ciagi_i_szeregi_zad.pdf

Zadania z zastosowa« matematyki w ekonomii i zarz¡dzaniu

2. Zadania do tematu ci¡gi i szeregi

2.1. Maj¡c dany wzór nanty wyraz ci¡gu:a n =f(n)=3n+1, zapisz ci¡g niesko«czony za pomoc¡

pierwszych kilku wyrazów ci¡gu.

2.2. Maj¡c dany wzór ogólny nanty wyraz ci¡gua n , wyznacz pierwszych pi¦¢ wyrazów ci¡gu:

a)a n = n2

3 ; b)a n = 2

5n ; c)a n = 6

2n+1 ;

d)a n = n+2

3n4 ; e)a n = 2 n

5n ; f)a n = 3 n+1

n+4 ;

g)a n =(1) n (2n3); h)a n =(1) n+1 n 2 ; i)a n =(1) n1 2 n

3 n +1 :

Czy który± z tych ci¡gów jest ci¡giem arytmetycznym lub geometrycznym?

2.3. Wyznacz zadany wyraz ci¡gu:

a)a n =5n7;wyznacza 6 ,

b)a n = 1

2n+7 ;wyznacza 12 ,

c)a n = 65n

2 n ;wyznacza 8 ,

d)a n =(1) n (3n+5);wyznacza 15 .

2.4. Znajd¹ wzór na wyraz ogólny dla podanych ci¡gów liczbowych:

a) 7, 12, 17, 22, 27, ...,

b) 5, 7, 9, 11, ...,

c) -8, 9, -10, 11, -12, ...,

d) 1, 1

4 ; 1

8 ; 1

16 ;...,

3 ; 3

4 ; 4

5 ; 5

6 ; 6

7 ;:::

2.5. Dla danych ci¡gów znajd¹ sumy cz¦±cioweS 1 ;S 2 ;S 3 iS 4 :

a)a n =5n+2,

b)a n =(1)(n4),

c)a n =2n5,

d)a n =(1) n (2n2).

2.6. Rozwi« nast¦puj¡ce sumy cz¦±ciowe. Wylicz je.

2 ; 1

e) 2

(1) k (2k1),

(5j+1),

(2i3),

j=1

k=1

i=0

2 :

(1) n (2n2); e)

(20+2i); f)

i=3

i=2

i=5

2.7. Zapisz sumy cz¦±ciowe u»ywaj¡c znaku sumowania P .

a)1+2+3+4+5,

b)1+3+5+7,

1 + 2

2 + 3

4 + 4

8 + 5

16 ,

d) 5+25125+625; e)25+811+14; f)5+9+13+17+21:

2.8. Sprawd¹ czy ci¡g jest ci¡giem arytmetycznym. Je»eli tak, znajd¹ ró»nic¦ ci¡gud.

a)7;11;15;19;:::,

b)8;5;2;1;:::,

c) 10;4;2;8;14;:::,

d)1;3;9;12;36;:::,

e) 1 2 ; 1 2 ; 3 2 ; 5 2 ;:::,

f)3;5;8;10;12;:::.

2.9. Na podstawie podanych charakterystyk znajd¹ zadany wyraz ci¡gu arytmetycznego.

a)a 1 =4;d=5;znajd¹a 16 ,

b)a 4 =2;d= 1 2 ;znajd¹a 10 ,

c)a 1 =10;d=3;znajd¹a 16 ,

d)a 1 = 1 3 ;d= 2 3 , znajd¹a 14 ,

e)4;13;22;31;:::;znajd¹a 19 ,

f) 1;5;11;17;:::;znajd¹a 12 ,

g)5;8;11;14;:::;znajd¹a 28 ,

h) 27;24;21;:::;znajd¹a 14 .

2.10. Oblicz sum¦:

(3i1),

(3i+5),

i=1

( 2

(4j+6),

3 k+4).

j=1

k=1

2.11. Sprawd¹ czy ci¡g jest ci¡giem geometrycznym. Je»eli tak, znajd¹ iloraz ci¡guq.

a)4;12;36;108;:::,

b)6;12;36;72;:::,

c) 1; 1 2 ; 1 4 ;:::,

d)12;4; 4 3 ;:::.

2.12. Na podstawie podanych charakterystyk znajd¹ zadany wyraz ci¡gu geometrycznego.

a)a 1 =3;q=2;znajd¹a 10 ,

b)a 1 =1;q=4;znajd¹a 6 ,

c)a 1 =10;q=1;znajd¹a 101 ,

d)a 1 =25;q= 1 5 , znajd¹a 4 ,

e)2;10;50;250;:::;znajd¹a 7 ,

f)8;12;18;:::;znajd¹a 10 ,

g)27;18;12;:::;znajd¹a 13 ,

h)3;6;12;:::;znajd¹a 11 .

c) 1

2.13. Oblicz sum¦:

3 i ,

4 i ,

i=1

(2) i ,

i=1

2.14. Oblicz sum¦ szeregu geometrycznego:

a)a 1 =2;q= 1 2 ,

b)a 1 =2;q= 1 3 ,

c)a 2 =4;q= 1 2 ,

d)a 1 = 5 6 ,

k=1

j=1

j+1

i=1

j=1

2.15. Znajd¹ granic¦ ci¡gu:

a)a n = n 3 2n 2 1

4n 3 n+2 ,

b)a n = 3n 2 6n+2

5n 2 8n ,

c)a n = x 2 8

x 3 6x 2 +5 ,

d)a n = 1 n 2 (1+2+:::+n),

e)a n = 2n

n 2 +1 ,

f)a n = n

n+ 5 p

n 5 +1 ,

g)a n = (n+1) 5 +(n+2) 5 +:::+(n+100) 5

n 5

h)a n = 2 n +100

3 n +1 .

2.16. Znajd¹ granic¦ korzystaj¡c ze wzoru:

1+ 1

lim

n!1

=e:

n+1

n+2

3n1

3n+1

n+4

a)a n =

b)a n =

3n 2 +1

3n 2 1

3n 2

n+2

n+1

n n+2

n+1

c)a n =

d)a n =

1+ 1

n 2

e)a n =

Zastosowania w ekonomii

2.17. Jan Kowalski rozpoczyna prac¦ w nowej ﬁrmie. Jego wynagrodzenie wynosi 24 000 zł rocznie i ma

co roku wzrasta¢ o 3 000 zł rocznie przez pierwszych 5 lat.

a) Zapisz ci¡g odzwierciedlaj¡cy wynagrodzenie w przeci¡gu 5 lat.

b) Wyznacz ogólny wzór nanty wyraz ci¡gu.

c) Gdyby tak¡ polityk¦ płacow¡ pracodawca kontynuował przez kolejne lata, to ile wyniosłoby

roczne wynagrodzenie w 15 roku pracy?

2.18. Nowe przedsi¦biorstwo sprzedaje 20 sztuk produktu w pierwszym miesi¡cu działalno±ci. Nast¦pnie

sprzeda» wzrasta o 20 sztuk w ka»dym kolejnym miesi¡cu. Ile wynosi całkowita liczba sprzedanych

towarów na koniec szóstego miesi¡ca działalno±ci tego przedsi¦biorstwa?

2.19. Przedsi¦biorstwo sprzedaje 8 000 ton produktu w pierwszym roku działalno±ci. W kolejnych latach

sprzeda» spada o 10% w ka»dym roku w stosunku do roku poprzedniego. Zapisz wyra»enie opisuj¡ce

sum¦ sprzeda»y w ci¡gunlat oraz wylicz j¡ dlan=3.

2.20. Na podstawie danych z tabeli poni»ej, przedstawiaj¡cych ceny i proporcje wydatków, oblicz stop¦

inﬂacji pomi¦dzy rokiem 0 i 1. Porównaj otrzymane wyniki ze wzrostem cen »ywno±ci i towarów

bezalkoholowych. Przy rozwi¡zywaniu zadania posłu» si¦ indeksem cen Laspeyresa.

udział procentowy ceny ceny

w wydatkach w roku 0 w roku 1

(q i ) (p 0 ) (p 1 )

ywno±¢ i napoje bezalkoholowe

Napoje alkoholowe i wyroby tytoniowe

Odzie» i obuwie

120

133

U»ytkowanie mieszkania i no±niki energii

275

280

Wyposa»enie mieszkania

130

134

Zdrowie

Rekreacja i kultura

Inne towary i usługi

2.21. Zakładamy, »e dane dotycz¡ce wydatków i cen z poprzedniego zadania pozostaj¡ niezmienione, za

wyj¡tkiem wzrostu ceny odzie»y i obuwia do 150 zł w roku 1. Oblicz nowe stopy inﬂacji i now¡

stop¦ realnego wzrostu cen »ywno±ci.

2.22. Szok wywołany wprowadzeniem innowacji technicznych spowodował trwały wzrost mo»liwo±ci in-

westycyjnych o 100 j.p. Przy dotychczasowej wielko±ci inwestycji na poziomie 1000 j.p. dochód

narodowy wynosił 20000 j.p. Oblicz warto±¢ mno»nika, je»eli kra«cowa skłonno±¢ do konsumpcji

wynosi 0,75. O ile wzrósł dochód narodowy?

Zastosowania w matematyce ﬁnansowej - warto±¢ pieni¡dza w czasie

2.23. Kwot¦ 1000 zł lokujemy w banku, w którym roczna stopa procentowa wynosi 10%, a odsetki s¡

kapitalizowane co kwartał. Oblicz stan konta na koniec 5 roku.

2.24. Ile powinno wynosi¢ oprocentowanie lokaty, aby po upływie 6 lat potroi¢ posiadany kapitał?

2.25. Firma ubezpieczeniowa zaproponowała ubezpieczonemu:

(a) natychmiastowe, jednorazowe odszkodowanie w wysoko±ci 7000 zł,

(b) wypłat¦ odszkodowania po roku w wysoko±ci 8000 zł.

Która forma wynagrodzenia jest korzystniejsza, je±li roczna stopa procentowa wynosi 12%?

2.26. Jaka b¦dzie warto±¢ działki za 10 lat, je±li kupili±my j¡ za 200000 zł i przewidujemy, »e jej warto±¢

b¦dzie rosła o 10% rocznie?

2.27. Która z ofert jest korzystniejsza przy rocznej stopie procentowej lokat 4,5%:

(a) sprzeda» samochodu za 30 000 zł i zapłacie natychmiastowej,

(b) sprzeda» samochodu za 32 000 zł i zapłacie za pół roku?

2.28. W wyniku zainwestowania 10 000 zł po 4 latach otrzymujemy 13 000 zł. Oblicz roczn¡ stop¦

procentow¡.

2.29. Mamy do wyboru dwa banki. W pierwszym oprocentowanie lokaty wynosi 6% rocznie, a odsetki

s¡ kapitalizowane co kwartał. Drugi bank oferuje oprocentowanie 5% i kapitalizacj¦ odsetek co

miesi¡c. Który bank ma wybra¢ klient?

2.30. Jak¡ kwot¡ b¦dziemy dysponowa¢ przy ko«cu 8 roku, je±li teraz wpłacimy 3000 zł, a w ka»dym

nast¦pnym roku po 500 zł, przy rocznej stopie procentowej 4%?

2.31. Wyprowad¹ wzór na obliczanie warto±ci przyszłej kapitału przy kapitalizacji ci¡głej.

2.32. Ile powinni±my ulokowa¢ w banku, aby stan konta po 6 latach wynosił 10 000 zł, je±li roczna stopa

procentowa wynosi 8% i odsetki s¡ kapitalizowane w sposób ci¡gły?

2.33. Jaka b¦dzie roczna spłata kredytu 10 000 zł zaci¡gni¦tego na 6 lat, gdy roczna stopa procentowa

wynosi 12 %?

2.34. Jak¡ kwot¦ nale»y wpłaci¢ teraz na 10 %, aby przez kolejnych 5 lat otrzymywa¢ kwoty po 5000 zł?

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: