7. granica_i_ciaglosc_funkcji.pdf

(144 KB) Pobierz
552652645 UNPDF
Granicaici¡g“o–¢funkcji
zmiennejrzeczywistej
Wyk“adnr7(Budownictwo)
•Podstawoweokre–lenia
•Twierdzeniaogranicachw“a–ciwychiniew“a–ciwychfunkcji
•Ci¡g“o–¢funkcji
De nicja1.(Heinego 1 granicyw“a–ciwejfunkcjiwpunkcie)
M ó wimy,»efunkcjafmawpunkciex 0 granicƒw“a–ciw¡g,cozapisujemy:
x!x 0 f(x)=g,
wtedyitylkowtedy,gdydlaka»degoci¡gu(x n )owyrazzezbioruD f \{x 0 }
izbie»negodopunktux 0 ci¡g(f(x n ))jestzbie»nydopunktug,tzn.
8 x n D f \{x 0 } h lim
n!1 x n =x 0 =) lim
n!1 f(x n )=g i .
De nicja2.(Heinegogranicyw“a–ciwejlewostronnejfunkcji
wpunkcie)
M ó wimy,»efunkcjafmawpunkciex 0 granicƒw“a–ciw¡lewostronn¡g,co
zapisujemy:
lim
x!x − 0
f(x)=g,
wtedyitylkowtedy,gdydlaka»degoci¡gu(x n )owyrazzezbioruD f \{x 0 }
itakich,»ex n <x 0 ,zbie»negodopunktux 0 ci¡g(f(x n ))jestzbie»nydo
punktug,tzn.
h lim
=) lim
n!1 f(x n )=g i .
8 x n D f \{x 0 },x n <x 0
n!1 x n =x 0
De nicja3.(Heinegogranicyw“a–ciwejprawostronnejfunkcjiwpunkcie)
M ó wimy,»efunkcjafmawpunkciex 0 granicƒw“a–ciw¡prawostronn¡g,co
zapisujemy:
lim
x!x + 0
f(x)=g,
wtedyitylkowtedy,gdydlaka»degoci¡gu(x n )owyrazzezbioruD f \{x 0 }
itakich,»ex n >x 0 ,zbie»negodopunktux 0 ci¡g(f(x n ))jestzbie»nydo
punktug,tzn.
h
=)
i
8 x n D f \{x 0 },x n >x 0
n!1 x n =x 0
lim
n!1 f(x n )=g
lim
.
De nicja4.(Heinegogranicyniew“a–ciwejfunkcjiwpunkcie)
M ó wimy,»efunkcjafmawpunkciex 0 granicƒniew“a–ciw¡1,cozapisu-
jemy:
x!x 0 f(x)=1,
wtedyitylkowtedy,gdy
8 x n D f \{x 0 } h lim
n!1 x n =x 0
=) lim
n!1 f(x n )=1 i .
1
EduardHeinrichHeine(1821-1881)-matematykniemiecki.
1
lim
lim
Twierdzenie1.(warunekkoniecznyiwystarczaj¡cyistnieniagranicy)
Funkcjafmawpunkciex 0 granicƒw“a–ciw¡(niew“a–ciw¡)wtedyitylko
wtedy,gdy
lim
x!x − 0
f(x)=lim
x!x + 0
f(x).
Wsp ó lnawarto–¢granicjednostronnychjestwtedygranic¡funkcji.
De nicja5.(Heinegogranicyw“a–ciwejfunkcjiwniesko«czono–ci)
M ó wimy,»efunkcjafmaw1granicƒw“a–ciw¡g,cozapisujemy:
x!1 f(x)=g,
lim
wtedyitylkowtedy,gdy
8 x n D f
h lim
n!1 x n =1 =) lim
n!1 f(x n )=g i .
Uwaga1.Wanalogicznyspos ó bokre–lasiƒgranicƒw“a–ciw¡funkcjiw−1.
De nicja6.(Heinegogranicyniew“a–ciwejfunkcjiwniesko«czono–ci)
M ó wimy,»efunkcjafmaw1granicƒniew“a–ciw¡1,
cozapisujemy:
x!1 f(x)=1,
lim
wtedyitylkowtedy,gdy
8 x n D f
h
n!1 x n =1
=)
n!1 f(x n )=1 i
lim
.
Uwaga2.Wanalogicznyspos ó bokre–lasiƒgranicƒniew“a–ciw¡funkcjiw
−1.
Twierdzenie2.(oarytmetycegranicfunkcji)
Je»elifunkcjefigmaj¡granicew“a–ciwewpunkciex 0 ,to
1. lim
x!x 0 f(x)±lim
x!x 0 g(x),
x!x 0 (c·f(x))=c·lim
x!x 0 f(x),gdziec2 R ,
x!x 0 (f(x)·g(x))=lim
x!x 0 f(x)·lim
x!x 0 g(x),
x!x 0 f(x)
lim
f(x)
g(x) =
4. lim
x!x 0
x!x 0 g(x) ,oilelim
x!x 0 g(x)6=0,
lim
x!x 0
g(x)
x!x 0 (f(x)) g(x) =
x!x 0 f(x)
.
2
lim
x!x 0 (f(x)±g(x))=lim
2. lim
3. lim
lim
5. lim
lim
Uwaga3.Powy»szetwierdzenias¡prawdziwetak»edlagranicjednostron-
nychfunkcjiwpunkciex 0 orazdlagranicw−1i1.
‚ wiczenie1.Korzystaj¡cztwierdze«oarytmetycegranicoblicz:
x 3 −1
x 4 −1 ;
a)lim
x!1
2·5 x −2 x
3 x −4 ·5 x ;
b)lim
x!1
p
x−1−2
x−5 .
Twierdzenie3.(ogranicyfunkcjiz“o»onej)
Je»elifunkcjefigspe“niaj¡warunki:
1.lim
c)lim
x!5
x!x 0 f(x)=y 0 ,
2.f(x)6=y 0 dlaka»degox2D f \{x 0 },
3.lim
y!y 0 g(y)=q,
tolim
x!x 0 g(f(x))=q.
Uwaga4.Powy»szetwierdzeniejestprawdziwetak»edlapozosta“ychtyp ó w
granic.
‚ wiczenie2.Korzystaj¡cztwierdzeniaogranicyfunkcjiz“o»onejoblicz:
a)lim
x!0 −
1
sinx ; b)lim
x .
Granicepodstawowychwyra»e«nieoznaczonych
x!1 e 1 x ; c)lim
x!0 + arctan 1
lim
x!0
a x −1
x =lna lim
sinx
x =1 lim
x!0
e x −1
x =1
lim
x!0
log a (1+x)
x!0
ln(1+x)
x =1
lim
x!0
x =log a e lim
1+ 1
x
x
x!0
1− 1
x
x
= 1
e
lim
x!±1
=e lim
x!±1
arcsinx
x =1 lim
arctanx
x =1
lim
x!0
x!0
‚ wiczenie3.Obliczpodanegranice:
a)lim
x!0
3x+5
3x+7
x+1
b)lim
x!1
;
1
2x−
c)lim
x! 2
(1+cosx)
.
3
tanx
x =1
sin7x
sin5x ;
552652645.001.png 552652645.002.png
De nicja7.(funkcjaci¡g“awpunkcie)
Funkcjafjestci¡g“awpunkciex 0 wtedyitylkowtedy,gdy
x!x 0 f(x)=f(x 0 ).
lim
Uwaga5.Funkcjajestci¡g“awpunkcie,gdyjejwykresnie przerywa siƒw
tympunkcie.
De nicja8.(funkcjaci¡g“anazbiorze)
Funkcjajestci¡g“anazbiorze,je»elijestci¡g“awka»dympunkcietegozbioru.
Uwaga6.Funkcjajestci¡g“anazbiorze,gdyjejwykresmo»nanarysowa¢
bezodrywaniarƒkiodrysunku.
De nicja9.(nieci¡g“o–¢funkcji)
Funkcjafjestnieci¡g“awpunkciex 0 wtedyitylkowtedy,gdynieistnieje
granicalim
x!x 0 f(x)6=f(x 0 ).
Twierdzenie4.(oci¡g“o–cisumy,r ó »nicy,iloczynuiilorazu)
Je»elifunkcjefigs¡ci¡g“ewpunkciex 0 ,to
1.funkcjaf±gjestci¡g“awpunkciex 0 ;
2.funkcjaf·gjestci¡g“awpunkciex 0 ;
3.funkcja f
g jestci¡g“awpunkciex 0 ,oileg(x 0 )6=0.
Twierdzenie5.(oci¡g“o–cifunkcjiz“o»onej)
Je»elifunkcjafjestci¡g“awpunkciex 0 ifunkcjagjestci¡g“a
wpunkciey 0 =f(x 0 ),tofunkcjaz“o»onagfjestci¡g“a
wpunkciex 0 .
‚ wiczenie4.Zbada¢ci¡g“o–¢funkcji
8 <
x 2 −1
|x−1| dlax6=1
−2 dlax=1
f(x)=
:
.
‚ wiczenie5.Dlajakicha,b2 R funkcja
8
> > <
ax−sinx
x dlax>0
b dlax=0
e 1 x dlax<0
g(x)=
> > :
jestci¡g“a.
4
x!x 0 f(x)albolim
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin