorliniowy T : H
→
H
nazywamyoperatorem Hilberta-Schmidta ,gdyistniejebazaortonormalna( e n ) n w H taka,że
∑
n ∥
2 <
Te n ∥
∞
.
Pokaż,że
(a)KażdyoperatorHilberta-Schmidtajestciągły.
(b)Jeśli T jestoperatoremHilberta-Schmidta,todlakażdejbazyortonormalnej( x n ) n w H
zachodzi
∑
n ∥
2 <
Tx n ∥
∞
isumataniezależyodwyborubazy.
(c)ZbiórwszystkichoperatorówHilberta-Schmidtana H jestprzestrzeniąHilbertaznormą
∥ HS = ( ∑
2 ) 1 / 2
∥
T
n ∥
Te n ∥
,
gdzie( e n ) n jestdowolnąbaząortonormalnąw H .
(d)KażdyoperatorHilberta-Schmidtajestzwarty.
(e)Niech K ( x,y ) ∈L 2 ([0 , 1] 2 )ioperator T K : L 2 [0 , 1] →L 2 [0 , 1]jestokreślonywzorem
( T K f )( x )= ∫ 1
0
K ( x,y ) f ( y ) dy.
Pokaż,że T K jestHilberta-Schmidta.Pokaż,żekażdyoperatorHilberta-Schmidtana L 2 [0 , 1]
jesttejpostaci.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin