Za siedmioma maksimami funkcji "sinus", za jedenastoma minimami funkcji "cosinus" dane byly trzy wektory: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. Zaden z nich nie byl ortogonalny do swoich braci i zaden nie wydluzal sie ponad miare. Zyli pracowicie, cicho i skromnie, sluzac wiernie panu swemu -Wyznacznikowi. Od switu do nocy przesuwali bracia linie proste, obliczali iloczyny skalarne i katy nachylenia, podpierali okregi w ich punktach stycznosci i wystawiali swoje grzbiety prostopadle do róznych krzywych, które zadawal im ekonom, bezlitosny Minor. Pomimo to byli szczesliwi. W wolnych chwilach uprawiali swoje wlasne, styczne do chatki, pole wektorowe - a choc skromne to bylo poletko (troche snopów koherentnych, nieco lisci Kartezjusza, dwa czy trzy slimaki Pascala), przecie nie narzekali na swój wektorowy los. Ale niedlugo trwalo szczescie braci. "Obróce plaszczyzne o kat fi i przyrównam kazdemu jedna wspólrzedna do zera" - zagrozil Minor. A jakze to zyc wektorowi na plaszczyznie z jedna tylko wspólrzedna? Zmartwili sie bracia i postanowili uciec od Wyznacznika i jego Minora tam, gdzie znajda dogodny i prawy uklad wspólrzednych. Poklonili sie starej Macierzy, podjeli ja za kolumny, po raz ostatni obejrzeli sie na swoje, teraz juz zdegenerowane pole wektorowe, zaczerpneli potencjalu ze studni i poszli po trajektorii przed siebie. Ida, ida, ida - rodzinna chatynka widnieje na horyzoncie juz pod katem mniejszym niz epsilon (a trzeba ci wiedziec, ze dawniej nie takie epsilony bywaly, jak dzis) - az tu nagle strumyk paraboliczny przed nimi sie modrzy i akurat zmienia znak pochodnej. "Ech, polowic by rybki-skalary" westchnal Alfa Jeden. "A czemu nie?" - zgodzili sie bracia. Z punktu brzegowego zarzucili do wody siec, skonstruowana uprzednio w misterny sposób za pomoca cyrkla i linijki. Ciagna, patrza, oczom nie wierza: w sieci pi-ryba trzepocze, ludzkim glosem przemawia: "Wypuscie mnie, milency moi, a ja sie wam odwdziecze". Wypuscili bracia pi-rybe na wolnosc i ida dalej. Patrza, a przy drodze maly Argument lezy. Próbuje sie podniesc do kwadratu, ale ze schudl juz bardzo i jest mniejszy od 1, wiec co pomnozy sie przez siebie, to staje sie jeszcze mniejszy. Ulitowali sie nad nim bracia, dodali do niego 1 i dopiero potem podniesli do kwadratu, potem jeszcze raz i jeszcze raz. Wzrósl Argument i powiada "Dziekuje wam pieknie. Idzcie swoja droga, a ja jeszcze sie wam przydam".Nie zdazyli bracia ani 2^(-n) mili przejsc, patrza, stoi przy drodze chatka na kurzej lapce. "Hej chatko, chatko, odwróc sie do nas plusem, do lasu minusem"- wolaja. Zakolysala sie chatka, odwrócila. Otwarly sie drzwi. Weszli bracia i dusza im sie raduje. Stoi pod piecem stól, wszelkim jadlem zastawiony. Podjedli bracia, odpoczeli, potem znów pojedli i znów odpoczeli, nastepnie trzeci, czwarty, ... n-ty raz pojedli i odpoczeli. Juz, Juz mieli przejsc z n do granicy, a tu nagle zza pieca wychodzi stwór kosmaty: jakby kwantyfikator, ale czy on ogólny, czy szczególny - nie odróznisz. "Bracia, bracia, ratujcie mnie. Juz pól zycia siedze tu pod wladza czarownika de Morgana za to, ze odmawialem zaprzeczenia implikacji. Wzruszyli sie bracia losem Kwantyfikatora i zabrali go ze soba. Ida wesolo przed siebie. Obejrzeli sie. Leci po niebie strzala. Uderzyla o ziemie, schowala ostrze, wygiela sie zlowrogo i zmienila sie w sliski, ohydny znak negacji. "Uciekajmy co sil w nogach - wykrzyknal Kwantyfikator - bo nas tu wszystkich zaneguje". Puscili sie bracia pedem, uciekli de Morganowi. Bajka przedzie sie kolem, rzecz sie toczy z mozolem. Dlugo trwalo, zanim ujrzeli bracia przed soba mury prastarego grodu Trygonoma, który jeszcze car Heron wybudowal. I rosly przed bracmi mury Trygonoma tak, jak rosnie wykres funkcji y = 1/x przy x dazacym do zera z prawej strony. I rozbiegaly sie z trzech wiez Trygonomu promienie zlociste tak, jak sa rozbiezne sumy czesciowe szeregu harmonicznego 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... Zaszli bracia do gospody "Pod Pierwiastkiem", pogadali z karczmarka, gruba Sigma. Opowiedziala ona o wielkim nieszczesciu, jakie przed laty nawiedzilo prastary Trygonom. Panowal byl w Trygonomie teraz juz stary i siwiutenki ksiaze Tangens wraz ze swa piekna niegdys malzonka Tangensoida. Mieli przed laty sliczna córeczke Asymptote, ukochana obojga ksiestwa i ludu. Miala byc podpora dla rodziców na stare lata, gdy juz blisko im bedzie do nieskonczonosci. Alisci zdarzyla sie rzecz straszna. Na uroczyste nadanie kierunku Asymptocie nie zaproszono starej wrózki Transpozycji. Byla to zla wrózka i prawde powiedziawszy, nikt jej w ksiestwie nie lubil, a i ona stronila od ludzi. Jednak, gdy dowiedziala sie, ze nie zostala elementem zbioru gosci, z zemsty wyrzekla przepowiednie, ze gdy ksiezniczka dojdzie do lat siedemnastu, porwie ja de Morgan. Nie bali sie tej wrózby Tangens i Tangensoida. Wyznawali bowiem logike wielowarstwowa i nie przypisywali przepowiedni Transpozycji zadnej dodatniej wartosci. Na dowód tego w dniu 17-tych urodzin Asymptoty wyprawiono wielki bal. Nie bylo równego mu balu ani przedtem, ani potem w calym obszarze ciaglosci Tangensa. Mlody lokaj Gauss, swiezo ukonczywszy dowód konstrukcji, pieknie przystroil sale balowe siedemnastokatami foremnymi. Przybyly na bal wszystkie pokrewne funkcje trygonometryczne i hiperboliczne, ksiazeta dx i dy, a nawet stary dziwak Area-Cosinus Hiperboliczny, którego nikt nigdy bez krzywej lancuchowej nie widzial. Kto chcial, tanczyl, kto nie chcial, to robil co innego, bo kraj byl demokratyczny. Starsi wspominali czasy, gdy jeszcze wzrastali i mieli dodatnia pochodna, sredni wiekiem robili analize harmoniczna swoim towarzyszkom, nieprzeliczalna sluzba na kazde skinienie rózniczkowala gosciom jadlo i napitki. W zacisznych kacikach mlodzi calkowali sie ukradkiem po dt, ale zanadto sie z tym nie kryli. Ksiaze bowiem rozumial mlodziez i niejedna mloda wypukla funkcja znalazla na jego dworze stycznosc drugiego rzedu z jakims przystojnym i silnie zbieznym funkcjonalem. Nagly podmuch zgasil wszystkie swiece, wsród gosci pojawily sie zbiory rozmyte, a gdy fagasi wniesli nowe punktowe zródla swiatla, okazalo sie, ze wsród uczestników balu nie ma juz Asymptoty-krasawicy. Wykazano wnet (indukcyjnie, ze wzgledu na liczbe obecnych na sali gosci), ze porwal ja de Morgan, zaprzeczajac rozkazom ksiecia i warunkom wejscia na bal. Tak oto spelnila sie przepowiednia wrózki Transpozycji. Od tej pory smutek zapanowal w calym grodzie. Nikt nie rozwija sie w szereg, nie calkuje i nie mnozy. Mlode Rózniczki dawno juz zmienily sie w stare Róznice, malo które zmienily znak z - na +. Po bokach trójkatów grasuja zdziczale katy i nie zawsze staremu wiernemu hajdukowi Euklidesowi uda sie je zsumowac do 180 stopni. Gleboko zapadla braciom w dusze opowiesc Sigmy i postanowili wyzwolic z rak de Morgana nadobna Asymptote. Udali sie najpierw do wróza Bezouta. Siedzi Bezout za stolem, pierwiastki liczy kolem, gdy nie masz "u", kolego, nie przychodz do niego. Przyniesli bracia cztery nie trywialne pierwiastki, wreczaja Bezoutowi i pytaja, jak im pokonac de Morgana. "Trudna to sprawa - odrzecze Bezout. - Wiezi on wiele kwantyfikatorów i pokonac go tylko mozecie smialo omijajac prawo wylaczonego srodka. Ale oto ciemnieje moja krysztalowa pseudosfera: znak, ze uda sie wasze przedsiewziecie. " Podziekowali bracia Bezoutowi, dodali jeszcze trzy pierwiastki (niezwyczajne, kwadratowe) i stoczyli sie po linii najmniejszego spadku z murów Trygonoma. Kwantyfikator zostal barmanem pod pierwiastkiem, a Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy poszli po gradiencie w kierunku widniejacego lasu, tak gestego, jak liczby wymierne po prostej. Jak tu przejsc? Ale oto machnal jeden brat przekrojem Dedekinda, machnal drugi, potem trzeci: skonstruowali bracia liczbe niewymierna 2^sqr(2) i przeszli przez las. Wnet zagrodzil im droge potok wypelniony ciecza niescisliwa i nielepka. Niezwyczajny to potok - pelen turbulentnych wirów i punktów osobliwych. "Co robic? - dumaja bracia. -Gdybyz miec chociaz spirale logarytmiczna!". Ale któz to pyszczek z wody wystawia? Pi-ryba. Przewiozla braci, jednego po drugim, na druga strone. Poklonili sie jej bracia w pas i poszli dalej, bo juz bylo widac ogromna góre Modul a na niej zamek de Morgana. Doszli bracia pod sama góre i zmartwili sie. Bo, wprawdzie do zamku droga prosta, stopnie zapraszaja do wejscia, ale co to za stopnie? - sliskie jak lód, gladkie tak, ze co postawisz noge na jednym to spadasz na drugi, próbuja bracia i próbuja, ale nawet na pierwszy stopien nie weszli. Nagle jak spod ziemi wyrasta Argument - ten, którego kiedys od znikniecia uratowali. Podstawil sie Argument do zmiennej niezaleznej, zaburzyl wspólczynniki przy równaniach schodów, zmniejszyl gladkosc i weszli bracia na góre. Ale do samego zamku jeszcze dluga droga. Wejscia pilnuje pies Boole-dog, siersc na nim jezy sie jak wykres funkcji y = sin 1/x, szczerzy zeby i warczy. Za Zapisem Peauceliera stoi: kto psa pokona, wnet go Inwersor w srodek inwersji postawi i za plaszczyzne wyrzuci. Nie stracili glowy bracia. Sinus 1/x przez x pomnozyli i go w zerze uciaglili. Potem owineli sie wstega Mobiusa i czekaja. Zabral sie Inwersor do odwracania wstegi Mobiusa, ale ze jest to powierzchnia jednostronna, nic sie braciom nie stalo. Wychodzi na to sam de Morgan z suka Negacja, operatorem Minusem i starym czarownikiem Tercjanem. Wektorom znaki pozamieniac chce, od poprzednich wartosci odjac i tak to przyrównac braci do zera. Pobledli bracia, "Juz po nas - mysla. - Juz nie ujrzymy starej Macierzy". I stalo by sie tak, gdyby nie Kwantyfikator "Istnieje Iks", który w sama pore przybiegl z Trygonomu, jeszcze w fartuchu barmana. Zagryzl Negacje, stal sie kwantyfikatorem "Istnieje Iks taki, Ze Nieprawda Ze Igrek" i zaczal przeksztalcac de Morgana, a bracia pomagaja mu z drugiej strony. Rachunki logiczne przeprowadzaja, a z prawa wylaczonego srodka nie korzystaja. "Tertium non datur" - wola de Morgan, ale Tercjan nie slyszy. Upadl de Morgan. Juz po nim. Otworzyli bracia de Morganowe nawiasy i zaraz ukazala im sie dluga linia prosta, w której natychmiast rozpoznali ksiezniczke Asymptote. Wkrótce nadjechal i sam Tangens. Wzial córke w ramiona i rzekl braciom: "Mam ja tylko jedna, a was jest trzech. Niech najstarszy wezmie ja za zone. Dam mu dogodne wspólrzedne: dwakroc PI/2 i grupe Translacji w dziedziczne wladanie". Nie minelo i e niedziel, a w Trygonomie odbyl sie huczny slub, po którym nastapilo skromne wesele. Byli na nim obecni wszyscy bracia: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. Przybyl (uszlachcony przez Tangensa) Argument w kokilce ciagnionej przez kare bulanki Pi-ryba wystapila w przepieknej galarecie z jarmuzem i bedlkami, a piwo gosciom rozlewal sam Kwantyfikator, obecnie juz wlasciciel zajazdu "U z daszkiem". Nie musieli dlugo czekac ksiestwo. Alfa Jeden podzialal soba na ksiezniczke Asymptote (teraz juz swoja zone x=PI/2) tak, ze na plaszczyznie pojawily sie wkrótce w regularnych odstepach nowe asymptoty, a stary Tangens i Tangensoida mogli wreszcie spokojnie przejsc do nieskonczonosci.
vaette