dynamika.pdf

(259 KB) Pobierz
swp0001.dvi
Rozdział 2
Dynamika
Dynamika jest działem mechaniki opisuj acym ruch układu materialnego
pod wpływem sił działaj acych na ten układ.
Dynamika opiera si e na trzech zasadach Newtona:
1. Zasada bezwładnosci:
Punkt materialny, na który nie działaj a zadne siłylubwszystkie
działaj ace na´nsiłyznoszasie, pozostaje w spoczynku lub porusza
si e ruchem jednostajnym prostoliniowym wzgl edem układu odniesienia.
Układ odniesienia, w którym słusznajesttazasadanazywamyi-
nercjalnym. Punkt w tym układzie nie moze udzielic sobie przyspieszenia.
2. W układzie inercjalnym zmiana ruchu punktu materialnego jest
proporcjonalna do siłydziałaj acej i odbywa si e w kierunku dzia-
łania tej siły.
F = ma.
Równanie to jest podstawowym równaniem dynamiki.
3. Zasada akcji i reakcji.
Kazdemu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie skierowane
przeciwdziałanie.
41
4. Pod wpływem układu sił punkt materialny uzyskuje przyspiesze-
nie równe sumie geometrycznej przyspieszen, jakie uzyskałby w
wyniku niezaleznego działania kazdej z sił.
5. Zasada powszechnego ci azenia.
Dwa punkty materialne o masach m 1 i m 2 działaj anasiebiezsiła
proporcjonaln a do iloczynu tych mas, a odwrotnie proporcjonalnie
do kwadratu odległosci tych mas
F = k m 1 m 2
r 2 ,
gdzie k-stałagrawitacji.
2.1 Zasada d’Alemberta dla punktu
Wyobrazmy sobie, ze pchaj ˛ acwózeknadajemymuprzyspieszeniea.
Działamy oczywiscie sił a F = ma. Na podstawie trzeciej zasady wózek
przeciwdziałazsił a B = −ma. (Pomijamy opory). Siła B nazywa si e
sił a bezwładnosci lub sił ˛ ad’Alemberta.
Podobnie na kamie´nzawieszonynasznurkuiporuszajacy si ˛epo
okr egu działasiładosrodkowa F r = ma n ,asiłaodsrodkowa jest sił a
bezwładnosci, itp.
St ad wniosek, ze
F = −B (akcja i reakcja)
X
F i +(−ma)=0.
Zasada d’Alemberta
W ruchu punktu materialnego układ siłczynnych i reakcji wi ezów równowazy
si ˛ezpomyslan ˛asił a bezwładnosci.
X
F i +
X
R i +(−ma)=0
42
Przykład 1 Rozpatrzmy ruch masy m zawieszonej na koncu liny rozwi-
jaj acej si ezbebna. Szukamy napi ecia liny.
G− siłaciezkosci (czynna),
S− siła napi ecia nici (reakcja),
B− siłabezwładnosci.
Rzutuj ac wszystkie siłynao ´ slinymamy
S−G+B =0,
S−mg+ma =0,
S = m(g−a) .
Gdy spadek ciałabedzie swobodny, wówczas g = a i napi ecie S =0.
2.2 P ed masy
Zgodnie z drug a zasad ˛adynamikimozemy napisa´cruchciała:
ma =
X
F i .
Pami etaj ac jednak, ze
a = dv
dt
mamy
X
d
dt (mv)=
F i .
Wielkosc mv = p nazywamy p edem lub ilosci a ruchu punktu material-
nego.
Równanie
X
dp
dt =
F i
43
285084921.001.png
wyraza zasad ˛epedu dla punktu materialnego. Pochodna p edu punktu
materialnego jest równa sumie sił działaj acych na dany punkt.
Równanie powyzsze jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej zasady
dynamiki (jest prawdziwe w mechanice relatywistycznej).
Jezeli teraz
P
F i =0,to
·
p =0⇒ p = const. Jest to zasada
zachowania p edu dla punktu.
Jezeli na punkt materialny nie działaj a zadne siły, to p ed punktu
jest zachowany, jest stały.
2.3 Kr et punktu materialnego
Kr etem lub momentem p edu punktu materialnego wzgl edem punktu O
nazywamy wektor równy iloczynowi wektora połozenia r przez p ed p
poruszaj acego si e punktu.
K o def.
= r×mv.
Składowe kr etu w układzie x,y,z:
K x = m(y ˙ z−z ˙ y),
K y = m(z ˙ x−x ˙ z),
K z = m(x ˙ y−y ˙ x).
Zbadajmy zmian ˛ekretu K o w czasie
dK o
dt
= dr
dt
×mv+r× d
dt (mv),
dK o
dt
| {z }
=0
+r×ma,
dK o
dt
= M o .
44
= v× m v
285084921.002.png
Powyzszy zwi azek wyraza zasad ˛ekretu punktu materialnego:
Pochodna wektora kr etu wzgl edem czasu jest równa momentowi gł
ównemu wszystkich sił działaj acych na dany punkt.
jezeli teraz M o =0,to
·
K o =0⇒ K o = const. Jest to zasada zachowa-
nia kr etu punktu materialnego:
Jezeli moment główny sił działaj acych na poruszaj acy si e punkt jest
wzgl edem jakiegos bieguna równy zeru, to kr et poruszaj acego si e punktu
wzgl edem tego bieguna jest zachowany, jest stały.
2.4 Dynamiczne równania ruchu punktu
Wychodzimy z wektorowej postaci
F = ma.
Uwzgl edniaj ac
F = F x i+F y j +F z k,
a =x i+y j+z k.
Mamy
mx = F x , y = F y , z = F z
lub
X
X
X
mx =
F ix , y =
F iy , z =
F iz .
Poniewa ˙ zsił a w ogólnym przypadku jest funkcj a:
F = F (r,v,t)
45

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin