08[2]Plaskie_zagadnienia_teorii_sprezystosci.pdf

(175 KB) Pobierz
29951391 UNPDF
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
1
8. 
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
8.1. Płaski stan naprężenia
Tarcza – układ, ustrój ciągły jednorodny, w którym jeden wymiar jest znacznie mniejszy od
pozostałych, a obciążenie jest równoległe do płaszczyzny dwóch równoległych wymiarów. Tarcza jest
obustronnie wyznaczona przez dwie płaszczyzny.
Spłycenie grubości – naprężenie w płaszczyźnie prostopadłej do obciążenia stycznego jest równe
zeru.
Dla konstrukcji tarczowych tensor naprężeń przedstawia się następująco:
T =
[
11 12 13
21 22 23
31 32 33
] (8.1)
Płaski stan naprężeń:
T =
[
11 12 0
21 22 0
0 0 0
] (8.2)
A związany z nim tensor odkształceń:
T =
[
11 12 0
21 22 0
0 0 33
] (8.3)
Warto zauważyć, że ε 33 przyjmuje wartość niezerową:
E  11  22 ≠ 0
(8.4)
W płaskim stanie naprężenia możemy założyć występowanie dwóch przemieszczeń u 1 i u 2 .
Przyjmujemy, że stan naprężeń jest wyznaczony dla jednej z płaszczyzn o grubości równej zero
(płaszczyzna środkowa).
Dla płaskiego stanu naprężeń możemy przyjąć:
∇ 2 = ∂ 2
∂ x 2 ∂ 2
∂ x 2
(8.5)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
33 = −
29951391.006.png
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2
Równania w przemieszczeniach:
∇ 2 u i 1 
'
G p i = 0 ,gdzie ' = u i ' i i = 1,2 , ' = ii
(8.6)
1 − ' i
Równania w naprężeniach:
∇ 2 s' =− p k , k 1  ,gdzie s' = ii i = 1,2
(8.7)
Algorytm obliczeń (w płaskim stanie naprężenia) w naprężeniach:
1)
∂ ∂ x 2 ∂ ∂ x 2  11  22 =− p k , k 1  (8.8)
∂ x 1 ∂ 12
∂ x 2 p 1 = 0
} ji , j p i = 0 , i = 1,2
2)
(8.9)
∂ x 1 ∂ 22
∂ x 2 p 2 = 0
E  11 − 22
22 = 1
E  22 − 11
33 = −
(8.10)
E  11  22
12 = 1
2G 12
4) ij u i ,u j
(8.11)
Zapis macierzowy - płaski stan naprężenia (I stan):
[ D ]= E
1 − 2
[
1 0
1 0
0 0 1 −
] (8.12)
{}=[ D ] − 1 {}
(8.13)
{}=[ D ]{}
(8.14)
[ D ] − 1 = 1
E
[
1 − 0
− 1 0
0 0 1 
] (8.15)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
1
∂ 11
∂ 21
3) 11 = 1
29951391.007.png 29951391.008.png 29951391.009.png
 
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
3
8.2. Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia (II stan – charakterystyczny)- występuje wtedy, gdy jeden wymiar jest
znacznie większy od dwóch pozostałych. Obciążenie działa w płaszczyznach prostopadłych do najdłuższego
wymiaru, np. mur oporowy, tama, grobla.
3
Rys.8.1. Mur oporowy
Wówczas zachodzą następujące zależności:
T =
[
11 12 0
21 22 0
0 0 0
] ,przy czym u 3 = 0 stąd ∂ u 3
∂ x 3 = 33 = 0
(8.16)
T =
[
11 12 0
21 22 0
0 0 33
] (8.17)
E [ 33 − 11  22 ]= 0
(8.18)
σ 33 nie jest stałe dla całego przekroju i wyraża się wzorem:
33 = 11  22 (8.19)
Z równania równowagi Naviera
∂ x 1 ∂ 23
∂ x 2 ∂ 33
∂ x 3 p 3 = 0
(8.20)
Wiedząc, że
∂ x 1 = 0 , ∂ 23
∂ x 2 = 0 oraz p 3 = 0
(8.21)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
33 = 1
∂ 13
∂ 13
29951391.001.png 29951391.002.png
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
4
wnioskujemy, iż σ 33 jest stałe wzdłuż osi trzeciej:
∂ 33
∂ x 3 = 0
(8.22)
Równanie równowagi dla płaskiego stanu odkształcenia w przemieszczeniach:
∇ 2 u i 1
1 − 2 ' i 1
G p i = 0
(8.23)
oraz w naprężeniach:
∇ 2 s' =− p k , k
1
1 −
(8.24)
Jeżeli na układ nie działają siły masowe to równania dla płaskiego stanu naprężenia i odkształcenia są
identyczne. Algorytm rozwiązania przedstawia się następująco:
1) ∂ 2
∂ x 2 ∂ 2
∂ x 2  11  22 =− p k ,k
1
1 −
(8.25)
2) ∂ 11
∂ x 1 ∂ 12
∂ x 2 p 1 =0
∂ 21
∂ x 2 p 2 =0
33 = 11  22
(8.26)
Zmianie ulegają związki fizyczne:
E [ 1 − 11 − 22 ]
22 = 1 
E [ 1 − 22 − 11 ]
12 = 1
(8.27)
2G 12
W zapisie macierzowym:
[ D ]= E
1  1 − 2 
[
1 −  0
  1 − 0
0
0 1 − 2 
] (8.28)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
∂ x 1 ∂ 22
3) 11 = 1 
29951391.003.png 29951391.004.png
 
8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
5
[ D ] − 1 = 1 
E
[
1 −− 0
−  1 − 0
0
0 1
] (8.29)
8.3. Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości we współrzędnych biegunowych
Punkt we współrzędnych prostokątnych ma obraz prostokąta:
dy
y
x
Rys.8.2. Obraz punktu we współrzędnych prostokątnych
a we współrzędnych biegunowych jego obrazem jest wycinek pierścienia:
r
dr
dφ
φ
Rys.8.3. Obraz punktu we współrzędnych biegunowych
Zależności między współrzędnymi w układzie prostokątnym i biegunowym są następujące:
x = rcos
y = rsin
(8.30)
Na plasterku o wymiarach dr , dφ zaznaczmy występujące naprężenia:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
29951391.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin