K. Przyłuski -EKONOMIA MATEMATYCZNA
LITERATURA:
WYKŁAD I 20.09.2003 r.
Temat: Funkcje wiążące zmienne ekonomiczne
PODSTAWOWE POJĘCIA W EKONOMII
EKONOMIA- gospodarka, tzn. Sposób w jaki społeczeństwo gospodarujące (uczestnicy ekonomii) "gospodaruje", tzn.: wytwarza, dzieli i spożywa towary.
EKONOMIA (Economics) - nauka o gospodarce, czyli o ekonomii.
Podstawowe zjawiska badane w Ekonomii:
─ produkcja (wytwarzanie)
─ dystrybucja (podział)
─ konsumpcja (spożycie)
UCZESTNICY EKONOMII- [AGENCI]- konsumenci i producenci
TOWARY- dobra i usługi
CEL EKONOMII – wyjaśnić funkcjonowanie gospodarki. WIELKI CEL: odkrycie i uzasadnienie praw ekonomicznych, czyli stwierdzeń dotyczących tendencji ekonomicznych
EKONOMIA:
1. TWORZY TEORIE, które mają wyjaśnić funkcjonowanie gospodarki a następnie stara się je
2. ZWERYFIKOWAĆ poprzez odniesienia ich do wydarzeń i danych realnego świata
EKONOMIA jest więc dyscypliną empiryczną, bo choć wyklucza przeprowadzanie eksperymentów, to pragnie wiązać teorię z realnym światem.
AD. 1:
TEORIA EKONOMICZNA- inaczej model ekonomiczny, formalny schemat przedstawiający w pewien sposób podstawowe cechy rozpatrywanego fragmentu rzeczywistości (tu: ekonomicznej)
MODELE EKONOMICZNE- mają wyjaśniać dlaczego jest tak jak jest oraz ewentualnie umożliwić analizę skutków podejmowanych decyzji gospodarczych.
EMPIRYZM ZDROWEGO ROZSĄDKU- (Empiryzm fotelowy) teoria bez pomiaru- nie interesuje nas zależność ilościowa (liczbowa) jedynie sam fakt (np: coś rośnie → coś spada).
- 1 -
AD. 2
WERYFIKACJA MODELU- empiryzm zdrowego rozsądku, analiza danych statystycznych, metody ekonometryczne, itp.
DANE- statystyka ekonomiczna-źródła, wiarygodność, obróbka i prezentacja, wskaźniki (indicators)
EKONOMETRIA- gałąź ekonomii stosująca metody statystyczne do mierzenia i szacowania zależności ekonomicznych. EKONOMETRIA rozwijała się w oparciu o BIOMETRIĘ. Wykrywa ona zależności między zmiennymi ekonomicznymi; nie rozstrzyga dlaczego one są akurat takie a nie inne.
Ekonometria musi najczęściej stosować założenie ceteris paribus [inne rzeczy bez zmian]
Forma prowadzenia analizy ekonomicznej prowadzi do następującego podziału EKONOMII:
E. LITERACKA: forma słowna, opisowa, analiza kontekstowa.
E. SFORMALIZOWANA- forma matematyczna (zróżnicowany stopień założeń) analiza bezkontekstowa.
E. MATEMATYCZNA- skrajnie sformalizowana forma prowadzenia analizy ekonomicznej; tworzenie oraz badanie modeli matematycznych zjawisk ekonomicznych. W ekonomii matematycznej – obserwowany fragment – jest zapisywany w formie zależności matematycznych. Matematyka – jest tym językiem, który uściśla pojęcie ekonomiczne.
Język: równania, nierówności, relacje, zależności funkcjonalne...
Modele Matematyczne zjawisk ekonomicznych ≈ Teoria Ekonomiczna w formie matematycznej
WYKŁAD II 27.09.2003 r.
W. Petty autor książki pt.: „Arytmetyka polityczna” ok. 1676, postulował stosowanie wielkości ekonomicznych; przed nim w ekonomii nie było żadnych liczb.
F. Quesnay 1759 -„Tablice ekonomiczne” fizjokrata, praca ta ma charakter ilościowy, zajmuje się przepływami makroekonomicznymi.
Fizjokrata – kieruje się zasadami: trzeba badać gospodarkę, wykrywać prawa, tworzyć teorię, prekursorzy ekonomii sformalizowanej.
A.A. Cournot- prekursor ekonomi matematycznej –1838 „Badania nad zasadami matematycznymi teorii bogactwa”;
A. Smith -1776 „Badania nad naturą i przyczynami bogactwa narodów”
Ekonomia powinna formułować prawa ilościowe, które powinny opisywać związki między wielkościami ekonomicznymi.
Cournot zajmował się analizą monopolu i oligopolu.
Zmienność wielkości ekonomicznych.
Zmienność wielkości ekonomicznych
x - przedział C Ì R
np.: [a, b], [a, b), (a, b), R +:= (0,∞) -liczby nie ujemne, R ++ := (O, ∞)– liczby dodatnie
f : X→ R y = f{x}
Mf{x) := f '{x) wartość krańcowa f (w punkcie x) (pochodna)
Af{x) := f{x}/ x wartość średnia f (w p. x) (x¹0 np. do kosztów produkcji)
Ff{x} := f{0) część stała f (np.: koszty stałe)
Vf{x) := f{x) - f{0) część zmienna f
Ef(x) := elastyczność f względem x
Łączenia A(Vf)(x) = [f(x)-f(0)] / x
f’(x) » [f(x+Dx)-f(x)] / Dx (ale tylko dla małych Dx)
f’(x) = Mf(x)
Mf(x) » [f(x+Dx)-f(x)]/Dx
∆x - mała zmiana x
∆f{x) := f(x +∆x) – f(x) – odpowiada zmianie x o ∆ x. zmiana wartości funkcji f
∆f(x) ≈ Mf(x) . ∆x (równość przybliżona)
"mała" i ,,≈" – w sensie rachunku różniczkowego
Przykład: C : R +→ R ++ funkcja kosztu,
tzn. "ilość produkowana" → "koszt wytworzenia tej ilości"
q → C(q) [tak jak by tu było napisane f(x)]
MC(q) - koszt krańcowy przy poziomie produkcji q
Gdy ∆q = 1 jest małą zmianą q: ∆C(q) ≈ MC(q) =1
koszt krańcowy ≈ koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki (przy poziomie produkcji q) .
Elastyczność popytu
Przykład: D : R + → R ++ funkcja popytu
"cena" → "ilość, którą konsumenci przy tej cenie kupią"
względna zmiana popytu
względna zmiana ceny
ED(p) – elastyczność cenowa popytu przy cenie p
ED(p) ≈
Zakładamy prawo popytu w wersji różniczkowej:
popyt jest nie tylko malejącą funkcją ceny, ale też D'(p) < 0.
Stąd: elastyczność cenowa popytu < 0.
Znak elastyczności określa – cena, popyt i pochodna (cena + popyt+ pochodna).
Popyt przy danej cenie p popyt D jest:
Elastyczny ≡ |ED(p)| > 1
Jednostkowo elastyczny ≡ |ED(p)| = 1
Nieelastyczny ≡ |ED(p)| < 1
Elastyczność funkcji potęgowej:
f(x) = c xa elastyczność nie zależy od x
gdzie x Î R ++; a ¹ 0 oraz c – ustalone liczby
Ef(x) = a (stała, niezależna od x)
i odwrotnie
Ef(x) = a (stała) Þfunkcja f jest funkcją potęgową
Wartość krańcowa i elastyczność
∆x := mała zmiana x; ∆f(x) := f(x + ∆.x) - f(x)
Mf(x) := f'(x), Ef(x) :=
Ponieważ ∆f(x) ≈ Mf(x) *∆.x, to dla. ∆x≠ 0
Mf(x) ≈
[bezwzględna] zmiana f(x)
[bezwzględna] zmiana x
Analogicznie, gdy ∆.x ≠0, x ≠0, f(x) ≠0:
Ef(x) ≈
względna zmiana f(x)
względna zmiana x
% ≡ * (mnożenie przez )
Gdy x zmieniło się o ξ %, to y = f(x) zmieniło się o h%.
(Gdy cena rośnie o 5% to popyt spada o 7,5%)
Xnowe ...
ediro