MES 01.pdf

IX. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKOŃCZO-

NYCH DO ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW PRĘTOWYCH

1. CELE ĆWICZENIA

1. Zapoznanie się z metodą elementów skończonych (MES) w aspekcie zastosowania do roz-

wiązywania układów prętowych

2. Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych PRO-MES 4.0 i jego obsługą

w przypadku zagadnień prętowych.

3. Wyznaczyć rozkład przemieszczeń i naprężeń w ramach i kratownicach statycznie wyzna-

czalnych i niewyznaczalnych.

2. WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA

Dla konstruktora istotna jest znajomość rozkładu naprężeń, przemieszczeń lub od-

kształceń w konstrukcji poddanej działaniu zadanego obciążenia. W praktyce sprowadza się

to do rozwiązywania problemu brzegowego dla zagadnień statycznych lub problemu począt-

kowo - brzegowego dla zagadnień dynamicznych. Ogólnie w przestrzennym stanie odkształ-

cenia i naprężenia poszukuje się 15 wielkości: 3 składowe przemieszczeń ( u i ), 6 składowych

tensora stanu odkształcenia (

ij ) oraz 6 składowych naprężenia (

ij ).

Do dyspozycji pozostają następujące zależności:

1) różniczkowe równanie równowagi (ruchu) (3):

ij j

+= =

0 lub

2) zależności geometryczne (6):

=⋅ +

(

j i

, ,

)

3) związki konstytutywne - (uogólnione prawo Hooke’a):

σ µ ε λ δ ε

ij kk

Jest to układ 15 równań różniczkowych.

- 1 -

ijj

=⋅⋅ +⋅ ⋅

W celu uzyskania rozwiązania konkretnego zagadnienia należy dołączyć odpowiednie

warunki brzegowe:

4) w przemieszczeniach: uu A

∗ na ,

5) w naprężeniach: p n p A

= =

∗

na .

ij j

Rozpatrywany ustrój możemy traktować jako

ciało o objętości V obciążone i podparte jak na rys

2.1, gdzie:

X i siły masowe,

u i - przemieszczenia,

p i - siły powierzchniowe,

A u - brzeg z zadanym przemieszczeniem,

A p - brzeg z zadanymi obciążeniami,

przy czym musi byś spełnione:

AAA

∪=

∩=∅

Rozwiązanie w przemieszczeniach uzyskuje

się w następujący sposób: zależności geometryczne

Rys. 2.1 Schemat obciążenia i podparcia

ciała o objętości V

(2) wstawia się do związków konstytutywnych (3),

następnie różniczkuje się otrzymane zależności

względem współrzędnych i wstawia do równań rów-

nowagi (1). W efekcie przeprowadzonych przekształceń otrzymuje się równania przemiesz-

czenia Naviera dla elastostatyki

⋅ ++⋅ +=

ijj

( )

u x

jji i

lub elastodynamiki:

⋅ ++⋅ +=⋅

ijj

( )

λ µ

u x u

jji i i

Jest to układ trzech równań równoważnych z trzema niewiadomymi składowych przemiesz-

czeń u i . Po dołączeniu warunków brzegowych uzyskuje się dla konkretnego rozwiązania za-

gadnienia.

W przypadku prostej geometrii i nieskomplikowanych warunków brzegowych rozwiąza-

nie problemu można otrzymać w sposób analityczny. Jednak dla układów o skomplikowanej

geometrii i złożonych warunkach brzegowych otrzymanie rozwiązania analitycznego jest bar-

dzo trudne a czasem wręcz niemożliwe. W takim przypadku przybliżone rozwiązanie można

- 2 -

λ µ

uzyskać wykorzystując metody numeryczne. Taką przybliżoną metodą rozwiązywania zagad-

nienia brzegowego lub początkowo - brzegowego jest metoda elementów skończonych

(MES).

Istota metody elementów skończonych polega na zastąpieniu układu równań różniczkowych,

opisujących dane zagadnienie, układem równań algebraicznych otrzymanych na podstawie

dyskretyzacji rozpatrywanego obiektu. Dyskretyzacja polega na zastąpieniu danego obiektu

zbiorem elementów skończonych modelujących geometrię dla danego rodzaju zagadnienia.

Najprostszymi elementami skończonymi są elementy prętowe i belkowe.

Wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w przestrzennych układach ramowych w

kratownicach przy wykorzystaniu MES jest proste i szybkie w zastosowaniu.

Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych dla układów prętowych (ściska-

nych, rozciąganych i zginanych) przedstawiono poniżej.

3. PODSTAWY TEORETYCZNE

3.1. Metoda elementów skończonych dla prętów rozciąganych (ściskanych)

Rozważany jest pręt prosty o zmiennym przekroju A(x) i długości L, wykonany z ma-

teriału o module Younga E, obciążony obciążeniem ciągłym q(x) rozłożonym wzdłuż długo-

ści pręta i siłą Q 0 na końcu (rys. 3.1a, b).

Pole przemieszczeń osiowych spełnia następujące równanie różniczkowe

dx ax du x

()

+ =

()

dla

< <

x L

(1)

które należy uzupełnić warunkami brzegowymi w postaci:

u u

a du

;

(2)

gdzie a = a(x)=A(x)E jest sztywnością na rozciąganie.

- 3 -

Rys. 3.1a) Pręt rozciągany, b) idealizacja matematyczna, c) dyskretyzacja elementami skoń-

czonymi

Aby rozwiązać równanie (1) tzn. znaleźć pole przemieszczeń u(x) przy warunkach brzego-

wych (2) dzielimy obszar pręta

Ω

(0, L) na N odcinków o długości h e , e=1,2,...,N które nazy-

wamy "elementami skończonymi".

Rozważmy typowy element skończony

Ω

=(x ,x ) (x ,x )

, którego końce mają

e 1

współrzędne x x i x x

(rys. 3.2a).

- 4 -

Rys. 3.2 a) Typowy element skończony, b) definicja przemieszczeń i sił węzłowych

Oznaczmy przemieszczenia węzłowe u i e i siły normalne Q i e , i=1,2. zdefiniowane na rys. 3.2b.

Poszukiwane pole przemieszczeń na elemencie

Ω

e aproksymować będziemy za pomocą pew-

nego wielomianu potęgowego u(x) U

≈= =

u N (x)

, gdzie u e są nieznanymi wartościami

węzłowymi przemieszczeń, natomiast N (x)

są funkcjami interpolacyjnymi zwanymi także

funkcjami kształtu.

Wówczas równanie różniczkowe (1) spełnione jest na elemencie

Ω

e tylko w sposób przybli-

żony. W celu obliczenia nieznanych wartości przemieszczeń węzłowych u e żądamy aby rów-

nanie różniczkowe (1) spełnione było przez przybliżenie U e w sensie tzw. całki ważonej, któ-

ra określona jest następująco:

wx d

()

dx a du

qdx

0 ;

(3)

gdzie w(x) jest tzw. funkcją ważoną.

Całkując równanie (3) przez części otrzymujemy:

a dw

−

wq dx w x Q w x Q

−

()

−

() ;

(4)

gdzie

- 5 -

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: