Analiza Matematyczna 1.pdf

(635 KB) Pobierz
0
0. ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE
0.1 ZBIORY LICZB
N
=
– zbiór liczb naturalnych
{ }
2
,...
Z
=
0 ±
±
1
2
,...
– zbiór liczb całkowitych
Q
=
⎧
p
:
p
∈
Z
,
q
∈
N
⎫
– zbiór liczb wymiernych
q
R – zbiór liczb rzeczywistych
0.2 ZBIORY OGRANICZONE
Def. 0.2.1 (zbiór ograniczony z dołu)
Zbiór A ⊂ R jest ograniczony z dołu, jeżeli
m
∨
∈
R
x
∧
A
x
≥
m
.
Liczbę m nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru A . Obrazowo, zbiór jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego elementy
leżą na prawo od pewnego punktu osi liczbowej.
Def. 0.2.2 (zbiór ograniczony z góry)
Zbiór A ⊂ R jest ograniczony z góry, jeżeli
M
∨
∈
R
x
∧
A
x
≤
M
.
Liczbę M nazywamy ograniczeniem z góry zbioru A . Obrazowo, zbiór jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego elementy
leżą na lewo od pewnego punktu osi liczbowej.
Def. 0.2.3 (zbiór ograniczony)
Zbiór A ⊂ R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z dołu i z góry, tzn.
M
m
∨
∈
R
x
∧
∈
A
m
≤
x
≤
.
Uwaga . W definicji można tak dobrać stałe m i M , aby 0 < M = - m . Wtedy
M
x
∈
A
x
≤
.
Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy są położone między dwoma punktami osi liczbowej.
0.3 KRESY ZBIORÓW
Def. 0.3.1 (element najmniejszy zbioru)
Liczba a jest najmniejszym elementem zbioru A ⊂ R , co zapisujemy
A
a min
= ,
wtedy i tylko wtedy, gdy
a ∈ oraz
A
x
∈
A
x
≥
a
.
Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w lewo na osi liczbowej.
Def. 0.3.2 (element największy zbioru)
Liczba a jest największym elementem zbioru A ⊂ R , co zapisujemy
a max
= ,
A
wtedy i tylko wtedy, gdy
a ∈ oraz
A
x
∈
A
x
≤
a
.
Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w prawo na osi liczbowej.
Def. 0.3.3 (kres dolny zbioru)
Niech zbiór A ⊂ R będzie niepusty i ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym tego zbioru, co zapisujemy
A
a inf
= ,
wtedy i tylko wtedy, gdy
∈
A
x
≥
a
oraz
ε
∧
0 0
x
∨
∈
A
x
0
<
a
+
ε
.
Obrazowo, kres dolny zbioru jest największą liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu. Jeżeli zbiór A jest nieograniczony z dołu, to
przyjmujemy
1
{ }
∈
∈
,
M
x
>
5803783.003.png
inf
A
def
−
∞
.
Def. 0.3.4 (kres górny zbioru)
Niech zbiór B ⊂ R będzie niepusty i ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym tego zbioru, co zapisujemy
B
b su= ,
wtedy i tylko wtedy, gdy
x
∈
B
x
≤
b
oraz
ε
∧
>
0 0
x
∨
∈
B
x
0
>
b
−
ε
.
Obrazowo, kres górny zbioru jest najmniejszą liczbą ograniczającą ten zbiór z góry. Jeżeli zbiór B jest nieograniczony z góry,
to przyjmujemy
sup
B
def
∞
.
Uwaga . Najmniejszy element zbioru jest jednocześnie kresem dolnym tego zbioru. Analogicznie, największy element zbioru
jest jego kresem górnym.
Fakt 0.3.5 (aksjomat ciągłości)
Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.
0.4 FUNKCJE – PODSTAWOWE OKREŚLENIA
Def. 0.4.1 (funkcja)
Niech zbiory X, Y ⊂ R będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowa-
nie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y . Funkcję taką oznaczamy przez
f →
Y
. Wartość
funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x) .
: . Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f , a zbiór Y nazywamy jej przeciwdzie-
dziną. Ponadto zbiór
f →
Y
(
nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez W f . Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór
elementów z R , dla których wzór ten ma sens liczbowy, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
{
f
x
)
∈ :
Y
x
∈
D
f
}
Def. 0.4.3 (wykres funkcji)
Wykresem funkcji
f →
:
Y
nazywamy zbiór
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
x
∈
X
,
y
=
f
(
x
)
.
Uwaga . Podzbiór płaszczyzny xOy jest wykresem pewnej funkcji zmiennej x , gdy każda prosta pionowa przecina go co
najwyżej w jednym punkcie.
Def. 0.4.4 (funkcja „na”)
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y , co notujemy
f
:
X
⎯
n ⎯→
Y
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
W f = , tzn.
Y
y
∧
∈
Y
x
∨
X
f
(
x
)
=
y
.
Funkcja
f →
Y
jest „na”, gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś Oy pokrywa się ze zbiorem Y .
0.5 FUNKCJE OKRESOWE, PARZYSTE I NIEPARZYSTE
Def. 0.5.1 (funkcja okresowa)
Funkcja
f →
R
jest okresowa, jeżeli
T
∨
0
x
∧
X
(
x
±
T
∈
X
oraz
f
(
x
+
T
)
=
f
(
x
)
)
.
Liczbę T nazywamy okresem funkcji f . Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym.
Obrazowo, funkcja jest okresowa, gdy jej wykres po przesunięciu o wektor
v =
r
( T
,
nałoży się na siebie.
Def. 0.5.2 (funkcja parzysta)
Funkcja
f →
R
jest parzysta, jeżeli
:
Def. 0.4.2 (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji)
Niech
∈
:
:
>
∈
:
x
∈
X
(
−
x
∈
X
oraz
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
)
.
Obrazowo, funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osią symetrii jej wykresu.
Def. 0.5.3 (funkcja nieparzysta)
Funkcja
X
R
jest nieparzysta, jeżeli
x
∈
X
(
−
x
∈
X
oraz
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
)
.
Obrazowo, funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu.
0.6 FUNKCJE OGRANICZONE
Def. 0.6.1 (funkcja ograniczona z dołu)
Funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z dołu, tzn.
m
m
∨
R
x
∧
∈
A
f
(
x
)
≥
.
Obrazowo, funkcja jest ograniczona z dołu, gdy jej wykres leży nad pewną prostą poziomą (rys. 0.6.1).
Rys. 0.6.1
Ilustracja wykresu funkcji ograniczonej z dołu na zbiorze
Def. 0.6.2 (funkcja ograniczona z góry)
Funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli zbiór jej wartości na tym zbiorze jest ograniczony z góry, tzn.
M
m
∨
∈
R
x
∧
∈
A
f
(
x
)
≤
.
Obrazowo, funkcja jest ograniczona z dołu, gdy jej wykres leży pod pewną prostą poziomą (rys. 0.6.2).
Rys. 0.6.2
Ilustracja wykresu funkcji ograniczonej z góry na zbiorze
Def. 0.6.3 (funkcja ograniczona)
Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli jest ograniczona z dołu i z góry na tym zbiorze, tzn.
M
m
,
∨
∈
R
x
∧
A
m
≤
f
(
x
)
≤
.
Uwaga . W definicji można tak dobrać stałe m i M , aby 0<M=-m . Wtedy
M
x
∈
A
f
(
x
)
≤
.
Obrazowo, funkcja jest ograniczona, gdy jej wykres jest położony między dwiema prostymi poziomymi.
0.7 FUNKCJE MONOTONICZNE
Def. 0.7.1 (funkcja rosnąca)
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli
]
x
∧ ∈
A
[
( ) (
x l
<
x
2
⇒
f
(
x
1
)
<
f
(
x
2
)
)
.
1
Obrazowo, funkcja jest rosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się do góry.
Def. 0.7.2 (funkcja malejąca)
Funkcja f jest malejąca na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli
( ) (
)
]
x
∧ ∈
A
[
x l
<
x
2
⇒
f
(
x
1
)
>
f
(
x
2
)
.
1
Obrazowo, funkcja jest malejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy na dół.
f →
:
∈
M
∈
, 2
x
, 2
x
5803783.004.png
Def. 0.7.3 (funkcja niemalejąca)
Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli
( ) (
x
, 2
∧ ∈
A
[
x l
<
x
2
⇒
f
(
x
1
)
≤
f
(
x
2
)
)
]
.
1
Obrazowo, funkcja jest niemalejąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie wznosimy się lub pozostajemy na tym samym
poziomie.
Def. 0.7.4 (funkcja nierosnąca)
Funkcja f jest malejąca na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli
]
x
, 2
∧ ∈
A
[
( ) (
x l
<
x
2
⇒
f
(
x
1
)
≥
f
(
x
2
)
)
.
1
Obrazowo, funkcja jest nierosnąca, gdy poruszając się w prawo po jej wykresie opadamy lub pozostajemy na tym samym
poziomie.
Def. 0.7.5 (funkcja monotoniczna)
Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli jest rosnąca lub malejąca lub nierosnąca lub też niemalejąca na tym
zbiorze.
0.8 ZŁOŻENIA FUNKCJI
Def. 0.8.1 (funkcja złożona)
Niech zbiory X, Y, Z, W ⊂ R będą niepuste, przy czym Y ⊂ Z oraz niech
f →
:
X
Y
,
g →
Z
W
. Złożeniem funkcji g i f
nazywamy funkcję
g →
o określoną wzorem:
:
X
W
(
g
o
f
)(
x
)
def
=
g
( )
f
(
x
)
dla
x ∈ .
X
Uwaga . Analogicznie określa się złożenie większej liczby funkcji. Składanie funkcji nie jest przemienne.
0.9 FUNKCJE ODWROTNE
Def. 0.9.1 (funkcja różnowartościowa)
Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A ⊂ D f , jeżeli:
( ) (
x
, 2
∧ ∈
x
A
[
x l
≠
x
2
⇒
f
(
x
1
)
≠
f
(
x
2
)
)
]
.
1
Obrazowo, funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A , gdy każda prosta pozioma przecina fragment wykresu leżący nad lub
pod zbiorem A co najwyżej w jednym punkcie.
Uwaga . Przy sprawdzaniu różnowartościowości funkcji wygodnie jest korzystać z definicji równoważnej
( ) (
x
, 2
∧ ∈
A
[
x l
=
x
2
⇒
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
)
]
.
1
Fakt 0.9.2 (warunek wystarczający różnowartościowości funkcji)
Jeżeli funkcja jest rosnąca albo malejąca na zbiorze, to jest różnowartościowa na tym zbiorze.
Uwaga . Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Def. 0.9.3 (funkcja odwrotna)
Niech funkcja
f
:
X
n ⎯→
Y
będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję
f →
1
:
Y
X
określoną przez warunek:
def
−
1
, gdzie x ∈ X , y ∈ Y .
Wykres funkcji f -1 otrzymujemy z wykresu funkcji f odbijając go symetrycznie względem prostej y=x oraz zamieniając między
sobą jednocześnie nazwy osi x ↔ y . Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest funkcją rosnącą. Funkcja odwrotna do funkcji
malejącej jest funkcją malejącą.
f
(
y
)
=
x
⇔
y
=
f
(
x
)
Fakt 0.9.4 (o składaniu funkcji prostej i odwrotnej)
Niech funkcja
f
:
X
n ⎯→
Y
będzie różnowartościowa. Wtedy
( ) x
∧
f
−
1
f
(
x
)
=
oraz ( ) y
∧
f
f
−
1
(
y
)
=
.
x
∈
X
y
∈
Y
x
x
:
f
x
⎯
−
⎯
0.10 FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE
Def. 0.10.1 (arkus sinus)
Funkcją arcsin nazywamy funkcję odwrotną do funkcji sin określonej na przedziale
⎡ −
π
,
π
⎤
. Dziedziną funkcji arcsin jest
⎣
⎦
2
2
przedział [-1,1].
Def. 0.10.2 (arkus cosinus)
Funkcją arccos nazywamy funkcję odwrotną do funkcji cos określonej na przedziale [0,π]. Dziedziną funkcji arccos jest
przedział [-1,1].
Def. 0.10.3 (arkus tangens)
Funkcją arctg nazywamy funkcję odwrotną do funkcji tg określonej na przedziale
⎛ −
π
,
π
⎠
. Dziedziną funkcji arctg jest R .
2
2
Def. 0.10.4 (arkus kotangens)
Funkcją arcctg nazywamy funkcję odwrotną do funkcji ctg określonej na przedziale (0,π). Dziedziną funkcji arcctg jest R .
Rys. 0.10.1 f ( x ) = arcsin x
Rys. 0.10.2 f ( x ) = arccos x
Rys. 0.10.3 f ( x ) = arctg x
Rys. 0.10.4 f ( x ) = arcctg x
Fakt 0.10.5 (tożsamości z funkcjami cyklometrycznymi)
arcsin x + arccos x =
π dla każdego x ∈ [-1,1],
2
π dla każdego x ∈ R .
arctg x + arcctg x =
2
0.11 FUNKCJE ELEMENTARNE
Def. 0.11.1 (funkcje elementarne)
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne
oraz cyklometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby
działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji, nazywamy funkcjami elementarnymi.
Def. 0.11.2 (wartość bezwzględna)
Wartością bezwzględną (modułem) nazywamy funkcję
• :
R →
R
określoną wzorem:
x
=
⎧
x
&
dla
x
≥
0
.
⎩
−
x
dla
x
<
0
Uwaga . Moduł jest funkcją elementarną, gdyż
x = dla każdego x ∈ R .
x
2
Def. 0.11.3 (wielomian)
Wielomianem nazywamy funkcję
W →
:
R
określoną wzorem
− K ,
gdzie n ∈ N ∪ {0} , a i ∈ R dla 0 ≤ i ≤ n oraz a n ≠ 0 . Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu W i oznaczamy przez st W .
Przyjmujemy dodatkowo, że W ( x ) ≡ 0 jest wielomianem stopnia -∞.
W
(
x
)
=
a
x
n
+
a
x
n
−
1
+
+
a
x
+
a
n
n
1
1
0
Def. 0.11.4 (funkcja wymierna)
Funkcję, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów nazywamy funkcją wymierną.
⎝
⎞
5803783.005.png 5803783.006.png 5803783.001.png 5803783.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin