ARYT-ZAD+ROZW.pdf

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

Lista nr 0

1. Znajd podstaw x systemu naturalnego, w którym: a)

41 =

, b)

22 =

c) a 2 =301 x , d) b 2 =562 x

2. Znajd podstaw B systemu naturalnego, w którym liczby naturalne x 1 oraz x 2 s rozwi zaniami

równania ax 2 + bx + c =0. Wykonaj obliczenia dla x 1 = 5 B , x 2 = 8 B i równania 5 B x 2 –50 B x +125 B =0.

3* Znajd podstaw systemu naturalnego, w którym równanie ax 2 + bx + c =0 ( a,b,c Î ) ma pierwiastki

całkowite. *Rozwi zadanie zakładaj c, e a,x 1 ,x 2 s liczbami jednocyfrowymi, b = b 1 B+ b 0 jest liczb

dwucyfrow , za c = c 2 B 2 + c 1 B+ c 0 , c 2 = 0 lub 1. Wykonaj obliczenia dla x 1 = 5 B , x 2 = 8 B oraz a = 1 i 3.

4. Wyka , e w standardowym systemie naturalnym o podstawie B suma warto ci cyfr iloczynu liczby

jednocyfrowej przez B − 1 jest stała. Ułó tabliczki mno enia w systemach o bazie B = 5, 7, 9, 11, 13.

5. Wyka , e w dowolnym systemie naturalnym suma cyfr iloczynu dowolnej liczby jednocyfrowej przez

najwi ksz liczb dwucyfrow |{B–1, B–1}| B jest stała. *Uogólnij wynik dla k ×|{B–1, … , B–1, B–1}| B

6. Oblicz metod pisemn iloczyn 0,324 B × 2,41 B i iloraz 43,4 B : 3,2 B dla B= 5, 7, 9, 11, 13 oraz dla B= A 2 ,

korzystaj c z tabliczki mno enia w systemie o podstawie A= 3, 4.

9 grudnia 2008

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

Lista nr 1

1. Przeprowad konwersje podstawy (bazy), z dokładno ci do 4 cyfr cz ci ułamkowej wyniku:

a) 674,581 10 = (…) 16 = (…) 4

b) 0CD,12 16 = (…) 2 = (…) 10

c) 3,012 8 = … (…) 2 …= (…) 16

d) 34,56 10 ×2 –5 = (…) 2 = (…) 16

e) 102,21 3 ×5 –2 = (…) 5

f) 0BACA 16 ×5 –3 = (…) 10

g) 6745,81 9 = (…) 7 = (…) 10

h) 0AA,12 11 = (…) 10 = (…) 9

i) 102,21 3 ×15 –2 = (…) 5

j) 34 7 /56 7 = (…) 2

k) 234,(56) 9 = (…) 7

l) 12,3(45) 7 = (…) 10 = (…) 11

2* Wyka , e je li istnieje nierozkładalny podzielnik podstawy ródłowej, który nie jest podzielnikiem

podstawy docelowej, to wynikiem konwersji ułamka sko czonego jest ułamek okresowy.

3. Znajd system o najmniejszej podstawie, w którym reprezentacja danego ułamka jest sko czona:

a) 0,(27) 10 b) 0,(101) 2 c) 1 – 0,(56) 9 d) 0,0(0011) 2 e) 0,(35) 11 – 0,(2) 11 f) 0,1(23) 7

4. Zapisz w systemie SD o podstawie B= 5, 7, 8 i w zbiorze cyfr D ={0, 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , … , 1 / 2 B, 1 / 2 B } :

a) – 674581 10

b) + 674581 10 c) + 0A12 16

d) – 0A12 16

e) – 3012 8

f) + 3012 8

g) – 4456 7

h) + 4456 7

453

k) – 4456 7

l) – 4456 7

5. Zapisz w systemie uzupełnieniowym do 2 (U2) liczby:

a) – 674581 10

b) – 0A12 16

c) – 3012 8

d) – 3456 10

e) – 4456 7

6. Zapisz w systemie uzupełnieniowym do 8 (U8) i uzupełnieniowym do 16 (U16) liczby:

a) – 674581 10 b) – 0A12 16 c) – 3012 8 d) – 3456 10 e) – 4456 7

7. Zapisz w systemie SD o podstawie B= 5, 7, 8 i wzbiorze cyfr D ={0, 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , … , 1 / 2 B, 1 / 2 B } :

a) – 0,674581 10 b) – 0,A12 16

c) – 0,312 8

d) + 0,456 10

e) 4,56 10 – 4,5(6) 10

8. Zapisz w systemie uzupełnieniowym do 2 (U2) z o mioma bitami cz ci ułamkowej liczby:

a) – 0,674581 10 b) – 0,A12 16

c) – 0,312 8

d) + 0,456 10

e) 4,56 10 – 4,5(6) 10

9. Zapisz w systemie uzupełnieniowym do 8 (U8) i uzupełnieniowym do 16 (U16) liczby:

a) – 0,674581 10 b) – 0,A12 16

c) – 0,312 8

d) + 0,456 10

e) 4,56 10 – 4,5(6) 10

A. Wyka , e w systemie naturalnym przeniesienie otrzymane podczas dodawania lub po yczka podczas

odejmowania dwóch liczb na ka dej pozycji s zawsze równe 0 lub 1.

B. Opracuj algorytm dodawania i odejmowania liczb zapisanych w systemie znak-moduł (SM). Przyjmij,

e znak liczby jest kodowany standardowo (0 – plus, 1 –minus).

C* Opracuj algorytm dodawania i odejmowania w systemie naturalnym z niestandardowym zbiorem cyfr.

D. Oblicz odpowiednio warto ci najwi kszej i najmniejszej liczby całkowitej, reprezentowanych przez

ła cuch k cyfr w systemie: a) naturalnym o podstawie B, b) negabazowym, c) z cyframi znakowanymi,

d)* uzupełnieniowym pełnym i niepełnym, e)* spolaryzowanym „+ 1 / 2 B k –1 ” oraz „+ 1 / 2 B k –1 –1”.

E* Wyka , e w systemach uzupełnieniowych pełnych o bazach skojarzonych konwersj podstawy mo na

wykona przez grupowanie (B® B S ) lub dekompozycj cyfr (B S ® B).

F* Opracuj algorytm dodawania w systemie SD z symetrycznym minimalnym zbiorem cyfr.

9 grudnia 2008

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

Lista nr 2

1. Zapisz w systemie uzupełnieniowym do 2 (U2) z o mioma bitami cz ci ułamkowej liczby:

a) – 674,581 10

b) – 0A,12 16

c) – 3,012 8

d) + 34,56 10

e) 4,56 10 – 4,5(6) 10

Porównaj otrzymane kody z notacj w systemie uzupełnie do 1 (U1) i systemie znak-moduł (SM)

2. Dodaj i odejmij liczby 4-cyfrowe podane w dziesi tnym uzupełnieniowym systemie pełnym (U10):

a) 6745 ± 8123

b) 9,745 ± 0,8(23)

c) 31,56± 84,23

d) 9,994± 9,916

U ywaj c lewostronnego rozszerzenia zweryfikuj poprawno wyników otrzymanych na 4 pozycjach.

3* Wyka , e w dodawaniu lub odejmowaniu w systemie stałobazowym i uzupełnieniowym u ycie cyfr

lewostronnego rozszerzenia operandów wystarczy do wykrycia nadmiaru (przekroczenia zakresu).

4. Wykonaj zmian znaku liczby danej w quasi-symetrycznym kodzie spolaryzowanym +2 k oraz +2 k −1

a) 10101001

b) 0101010

c) 1100001

c) 00110101

5. Zakładaj c, e podane 8 - bitowe sekwencje zero-jedynkowe reprezentuj liczby w kodzie

a) naturalnym (NB)

b) uzupełnieniowym pełnym (U2)

c) uzupełnieniowym niepełnym (U1)

d) znak-moduł (SM) e) spolaryzowanym „+2 8–1 –1”

f) spolaryzowanym „+2 8–1 ”.

oblicz sum i ró nic liczb o kodach: i) 10011101 i 01111001, ii) 11011101 i 10111101. Sprawd

poprawno wyników wykonuj c działanie odwrotne (suma – argument, ró nica + odjemnik)

6. Znaj c kilka najbardziej znacz cych bitów liczb n -bitowych w kodzie uzupełnieniowym U2, sprawd ,

czy w ich dodawaniu i odejmowaniu wyst pi nadmiar:

a) 11101010..?? ± 10011110..?? b) 1011010..?? ± 1001110..??

c) 011101..?? ± 11011001..??

7. Korzystaj c z zale no ci

−

i zakładaj c, e liczby s dane w systemie naturalnym, oblicz:

a) 6745 – 8123

b) 9,745 – 0 , 823

c) 34,56– 81,23

d) 10011101 2 – 01111001 2

Sprawd otrzymane wyniki wykonuj c działania odwrotne (ró nica + odjemnik).

8. Wyka , e w systemie naturalnym lub uzupełnieniowym pełnym mno enie liczb m –pozycyjnych nie

powoduje nadmiaru, je li wynik jest kodowany na co najmniej 2 m pozycjach.

9. Wynik mno enia m –bitowych liczb w kodzie U2 jest kodowany na 2 m –1 bitach. Czy jest mo liwe

wyst pienie nadmiaru, a je li tak to przy jakich warto ciach mno nej i mno nika?

A. Wykonaj mno enie liczb w dwójkowym kodzie uzupełnieniowym pełnym (U2): a) u ywaj c bitów

rozszerzenia, b) stosuj c przekodowanie iloczynów cz ciowych eliminuj ce rozszerzenia:

a) 110101×011011 b) 011101×110111 c) 101001×111111

d) 1101010×1111101.

B. Poka , e w systemie naturalnym dwójkowym i systemie uzupełnieniowym do 2 mno enie przez stał ,

która jest sum lub ró nic pot g dwójki mo na wykona jako dodawanie skalowanej mno nej.

C. Oblicz iloczyn liczb 4-cyfrowych podanych w uzupełnieniowym systemie pełnym (U10/U8):

a) 6745 U10 × 8123 U10 b) 9745 U10 × 0823 U10

c) 3156 U10 × 8423 U10

d) 9994 U10 × 9916 U10

e) 5745 U8 × 7123 U8 f) 7745 U8 × 0723 U8

g) 3156 U8 × 6423 U8

h) 7774 U8 × 7716 U8

D* Zaproponuj rozszerzenie metody mno enia bez rozszerze na systemy uzupełnieniowe U8 i U16.

9 grudnia 2008

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

Lista nr 3

1. Zakoduj na 8 bitach według prostej i alternatywnej reguły Booth’a i Booth’a-McSorley’a:

a) –817 10

b) +1321 10

c) 10111101 2

d) 1011101 U2

e)* 1011101 (–2)

2. U ywaj c przekodowania Booth’a oraz Booth’a-McSorley’a i przyjmuj c, e operandy s w kodzie

A) dwójkowym naturalnym, B) uzupełnieniowym U2, C)* dopełnieniowym U1, oblicz iloczyny:

a) 11000101×01110011 b) 011101×11011110

c) 101001×1011111 d) 010011×010111110.

3. Wykonuj c dzielenie odtwarzaj ce (metod sekwencyjn „kolejnych reszt”) oblicz z dokładno ci do 4

pozycji znacz cych iloraz liczb reprezentowanych w systemie uzupełnieniowym pełnym

a) 01010011 U2 : 1011 U2 b) 1010011 U2 : 01011 U2 c) 576 U10 : 176 U10

d) 424 U10 : 824 U10

e) 6465 U10 : 353,5 U10

f) 6465 U8 : 353,5 U8

g) 5465 U10 : 150,7 U10

h) 2465 U8 : 753,5 U8 .

Sprawd poprawno otrzymanych wyników wykonuj c mno enie.

4. Wykonaj w kodzie U2 z dokładno ci do 5 cyfr znacz cych ilorazu dzielenie nieodtwarzaj ce liczb:

a) 110101 : 011011

b) 011101 : 110111

c) 101001 : 11111

d) 101001 : 10011,

e) 1,10101 : 01101,1

f) 0,11101 : 110,111

g) 1010,01 : 111,11

h) 101001 : 100,11.

Sprawd , wykonuj c mno enie, poprawno otrzymanych wyników.

5. Oblicz metod nieodtwarzaj c z dokładno ci do 4 cyfr znacz cych iloraz liczb naturalnych (NB):

a) 110101 2 : 011011 2 b) 011101 2 : 110111 2

c) 101001 2 : 11111 2

d) 101001 2 : 10011 2 ,

e) 1,10101 2 : 01101,1 2 f) 0,11101 2 : 110,111 2 g) 1010,01 2 : 111,11 2

h) 101001 2 : 100,11 2 .

6. Oblicz metod sekwencyjn („kolejnych reszt”) pierwiastek kwadratowy z liczb

a) 123456 7 , b) 1010 0010 0111 1100 2 , c) 987654321 10 d) 123,456 7 , e) 10100 0100,1111 100 2

z dokładno ci do jednej, dwóch i siedmiu cyfr znacz cych oraz podaj trzeci i czwart reszt .

7. Dane s 3 cyfry przybli enia pierwiastka kwadratowego i trzecia reszta. Podaj dwie kolejne cyfry, je li:

a) Q 3 =123 7 , r 3 =3456 7 , b) Q 3 =123 10 , r 3 = 3456 10 , c) Q 3 =101 2 , r 3 =11101 2 ,

8. Dane jest przybli enie pierwiastka kwadratowego z dokładno ci do 4 cyfr znacz cych i czwarta reszta

równa 0. Oszacuj warto liczby pierwiastkowanej, je li: a) Q 4 =12,34 7 , b) Q 4 =1,234 10 , c) Q 4 =1101 2 .

9. Oblicz metod nieodtwarzaj c z dokładno ci do 5 cyfr znacz cych pierwiastek kwadratowy z liczb:

a) 1010 0010 0111 1100 2 , b) 123,456 8 , c) 10100 0100,1111 100 2 d) 0,0000000371 b ( b = 2, 8, 10)

A* Poka , e w naturalnym systemie dwójkowym dzielenie przez stał , która jest sum lub ró nic

dwóch pot g dwójki, mo na wykona przez odejmowanie, je li dzielenie nie wytwarza reszty.

B. Analitycznie i na podstawie wykresu dzielenia dwójkowego: a) odtwarzaj cego, b) nieodtwarzaj cego

wyznacz 3 kolejne cyfry ilorazu, je eli znormalizowany dzielnik (1 £ D < 2) ma warto i) D = 1,101 2 ,

ii) D = 1,1101 2 , a bie c reszt (przed skalowaniem) jest: a) 0,3 D , b) −0,2 D , c) +0,7 D.

C* Narysuj wykresy P - D dla dzielenia w bazie 4 (B= 4) i dzielnika z zakresu [1,2). Podaj ile bitów musi

by porównywanych w celu wyznaczenia cyfr ilorazu.

9 grudnia 2008

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

Lista nr 4

1. Wyka , e najwi kszy wspólny podzielnik dwóch liczb jest podzielnikiem ich ró nicy.

2. Korzystaj c z twierdzenia Euklidesa znajd najwi kszy wspólny podzielnik liczb:

a) 6745 i 8123 b) 9994, 92 i 9916 c) 375, 243, 345 i 126 d) 2 20 –1 oraz 2 5 +1

3. Poka , e liczby 2 k + 1 i 2 k +1 +1 s wzgl dnie pierwsze ( k Î N – jest liczb naturaln ).

*Wyka , e liczby 2 n +1, 2 2 n +1 +2 oraz 2 n −1 s wzgl dnie pierwsze z liczb 2 2 n +1 ( n Î N ).

*Kiedy prawdziwe jest twierdzenie, e liczby 2 k + 1 i 2 r + 1 ( k ¹ r Î N ) s wzgl dnie pierwsze?

4. Na podstawie twierdzenia Eulera lub małego twierdzenia Fermata oblicz:

a) 13 267 mod 63,

b) 17 2167 mod 19

c) 40 167 mod 41

d) (17 267 13 267 )mod 55

5. Nie wykonuj c dzielenia wyznacz reszt z dzielenia liczby d 1011 0011 0111 1101 U2 ( d =0, 1) przez

a) 1111 2

b) 10001 2

c) 11111 2

d) 10000001 2

e) 101 2 .

6. Stosuj c reguły arytmetyki resztowej oblicz najmniejsze reszty całkowite (dodatnie lub ujemne) sumy,

ró nicy i iloczynu liczb 4652 8 i 0ABCD 16 wzgl dem modułów: 257 10 , 7 8 , 65 10 , 3F 16 , 11 16 , 0FF 16

7. Podaj reprezentacj liczby 23456 10 w bazie RNS: a) {29, 30, 31}, b) {99, 100, 101}, c) {63, 64, 65}.

8* Znajd odwrotno ci multyplikatywne iloczynów par modułów bazy systemu resztowego ( a –1, a , a +1)

wzgl dem trzeciego z nich, zakładaj c, e a jest liczb parzyst .

9. Znajd jedynki resztowe w zbiorze kongruencji naturalnych ( x Î[0, M)) w systemie RNS:

a) {29, 30, 31}

b) {99, 100, 101}

c) {63, 64, 65}

d)* {11, 13, 15, 16}

Znajd liczb , której reprezentacj resztow jest ((a),b),c)): (1, 2, 3), (d): (1, 2, 2, 1).

**Rozwi zadanie w zbiorze kongruencji całkowitych ( x Î –(M–1) /2, M–1 /2))

A. Zapisz w 32-bitowym formacie zmiennoprzecinkowym standardu IEEE 754 liczby o warto ciach:

a) 674,531 8

b) 0,12 8 × 8 -51

c) – 0ABC,DE 16

d) 10,1010101010 U2 × 4 -61

B. Zapisz w 32-bitowym formacie zmiennoprzecinkowym IEEE 754 pierwiastki kwadratowe z liczb:

a) 1010 0010, 0111 1100 2 , b) 123,456 8 , c) 10100 0100, 1111 100 2

C. Oblicz i zapisz w 32-bitowym formacie zmiennoprzecinkowym standardu IEEE 754 z dokładno ci do

5 cyfr znacz cych pierwiastki kwadratowe z liczb danych w tym formacie:

a) 0 0100 0100 111 1100 1010 0010 0111 1100, b) 0 1010 0101 1111 1010 0100 1111 1111 100 2

c) 0 0100 0101 111 1100 1010 0010 0111 1100, d) 0 1010 0100 1111 1010 0100 1111 1111 100 2

E. Wyznacz z dokładno ci do 4 bitów ułamka zaokr glenia argumentów 1,10111101101 i 1,1011110010

uzupełnione bitami G, R, X. Wykonaj ich mno enie i porównaj z wynikiem pełnego mno enia.

F* Wyka , e w dodawaniu (mno eniu) zmiennoprzecinkowym znormalizowanych operandów, bit X dla

znormalizowanej sumy (iloczynu) mo e by wyznaczony przed wykonaniem działania.

G* Oszacuj maksymalny bł d przybli enia ró nicy podczas odejmowania znormalizowanych operandów

obliczonych z tak sam dokładno ci bezwzgl dn znacznika (mantysy).

9 grudnia 2008

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: