PSN_-_Kolo_Mohra.pdf

Płaski stan naprężeń i konstrukcja koła Mohra

Naprężeniem nazywamymiaręgęstościpowierzchniowejsiłwewnętrznychwystępującychw

ośrodkuciągłymJeżelipewneciałozostanieprzeciętemyślowopłaszczyznąnadwieczęści,to

nastykutychczęścipowstaną siływewnętrzne,którychzadaniemjestzrównoważeniesił

zewnętrznychdziałającychnakażdączęśćciała

Z otoczenia punktu K znajdującego się w płaszczyźnie przekroju ciała wzięto element

powierzchni ,naktóryprzypadasiła Wektornaprężeniaw punkcie K to granica ilorazu:

Przyustalonejpłaszczyźnieprzekrojunaprężeniejestwektorem,którymożnarozłożyćnaoś

prostopadłąirównoległądopłaszczyznyprzekroju

gdzie:

– naprężenienormalne(działającewzdłużosiprostopadłejdopłaszczyznyprzekroju)

– naprężeniestyczne(działającewzdłużosirównoległejdopłaszczyznyprzekroju)

Wdalszychrozważaniach ograniczonosiędo płaskiego stanu naprężeń ,awięctakiegostanu,

wktórymniezależnieodkierunkupłaszczyznyprzekrojuwkażdympunkcieciaławystępują

tylkowektorynaprężeńleżącewpłaszczyznachrównoległychdostałejpłaszczyzny

Wwycinkuciałapomijamytrzeciwymiarirozkładnaprężeńwyglądatakjaknarysunku

poniżej

Z równań równowagi elementu wynika, że naprężenia styczne w przekrojach wzajemnie

prostopadłychsąsobierównecodowartości,awięc

Znającnaprężenia , , wdanympunkciemożnawyznaczyćnaprężeniawprzekroju

dowolnie przeprowadzonym przez dany punkt Poniżej przedstawiono przekrój, którego

normalnajestnachylona podkątem do osix W tymprzekroju występuje naprężenie

definiowanezapomocąskładowych i .

Zsumyrzutównaosiexiyotrzymujemy

∑

Po podstawieniu za , a za otrzymujemy następującyukładrównań

Ztychrównańmożnawyznaczyćskładowenaprężeniawinteresującymnasprzekroju

( )

Przekształcającpowyższewzoryzapomocąwzorówtrygonometrycznychotrzymujemy

Naprężenia osiągają wartości ekstremalne dla przekroju określonego poprzez kąt .

Wyprowadzenia dokonamy poprzez obliczenie pochodnej względem i przyrównaniejejdo

zera:

Stąd

– kątnachyleniaprostejnormalnejdoprzekrojugłównego,naktórydziałajątylkonaprężenia

normalne

W zakresie istniejądwiewartościkątaróżniącesięo ,któredefiniująpołożeniedwóch

przekrojów,wktórychwystępujątylkonaprężenianormalneKątyteoznaczasięjako i ,

a różnią sięonemiędzysobąwartością 90°.

Ekstremalnenaprężenianormalneprzedstawiającałkowitenaprężeniawdanymprzekroju

Nazywa się je naprężeniami głównymi . Do określenia, któremu z kątów odpowiada

maksymalna,aktóremu minimalnawartośćnaprężeń,możnaposłużyćsiędrugąpochodną

( )

Stąd

Naprężeniagłównemożnawyznaczyćpoprzezwprowadzeniezwiązku–

– do

równania–

W rezultacie otrzymujemy:

√ (

)

– maksymalnenaprężenie,któremuodpowiadakąt

– minimalnenaprężenie,któremuodpowiadakąt

Zpowyższegowzoruwynikarelacja–

Ekstremalnenaprężeniastyczneotrzymamyróżniczkując iprzyrównującjądozera

Stąd

Ponieważ

w rezultacie mamy:

Płaszczyzny przekrojów odpowiadające ekstremalnym naprężeniom stycznym tworzą z

płaszczyznaminaprężeńgłównychkąt45°

√ (

)

Koło Mohra tokonstrukcjagraficzna,któraodwzorowujewszelkiepowyższezależności

Przekształcającponiższerównania

poprzez przeniesienie jednego wyrazu nalewąstronęipodnoszącobiestronydokwadratu

otrzymujemy:

(

)

(

)

Pododaniuotrzymanychrównańpowstajezwiązek,którymożnainterpretowaćjakorównanie

koławukładziewspółrzędnych , .

KonstrukcjakołaMohraprzebiegawnastępującysposób

1) Odmierzamy na osi wartości i uwzględniającznaki

2)Dzielącpowyższyodcineknapołowę,otrzymujemypunktbędącyśrodkiemkołaMohra

3) Od punktu odmierzamypionowyodcinekowartości uwzględniającznaki

4)Odcinekłączącyśrodekkołazpunktemotrzymanympoprzezodniesienie topromień

koła,dziękiczemumożnawykreślićkoło

5)Punktyprzecięciakołazosią wyznaczająwartości i

6) Kierunek naprężenia otrzymuje się poprzez poprowadzenie prostej przez punkty

wyznaczone przez i

7)Kieruneknaprężenia jestprostopadłydokierunkunaprężenia

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: